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1、第三十八课时第三十八课时一、课一、课题题10.1 分析计数原理和分步计数原理（1）二、教学目标二、教学目标1 1、知识传授目标、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2 2、能力培养目标、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3 3、思想教育目标、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力三、教学重、难点三、教学重、难点1.重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过
2、程六、教学过程1新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键2新课我们先看下面两个问题(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通
3、工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3=9 种不同的走法一般地，有如下原理：加法原理：加法原理：做一件事，做一件事，完成它可以有完成它可以有 n n 类办法，类办法，在第一类办法中有在第一类办法中有 m m1 1种不同的方法，种不同的方法，在第二类办法中有在第二类办法中有 m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第在第 n n 类办法中有类办法中有 m mn n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法那么完成这件事共有 N Nmm1 1十十 mm2 2十十十十 mmn n种不同的方法种不同的方法(2)我们再看下面的问题：由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有
4、2 条从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？板书：图这里，从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法，按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后，再从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法 因此，从 A 村经 B 村去 C 村共有 3X2=6 种不同的走法一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成乘法原理：做一件事，完成它需要分成n n 个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m m1 1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有 m m2 2种不同的方法，做第种不同的方法，做第n n步有步有 m mn n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法那么完成这件事
5、共有 N Nm m1 1 m m2 2m mn n种不同的方法种不同的方法例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从 6 本书中任取一本，有 6 种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从 5 本书中任取一本，有 5 种方法根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6 十 5=11答：从书架 L 任取一本书，有 11 种不同的取法（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书
6、，有6 种方法；第二步取一本语文书，有 5 种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N6X530答：从书架上取数学书与语文书各一本，有 30 种不同的方法*97*练习：一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例 2(1)由数字 l，2，3，4，5 可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字 l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字 0，l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从 5 个数
7、字中任选一个数字，共有 5 种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有 5 种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有 5 种选法 根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125答：可以组成 125 个三位数练习：1、从甲地到乙地有 2 条陆路可走，从乙地到丙地有 3 条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2一名儿童做加法游戏在一个红口袋中装着2O 张分别标有数 1、2、19、20 的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10 张分别
8、标有数 1、2、9、1O 的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3题 2 的变形4由 09 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习七、练习设计七、练习设计1（口答）一件工作可以用两种方法完成有 5 人会用第一种方法完成，另有4 人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2在读书活动中，一个学生要从 2 本科技书、2 本政治书、3 本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3乘积（a1+a2+a3）（b1
