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1、江苏省扬州市 20192020 学年第一学期高三期中调研测试 数学试题 201911 第 I 卷（必做题，共 160 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合 A3，4，B1，2，3，则 AUB 答案：1，2，3，4 考点：集合的并集 解析：集合 A3，4，B1，2，3，AUB1，2，3，4 2若(3i)2iz(i 为虚数单位)，则复数z 答案：11i22 考点：复数 解析：(3i)2iz 222i(2i)(3i)i5i65i511i3i(3i)(3i)9i1022z 3函数3x my(mR)是偶函数，则 m 答案：0 考
2、点：函数的奇偶性 解析：函数3x my关于直线 xm 对称，且是偶函数 直线 xm 与 y 轴重合，即 m0 4双曲线1422 xy的渐近线方程为 答案：2yx 考点：双曲线的渐近线 解析：根据双曲线22221yxab(a0，b0)的渐近线方程为ayxb，得双曲线1422 xy的渐近线方程为2yx 5抛物线xy42上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 答案：5 考点：抛物线的定义 解析：抛物线xy42的焦点坐标为(1，0)，准线为 x1，则抛物线上横坐标为 4 的点到准线的距离为 5，根据抛物线的定义，该点到抛物线焦点的距离为 5 6设函数2ln,0()1,02xx xf xx，则2()ff e
3、 答案：16 考点：分段函数 解析：20e 22()2ln40f ee ，则241()(4)162f f ef 7 直线062yax与直线2(1)10 xaya 平行，则两直线间的距离为 答案：6 55 考点：平行直线及其距离 解析：直线062yax与直线2(1)10 xaya 平行，(1)20a a，22(1)6(1)0aa，解得 a1，此时两直线方程为：260 xy与20 xy，则两直线间的距离为2261(2)6 55 8函数1()xxf xe的极大值是 答案：1 考点：利用导数研究函数的极值 解析：1()xxf xe ()xxfxe 当 x0 时，()fx0，()f x在(，0)单调递增
4、，当 x0 时，()fx0，()f x在(0，)单调递减，当 x0 时，()f x有极大值01 0(0)1fe 9将函数xycos的图象向右平移2个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()f x的图象，则()6f 答案：32 考点：三角函数的图像变换 解析：函数xycos的图象向右平移2个单位后，的函数cos()sin2yxx，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得()sin2f xx，故3()sin632f 10梯形 ABCD 中，ABCD，BAD90，ADAB3DC3，若 M 为线段 BC 的中点，则AM BDuuuur uuur
5、的值是 答案：32 考点：平面向量数量积 解析：以 A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，得 A(0，0)，B(3，0)，C(1，3)，D(0，3)，M(2，32)则AMuuuur(2，32)，BDuuu r(3，3)，AM BDuuuur uuur(2，32)(3，3)2(3)32332 11在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b3，sin2Asin2B3sin2C，cosA13，则ABC 的面积是 答案：2 考点：正弦定理，余弦定理 解析：由正弦定理可将 sin2Asin2B3sin2C 转化为2223abc，由余弦定理得：2222cosAabcbc，将 b3
6、，cosA13，代入上面两个式子，并化简可得：22223929acacc，解得：1c，cosA13，sinA2 23，S1sinA2bc12 23 123 2 12已知点 A(1，0)，B(2，0)，直线 l：50kxyk上存在点 P，使得 PA22PB29成立，则实数k的取值范围是 答案：1515，1515 考点：直线与圆的位置关系 解析：设 P(x，y)，根据 PA22PB29 得：2222(1)2(2)9xyxy，化简得：22(1)1xy，故点 P 在以(1，0)为圆心，1 为半径的圆上，又点 P 在直线 l：50kxyk上，故2411kk，化简得：2151k，则15151515k，综上
