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1、课题：7.4 简单的线性规划（二）教学目的：1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题王新敞3培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力王新敞教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题.教学难点：准确求得线性规划问题的最优解王新敞授课类型：新授课王新敞课时安排：1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程：一、复习引入：1二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线
2、表示区域不包括边界直线）王新敞由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把 原点 作为此特殊点）王新敞2先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0 三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线0l:2x+y=0 王新敞然后，作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t R（或平行移动直线0l），从而观察t值的变化：12
3、,32yxt王新敞121110987654321-4-22468101214t=3C(1,225)B(5,2)A(1,1)T121110987654321-4-22468101214C(1,225)B(5,2)A(1,1)t=7.47T121110987654321-4-22468101214t=12C(1,225)B(5,2)A(1,1)T二、讲解新课：1.请同学们来看这样一个问题:设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件1255334xyxyx王新敞求t的最大值和最小值王新敞分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公
4、共区域ABC.作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,tR（或平行移动直线0l），从而观察t值的变化：12,32yxt王新敞121110987654321-4-22468101214t=3C(1,225)B(5,2)A(1,1)T121110987654321-4-22468101214C(1,225)B(5,2)A(1,1)t=7.47T121110987654321-4-22468101214t=12C(1,225)B(5,2)A(1,1)T从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0 时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线0l：2x+y=0 上.作一组与直线0l平
5、行的直线（或平行移动直线0l)l:2x+y=t,tR.可知，当l在0l的右上方时，直线l上的点（x,y)满足 2x+y0,即t0.而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线2l所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线1l所对应的t最小.所以：maxt=25+2=12,mint=21+3=3 王新敞2.目标函数,线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域,最优解:诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x
6、+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数王新敞另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为 线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题王新敞那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做 可行解，由所有可行解组成的集合叫做 可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最
7、大值和最小值，它们都叫做这个问题的 最优解王新敞三、讲解范例：例 1 已知x、y满足不等式组0025023002yxyxyx，试求z=300 x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值王新敞分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300 x+900y取最大值时的整点王新敞解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组3200335025023002yxyxyx得C（3200,3350），令t=300 x+900y，即y=-90031tx,欲求z=300 x+900y的最大值，即转化为求截距900t的最大值，从而可求t的最大值，因直线
8、y=-90031tx与直线y=-31x平行，故作与y=-31x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=3000+900125=112500 王新敞例 2 求z=600 x+300y的最大值，使式中的x,y满足约束条件0,025023003yxyxyx的整数值.l:x+3y=0 x+2y=2502x+y=300 xy250150COBA分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示：四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）由方程组：5191536925223003yxyxyx得点C的坐标为（6953,915
9、1)因题设条件要求整点（x,y)使z=600 x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600 x+300y，可知当9070yx时，z取最大值为zmax=60070+300900=69000 王新敞例 3 已知x、y满足不等式0,01222yxyxyx,求z=3x+y的最小值王新敞分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值王新敞解：不等式x+2y2，表示直线x+2y=2上及右上方的点的集合；不等式 2x+y1 表示直线2x+y=1 上及右上方的点的集合.可行域如图所示：作直线0l:3x+y=0，作一组与直线0l平行的直线l:
10、3x+y=t,(tR)王新敞x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.由图可知：当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zm in=1.评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；2x+y=0 x+2y=2523x+y=300 xy252100COBA3x+y=0 x+2y=22x+y=1xy20.5OP（3）在可行域内求目标函数的最优解王新敞四、课堂练习：1请同学们结合课本P64练习 1 来掌握图解法解
11、决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件.1,1,yyxxy解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x=0,y=0 时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线0l:2x+y=0 上.作一组与直线0l平行的直线l:2x+y=t,t R.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以zm ax=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.35,1,1535yxxyyx解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线 3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区
12、域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11.zm ax=389+5817=14 王新敞五、小结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;2.设t=0，画出直线0l王新敞3.观察、分析，平移直线0l，从而找到最优解王新敞4.最后求得目标函数的最大值及最小值王新敞xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0 x+y-1=0 x-y=0CBAO21-1-2-1123xy(98,178)3x+5y=05x+3y-1
13、5=0 x-y+1=0CBAO3x-5y-3=0-1-115六、课后作业：1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000 元，运费500 元，可得产品90 千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400 元，可得产品100 千克，如果每月原料的总成本不超过6000 元，运费不超过2000 元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？王新敞分析：将已知数据列成下表甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本1000 1500 6000 运费500 400 2000 产品90 100 解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：200040050060
14、001500100000yxyxyxz=90 x+100y王新敞作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：由72071220451232yxyxyx得王新敞令 90 x+100y=t，作直线:90 x+100y=0 即 9x+10y=0 的平行线90 x+100y=t，当 90 x+100y=t过点M（720,712）时，直线90 x+100y=t中的截距最大.由此得出t的值也最大，最大值zmax=90720100712=440.答：工厂每月生产440 千克产品.2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1 小时和 2 小时，漆
15、工油漆一张A、B型桌子分别需要3 小时和 1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8 小时和 9 小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？王新敞解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张王新敞5M(127,207)o644xy则0,09382yxyxyx目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0 向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值王新敞解方程9382yxyx得M的坐标为（2，3）.答：每天应生产A型桌子 2 张，B型桌子 3 张才能获得最大利润王新敞七、板书设计（略）王新敞八、课后记：王新敞3x+y=9M(2,3)ox+2y=839xy