9、+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4从甲地到乙地有2 条路可通，从乙地到丙地有3 条路可通；从甲地到丁地有4 条路可通，从丁地到丙地有2 条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，所有这些小球的颜色互不相同（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？八、板书设计八、板书设计10.1 分析计数原理和分步计数原理（1）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思第三十九课时第三十九课时一、课一、课题题10.1 分析计数原理和
10、分步计数原理（2）二、教学目标二、教学目标1 1、知识传授目标、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2 2、能力培养目标、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题*98*3 3、思想教育目标、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力三、教学重、难点三、教学重、难点1.重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过程六、教学过程1.由学生阅读引言，明确任务，激发兴趣.由
11、学生感兴趣的乒乓球比赛提出的问题引出学习本章的必要性，明确研究计数方法是本章内容的独特性，从应用的广泛看学好本章知识的重要性.2.学习理解分类计数原理给出问题，配图分析，讲清坐火车与坐汽车两类办法均可，每类中任一种办法都可以独立的把从甲地到乙地这件事办好.变式 1：若甲地到乙地一天中还有 4 班轮船可乘，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法？变式 2：若完成一件事，有n类办法.在第 1 类办法中有m1种不同办法，在第 2 类办法中有m2种不同方法，在第n类办法中有mn种不同方法，每一类中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事共有多少种不同方法？解答以上问题，水到渠成，
12、顺着变式 2 的解，不难由学生归纳得出分类计数原理（又称办法原理）.3.学习理解分步计数原理出示问题，配上插图，引导分析，组织讨论，强调分步.可用多媒体配上不同颜色闪现六种不同走法.由学生模仿分类计数原理归纳得出分步计数原理（又叫乘法原理）.4.5.6.讲解例 1讲解增例例：满足 A引导学生分析解答，注意区分办法的分类与分步.B=1,2的集合 A、B 共有多少组？1,2的子集：，1，1，1,2，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含A、B 两元数的不定方1,2得 1 组解；启发引导学生作出下列两种分析.分析一：A、B 均是程，其全部解分为四类：1.当 A=时，只有 B=2.当 A=3.当 A=
13、4.当 A=1时，B=2或1,2，得 2 组解；2时，B=1或1,2，得 2 组解1,2时，B=或1或2或1,2，得 4 组解.根据加法原理，共有 1+2+2+4=9 组解.分析二：设 A、B 为两个“口袋”,需将两种元素(1 或 2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步可办好此事:第 1 步装“1”,可装入 A 不可装入 B,也可装入 B 不装 A,还可以既装入 A 又装入 B,有 3 种装法;第 2 步装“2”,同样有 3 种装法.根据乘法原理共得了 33=9 种装法,即原题共有 9 组解.6.课堂练习*99*教科书第 86 页练习第 1、2 题,习题第 1 题.7.知识小结回顾两个原理
14、内容,强调区别在于办事办法分类与分步.七、练习设计七、练习设计1.教科书习题 10.1 第 2 题.2.各编一道用两个原理解答的问题并解答.八、板书设计八、板书设计10.1 分析计数原理和分步计数原理（2）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思第四十课时第四十课时一、课一、课题题10.1 分析计数原理和分步计数原理（3）二、教学目标二、教学目标1 进一步理解两个基本原理。2 会运用两个基本原理分析解答简单的应用题。三、教学重、难点三、教学重、难点1.重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运
15、用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过程六、教学过程1 两个基本原理是本章重要的基本理论，通过运用，进一步理解两个基本原理，进一步掌握分类思考与分步思考的方法。2 运用两个基本原理时，应强调以下重点。分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有n 类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类。分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类，其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。只有满足这些条件，才能用分类计数原理。分步计数
16、原理中的“做一件事，完成它需要分成 n 个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成 n 个步骤。分布时，首先要根据问题的特点确定一个分布的标准，其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这 n 个步骤后这件事才算完成。只有满足这些条件，才能用分步计数原理。这些思想观点，应在教学中向学生详细阐明。1 理论复习说说你对两个基本原理的理解。注：这样的问题，答对的标准比较宽松。只要学生解答对大概的主要的意思，就应表扬；不仅原理叙述准确，并且加上自己的正确的理解，更应当受到称赞。目的只有一个，重在理解。这符合素质教育的要求。*100*2 应用举例（1）增例：平面上的直线 l 上的三点P1
17、、P2、P3及 l 外一点 A，过这四点中的两点连直线，可连得多少条不同的直线？学生议论，形成共识：以直线过不过A 点为分类标准，过A 的 3 条，不过A 的 1 条，由分类计数原理得可连不同的直线3+1=4条。变式 1：在 120 共 20 个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？变式 2：在 120 共 20 个整数中取两个数相加，使其和大于 20 的不同取法共有多少种？注：取 a+b 与取 b+a 是同一种取法。变式 1 思路：分类标准为两家数的奇偶性，第一类，偶偶相加，由分步计数原理得109=90 种取法，第二类，奇奇相加，也有 109=90 种取法。根据分类计数原理共
