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1、 扬州市 2020 届高三上学期期末考试 数学 一、填空题：1.已知集合1,2,2,4AkB，且2,AB则实数 k 的值为 2.设21 3iabi，则 a+b=3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本。在高一抽40 人，高二抽 30 人，若高三有 400 人，则该校共有 人 4.右图是一个算法流程图，如输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为 5.已知,aR则“0a”是“()2(sin)f xx ax”为偶函数的 条件 6.若一组样本数据 21,19，x,20,18 的平均数为 20，则该组样本数据的方差为 7.在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点且以双曲线2213y
2、x 的右准线为准线的抛物线方程是 8.已知(,)|4,0,0,(,)|2,0,0 x yxyxyAx yxyxy，若向区域上随机投掷一点 P，则点 P 落在区域 A 的概率为 9.等差数列 na的公差不为零，121,aa是1a和3a的等比中项，则159246aaaaaa 10.已知定义在（0,）上的函数()f x的导函数为(),fx且()()0 xfxf x，则(1)(1)(3)3xf xf的解集为 11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为2 3cm，母线与轴的夹角为30，则这个圆台的轴截面的面积等于 3.cm 12.已知函数13,1(),22ln,1xxf xx x
3、若存在实数,()m n mn满足()()f mf n，则2nm的取值范围为 13.在ABC中，若sincos2,BB则sin2tantanABC的最大值为 14.在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆22:11Cxy上两点，且2AB，点 P的坐标为（2,1），则2PAPB的取值范围为 二、解答题：15.已知2()2 3sincos2cos1.f xxxx（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）若(0,)63,(),2f x 求sin2的值。16.如图，ABC是以BC为底边的等腰三角形，,DA EB都垂直于平面ABC，且线段DA长度大于线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点。求证：（1
4、）AM 平面EBC；（2）/MN平面DAC。17.如图是一个半径为 1 千米的扇形景点的平面示意图，2.3AOB原有观光道路 OC,且OCOB。为便于游客观赏，景点 2 部门决定新建两条道路 PQ,PA,其中 P 在原道路 OC(不含端点O,C)上，Q 在景点边界 OB 上，且 OP=OQ,同时维修原道路 OP 段。因地形原因，新建 PQ 段、PA 段的每千米费用分别是2a万元，6a 元，维修 OP 段的每千米费用是 a 万元。（1）设,APC求所需总费用()f，并给出的取值范围；（2）当 P 距离 O 处多远时，总费用最小。18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCa
5、bab的离心率为12，右准线的方程为4x，12,F F分别为椭圆 C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆 C 的左右顶点。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 T(t,0)(ta)作斜率为 k(k0)的 直线 l 交椭圆 C 与 M,N 两点（点 M 在点 N 的左侧），且12/.FMF N设直线 AM，BN 的斜率分别为12,k k，求12kk的值。19.已知函数()(ln1),()(,).f xxxg xaxb a bR（1）若1a 时，直线()yg x是曲线()f x的一条切线，求 b 的值；（2）若,bea 且()()f xg x在,)xe上恒成立，求a的取值范围；（3）令()()()
6、xf xg x，且()x在区间2,e e上有零点，求24ab的最小值.20.对于项数为(*,1)m mNm的有穷正项数列 na，记12min,(1,2,)kkba aakm，即kb为12,ka aa中的最小值，设由12,mb bb组成数列 nb称为 na的“新型数列”.（1）若数列 na为 2019,2020,2019,2018,2017，请写出 na的“新型数列”nb的所有项；（2）若数列 na满足101,6,222,7,nnnan n且其对应的“新型数列”nb的项数21,30m，求 nb的所有项的和；（3）若数列 na的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的 na及其对应的“
7、新型数列”nb.中小学数学教育共同体祝广大师生寒假快乐！附加题 21.已知矩阵2 1 0 1M（1）求矩阵M的特征值及特征向量；（2）21，求3M.22.在极坐标系中，已知点,M N的极坐标分别为(2,)2，7(2 2,)4，直线l的方程为3.（1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程；（2）求直线l被（1）中的圆C所截得的弦长.23.甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束.甲每场比赛获胜的概率均为23.设比赛局数为X.（1）求3X 得概率；（2）求X的分布列和数学期望.24.已知数列na满足*112()nnanNa，且112a.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列na的前n项和为nS，求证：当2n 时，21145nnSSn.