7、所述，实数k的取值范围是1515，1515 13已知实数 x，y 满足23y且04296yxxy，则yx 3的最小值是 答案：12+2 考点：基本不等式 解析：04296yxxy，31(31)()22xy，3(31)()22xy，当且仅当226232xy取“”，故132+2xy，综上所述，yx 3的最小值是12+2 14已知关于 x 的不等式2(1)0 xxkee有且仅有三个整数解，则实数k的取值范围是 答案：(e，213e 考点：利用导数研究函数存在性问题（不等式整数解）解析：令2()(1)xf xxkee，则()()xfxexk 当 xk 时，()0fx，此时()f x在(，k)单调递减；
8、当 xk 时，()0fx，此时()f x在(k，)单调递增 当 xk 时，()f x有最小值为2kee，显然2(1)0 xxkee有解，则2kee0，则 k2，此时2(2)(2)0fk e，故 x2 是原不等式的整数解，当(1)0f时，即20kee时，2ke，此时4242(4)(3)(3)0fk eee ee，故此时最多有两个整数解；当(1)0f时，即20kee时，ke，此时323222(3)(2)(2)(21)0fk eee eee ee，故 x1，2，3 是原不等式的整数解，则 242(0)10(4)(3)0fkefk ee ，解得22113keke，故 ek213e，综上所述，实数k的取
9、值范围是(e，213e 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分 14 分）已知关于x的不等式031xx的解集为 A，函数22()24f xxmxm的定义域为集合 B（其中Rm）（1）若0m，求BA；（2）若RBA，求实数m的取值范围 16（本题满分 14 分）已知(0，2)，3cos5（1）求tan()4的值；（2）求sin(2)6的值 17（本题满分 15 分）已知圆 C：22(2)4xy，直线l过点 A(3，0)（1）若l与圆 C 相切，求l的斜率k；（2）当l的倾斜角为4时，l与y轴交于点 B，l与圆
10、 C 在第一象限交于点 D，设ABuuu rBDuuur，求实数的值.18（本题满分 15 分）为迎接 2020 年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为 1 米，AC，BD 是圆的直径，E，F 在弦 AB 上，H，G 在弦 CD 上，圆心 O 是矩形 EFGH 的中心，若2EF3米，AOB2，5412（1）当3时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值 19（本题满分 16 分）如图，已知椭圆012222babyax的左、右焦点分别为 F1、F2，以线段 F1F2为直径的圆与椭圆交于点 P(3 55，4 55)（1）求椭圆的
11、方程；（2）过y轴正半轴上一点 A(0，t)作斜率为 k(k0)的直线l若l与圆和椭圆都相切，求实数t的值；直线l在y轴左侧交圆于 B、D 两点，与椭圆交于点 C、E（从上到下依次为 B、C、D、E），且 ABDE，求实数t的最大值 20（本题满分 16 分）已知函数2()ln22f xxaxaxa(aR)（1）当1a时，求函数()f x在1x处的切线方程；（2）是否存在非负整数a，使得函数()f x是单调函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）已知()()3g xf xx，若存在 b(1，e)，使得当 x(0，b时，()g x的最小值是()g b，求实数 a 的取值范围（注：自
12、然对数的底数2.71828e L）第 II 卷（附加题，共 40 分）21（10 分）已知向量11ur是矩阵1A03a的属于特征值的一个特征向量（1）求实数,a的值；（2）求2A 22（10 分）一个盒子中装有大小相同的 2 个白球、3 个红球，现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中（1）求两次取得的球颜色相同的概率；（2）若在 2 个白球上都标上数字 1，3 个红球上都标上数字 2，记两次取得的球上数字之和为 X，求 X 的概率分布列与数学期望 XE 23（10 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 2，点 E、F 分别在棱 AA1、BB1上移动，且1AEAAuuuruuur，11BFBBuuuruuur（1）若21，求异面直线 CE 与 C1F 所成角的余弦值；（2）若二面角 AEFC 的大小为，且552sin，求的值 24（10 分）设 1111nkknnkSkC，*nkN，（1）求21SS，32SS；（2）猜想nknkS11的值，并加以证明