18、有 90+90=180 种不同取法。变式 2 思路：分类标准一，固定小加数。小加数为1 时，大加数只有 20 这 1 种取法；小加数为2 时，大加数有 19 或 20 两种取法；小加数为 3 时，大加数为 18，19 或 20 有 3 种取法小加数为 10 时，大加数为 11，12，20 共 10 种取法；小加数为 11 时，大加数有 9 种取法小加数取 19 时，大加数为 1 种取法。由分类计数原理，得不同取法共有 1+2+9+10+9+2+1=100 种。分类标准二，固定和的值。有和为 21，22，39，这几类，依次有取法10，9，9，8，8，2，2，1，1 种。由分类计数原理得不同取法共
19、有 10+9+9+2+2+1+1=100 种。（2）指导学生阅读例 2、例 3，培养学生阅读理解能力。组织学生议论这两例的共同点与不同点。共同点：都要分布计数。不同点：例 2 分四步，每步确定一个键盘上的数码，并且数码可重复使用；例 3 分两步，每步安排一个工人值班，第 1 步排定的工人，第 2 步不再排此人。变式 1：集合 A=a,b,c，B=1,2，问 A 到 B 的不同映射 f 共有多少个？B 到 A 的不同映射 g 共有多少个？变式 2：用数字 1，2，3 可写出多少个小于 1000 的正整数？变式 1 思路：分 3 步，分别以 a,b,c 为原象，确定它们的象，f 共有 222=8
20、个，同样 g 有3=9 个。变式 2 思路：有分类，又有分步。分类是一位数，二位数，三位数共三类，再分步确定各位上的数字，共可写正整数 3+3+3=39个。3 归纳小结分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只完成做这件事的一个步骤，只有各个步骤中的方法都完成才算做完这件事。注：本节安排了较多的应用问题，可用多媒体辅助教学，从出示问题，分析讨论，所给出解答。
21、要注意从时间上保证分析和解决问题的实施，保证重点、难点的突破。4 课堂练习教科书第 86 页练习第 3、4、5 题，习题 10.1 第 3、6 题。七、练习设计七、练习设计教科书习题 10.1 第 4、5 题。八、板书设计八、板书设计10.1 分析计数原理和分步计数原理（3）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思第四十一课时第四十一课时一、课一、课题题*101*23210.2 排列（1）二、教学目标二、教学目标1.2.3.理解排列、排列数的概念。了解排列数公式的推导，培养学生“化归”的数学思想方法。能用排列数公式计算排列数。三、教学重、难点三、教学重、难点1.重点重点
22、：排列、排列数的概念2.难点难点：排列数公式的推导四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过程六、教学过程1.复旧引新（1）分类计数原理和分步计数原理及其区别。（“分类”、“分步”完成一件事）（2）用分步计数原理计算下面两个问题的结果。（用多媒体投影教科书上的问题 1、问题 2、）问题问题 1 1 分析：分析：分 2 步完成，第 1 步，确定参加上午活动的同学，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，有 2 种方法，根据分步计数原理，共有32 6种方法。（多媒体演示 6 种结果）问题问题 2 2 分析：分析：仿问题 1 分析过程并演示结果。从而
23、导出新课。2.讲授新课（1）排列和排列数概念排列和排列数概念。从以上两个实例的结果中，引出排列和排列数的概念。应向学生指出：排列定义中包括：a.取出元素，b.按一定顺序排列。因此，两个排列相同，必须它们的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。排列与排列数是两个既有联系又有区别的两个概念。（结合问题 1、2 的结果）排列数用（2）排列数公式的推导排列数公式的推导。提问：从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数An是多少？求2Anm表示。An3呢？An2化归为从 n 个元素中任取 2 个填入排好顺序的 2 个空位（图 10-1）。分两步：第 1 步,填第 1 个位置的元素,有 n2种方法;第
24、2 步,填第 2 个位置元素,有(n-1)种方法.由分步计算原理有 n(n-1)种方法,从而An23求An(仿求An的方法，图10 2）得An n(n 1)(n 2)n(n 1).3第 1 位第 2 位第 1 位第 2 位第 3 位 n n-1 n n-1 n-2图 10-1图 10-2求出An,An后,用同样方法,求An(图 10-3).分为 m 步:第1 步,填第 1 个位置的元素有 n 种方法;第 2 步,填第 2 个位置的元素有 n(n-1)种方法第 m 步,填第 m 个位置的元素有(n-m+1)种方法.由分步计算原理共有 n(n-1)(n-2)(n-m+1)种方法.得出公式mAn n
25、(n 1a)(n 2)(n m 1).23m*102*第 1 位第 2 位第 3 位第 m 位 n n-1 n-2 n-m+1图 10-3注:公式中n,m N*且m n;公式特点:左边地表 1 个因数是 n,后面的每个因数都比前面一个因数少 1,最后一个A52 54 20;A87 876 336.“分步”思想在解决排列问题中的应用。因数为 n-m+1,共有 m 个因数相乘.如（3）公式的简单应用公式的简单应用.讲解例 1通过例 1 的讲解,使学生熟悉公式,掌握公式的特点.变式题:如果Anm1716 54,则 n=_,m=_.(答案 17、14)15 n)(57 n)(68 n)(69 n)用排
26、列数符号表示为_.(答案A69n)若n N,则(55 n)(556若33A2n10An,则 n=_.(答案 8)An7An5若An5=89,则 n=_.(答案 15)3.反馈练习反馈练习(1)写出从 4 个元素 a,b,c,d 中任取 2 个元素的所有排列.(答案 ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cd,cb,da,db,dc)(2)计算8A12.(答案 5)7A12(3)计算A84 2A82.(答案 1568)m98 An,则 n=_,m=_.(答案 18、11)(4)若1817164.归纳总结(1)排列的概念要抓住其含的两层意思:取出元素,按一定顺序排列.(2)排列数公式要抓住其特
27、点,能用它求排列数.(3)注意“分步”思想在本节中的应用.七、练习设计七、练习设计教科书习题 10.2 第 1、3(2)、4（1）、4（4）题。补充题用排列数符号八、板书设计八、板书设计10.2 排列（1）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思*103*m11An表示式子(l 7)(l 8)(l 17)应为_.(答案Al7)第四十二课时第四十二课时一、课一、课题题10.2 排列（2）二、教学目标二、教学目标1能运用分类计数原理和排列数公式解决较简单的排列应用题。初步学会解带有简单限制条件的排列应用题。提高学生分析和解决实际问题的能力三、教学重、难点三、教学重、难点1.
28、重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过程六、教学过程1复旧引新 上节课我们学了利用排列数公式解决简单的应用题。解题的关键是把实际问题“化归”为排列问题，请同学们练习下题。（多媒体投影题目）有红、黄、蓝三面旗。从上到下竖直挂在旗杆上表示信号，每次要求挂 3 面旗，问能表示多少种不同信号？（A3种）将上述题中的每次 3 面改为每次 2 面，结果如何？（A3种）2讲解例 4让学生举出例 4 中可能出现的一些信号种类
29、（如举出 1 面旗的信号、2 面旗的信号、3 面旗的信号各若干种），在次基础上引导学生把举出的这些信号进行分类；挂一面旗的信号A3+A3+A3=15 种。（依据的是分类计数的原理）3变式训练：由 1、2、3、4 这四个数字可以组成多少个没有重复数字的正整数？简解：可以把所要排的正整数分为三类：一位数有 A4个，二位数有 A4个，三位数有 A4个，四位数有 A4个,故共可组成没有重复数字的正整数的个数为：A4+A4+A4+A4=64 个4讲解例 5（1）（2）出发去考虑。解法一：（从位置出发），先画出数字框图（图10-6），受限位置百位上的数字有几种排法？（A9种）十位、个位上的12121123
30、23A3种，挂两面旗的信号A3种，挂三面旗的信号A3种。故共有信号12312341234提出菜单问题：用 1 到 9 这 9 个数字能组成多少个无重复数字的三位数？（A9个）多媒体投影展示例 5。3启发：例 5 较之（1）中提出的问题多了一个限制元素“0”，有了一个受限位置（0 不能排百位上），因此我们应从限制条件数字又有几种排法？（A9+A9还是 A9*A9？）百位十位*104*个位2A9A19图 10-6解法二：（从元素出发分析），根据受限元素 0 出现的位置把符合条件的三位数分成 3 类（图 10-7），用分类计数的原理，共有不同的三位数 A9+A9+A9=648 个。解法三：（逆向思考
31、法），从 0 到 9 这十个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10，其中 0 在百位上的排列数为求的三位数的个数是 A10-A9=648 个。5变式训练（可用多媒体投影题目）变式 1：从 6 个人中选 4 人坐在一排的 4 个不同的座位上（每座位一人），若甲指定坐在两端的任意座位上，求不同坐法的种数。简解：甲的坐法有 A2种，其余三个位置的坐法有 A5种，由分步计数的原理得不同的坐法有 A2A5=120 种。变式 2：由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有多少个？解法一：（正向思考法）见图 10-8，个位上的数字排列数有 A2种（从 2，4 中
32、选）；万位上的数字排列数有 A3种（5 不能选），十位、百位、千位上的排列数有 A3种，故符合题意的偶数有 A2A3A3=36 个。七、练习设计七、练习设计教科书习题 10.2 第 1、3(2)、4（1）、4（4）题。八、板书设计八、板书设计10.2 排列（2）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思第四十三课时第四十三课时一、课一、课题题10.2 排列（3）二、教学目标二、教学目标巩固复习本节知识。进一步掌握带有限制条件的排列应用题的解法，在数学中进一步让学生熟悉正向思考与逆向思考两种解题思路。3 能综合应用排列数公式及分类计数原理与分步计数原理解排列应用题，提高学生
33、解较复杂一些的排列应用题的能力。三、教学重、难点三、教学重、难点1.重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件*105*3323322A9，故所2131311113六、教学过程内容分析本节课既是对前面排列知识内容的一个总结，也是排列应用题教学别的复习与延伸。因此，教学的重点与难点仍然是在学生巩固本节所学知识的基础上，准确地进行“分类”或“分步”，合理使用两个基础原理，找出解题思路。本节课在复习巩固中安排了 3 道基本技能训
34、练题，其中第 1 题是为巩固排列数公式mAn=n!(n m)!而设计的，同时也是为学生做习题 10.7 第 10 题打基础的，目的是帮助学生巩固如何用排列数公式证明恒等式；第2 题是一道排列在圆锥曲线方面的应用题，既开拓了排列知识的应用范围，更主要的是复习如何用分类计数原理进行“分类”；第 3 题是一个带有限制条件的排列问题，重点是复习解排列应用题常用到的“正向思考”与“逆向思考”两种解题思路。补充例题 1 是排列问题中较常见的题 型之排队问题。例 1 后面安排的由易到难的各种变式，目的是试图从各个方面给这类题型常见的各种情况。从培养学生用排列知识灵活解题的能力。教师在列 1 及其变式题的教学
35、中，应引导学生充分利用框图进行分析，做到先练后议、先议后讲，充分调动起学生思维的积极性。基本知识复习排列数公式mmAn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)或An=n!，公式的前者主要用于排列数的计算，而后者主要用于排列数等(n m)!式的求解与证明。利用排列数公式与两个基本原理解排列应用题，是本节教学的重点与难点，解题的基本原则是：选原理分类计数原理与分步计数原理；选思路正向思考法与逆向思考法；画框图帮助理解，提高解题的直观性。基本技能训练课堂练习（多媒体投影题目）求证：n2n2Am=Am*Am2.证明：2n2Am*Am2=m!(m 2)!m!n*=Am原式成立.(m 2)!(m 2)(n
36、2)!(m n)!解：分为四类：m=2 时,n=1;x2y21可表示多少个焦点在 x 轴上相异椭圆？若 m2,5,8,9,n1,3,4,7,则方程mnm=5 时，n=1、3、4;m=8 时 n=1、3、4、7；m=9 时，n=1、3、4、7.故可表示不同椭圆的个数为 1+3+4+4=12 个。（3）从 1 到 6 这 6 个数字中任取 5 个数组成没有重复数字的无位数，且个位和百位必须是奇数，这样的五位数共有多少个？解法一：正向思考，如图10-10，个位与百位上的数字共有3A32A4=144 个五位数。3A32种排列方法，而十位、千位、万位上的排列有A4种。故共有万千百十个3A4A32百十个图
37、 10-10万*106*千甲万A54千1A3百十个1A31A33A4乙图 10-11七、练习设计七、练习设计教科书习题 10.2 第 1、3(2)、4（1）、4（4）题。八、板书设计八、板书设计10.2 排列（3）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思第四十四课时第四十四课时一、课一、课题题10.3组合（1）二、教学目标二、教学目标1 理解组合的意义。2 掌握组合数公式。三、教学重、难点三、教学重、难点1.重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教
38、学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过程六、教学过程1复习排列2提出问题从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？请同学们想一想，这一问题与前面所讲的“从甲、乙、丙3 名同学中选出 2 名参加某天的一项活动，其中1 名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法。“有什麽不同？启发：前面的问题是甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，还要按上午与下午的不同顺序安排，属于排列问题。*107*定义略公式略特点略相同排列略本节问题是从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名旧可以，不需要分上午、下午的不同来排，是与顺序
39、无关的，这就是我们这节课所讲的组合问题。3 组合的概念一般的，从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，并组成一组，叫做从 n 个不同元素取出 m 个元素的一个组合。判断下列语句是排列问题还是组合问题：（1）从 A、B、C、D 四个风景点选出 2 个进行游览。（2）从甲、乙、丙、丁四个学生选出 2 人担任班长和书记。引导学生归纳组合的特点以及相同组合的含义，总结排列与组合的区别和联系。4 组合数的概念从 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，求有多少不同种的选法，就是要求出从 3 个不同的元素中取出 2 个元素的所有组合的个数。提问：如何组合呢？模拟实验：找 3 个同学编号甲、乙、丙，让学
40、生自己选取，在愉快的氛围中得到答案：甲乙、甲丙、乙丙。进一步提出问题：若在 4 个不同的元素 a、b、c、d 中取出 2 个，共有哪些组合呢？引导学生画下图（图 1013）：（以某一元素为主）由此可写出所有的组合：ab，ac，ad，bc，bd，cd将上述问题推广到一般：从 n 个不同元素中取出 m(m5 组合数公式的推导：从前面可知，从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数是 C3=3,从 4 个不同元素中取出 2 个元素的组合数是 C4=6.提问：从 4 个不同元素 a、b、c、d 中取出 3 个元素的组合数 C4是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出三个的排
41、列数 A4就可以求得，故我门可以考察一下 C4和 A4的关系，投影如下组合排列 abc abc,bcd,cab,acb,bca,cba abd abd,bad,dab,abd,bda,dba acd acd,cad,dac,adc,cda,dca,bcd bcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb从上面可以看出，每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A4,可以分如下两步：1 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有C4个，2 对每一个组合的 3 个不同元素作全排列，各有 A3,有分步记3A43A3332n)个元素的所有组合的
42、个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 Cmn.233333数原理得3A43=C43A33,因此，C4=.总结推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An,可以分为如下两步：1 先求从这 n 个不同元素中取出 m 个元*108*m素的组合数 Cn,2 求每一个组合中 m 个元素的全排列数 An,根据分布记数原理，得到：An=CnAm.mAnmAmmmmmmm因此，Cn=n(n 1)(n 2)(n m 1)m!m(n、mN+,且 mn)指导学生归纳出组合数公式的另外一种形式 Cn=6.巩固训练n!m!(n m)!师生共同完成排列与组合的对照表（见本节开
43、始复习的表）。计算 C7,C10(35,120).科教书第 99 页练习 1、2（由学生完成）。7 归纳总结组合与排列的相同之处都是从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素，不同之处在于组合没有“顺序”七、练习设计七、练习设计教科书习题 10。3 第 3、5 题八、板书设计八、板书设计10.2 组合（1）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思第四十五课时第四十五课时一、课一、课题题10.3组合（2）二、教学目标二、教学目标1、深刻理解组合与排列的区别与联系，提高学生抽象思维及分析问题的能力。2、掌握组合数公式，并能利用它们解决一些简单的应用问题三、教学重、难点三、
44、教学重、难点1.重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过程六、教学过程1 复习回顾（1）排列的概念、组合的概念。（2）排列与组合的区别与联系。*109*47（3）排列数公式、组合数公式。2 例题精讲例 1.教科书 10.3 例题 2：求证 Cn=mm1m1Cn.nm目的：让学生掌握组合数公式（证明略）变式：求证 Cn=mnmCn1.mm1m1学生证明后,指出上式可改写为：mCn=nCn1.注：上式在化简有组合数
45、的和式时有一定的作用，如：1Cn+2Cn+3Cn +9Cn=nCn1+nCn1+nCn1+nCn1例 2：计算C6和 C6；C7C6与 C6；C11+C11.解：C6=2432312390128456565434=15，C6=15；21432165327653654C7C6=3515=20，C6=2032121321111098 111098745C11+C11=+=7924321543212目的：为下节课学习组合数定额两个性质打好基础。例 3:从数字 1、2、5、7 中任选 2 个，计算它们的和，试问可以得到多少个不同的和？从数字 1、2、5、7 中任选 2 个，计算它们的差，试问可以得到多
46、少个不同的差？解：因为加法满足交换律，所以第一问从数字 1、2、5、7 中任选 2 个数作和，与所选数字的顺序无关，属于组合问题，因此，结果为 C4=6从数字 1、2、5、7 中任取 2 个作差，有减数与被减数之分，因此所取两个数与顺序有关，属于排列问题。因此结果为 A4=43=12。目的：帮助学生正确区分排列与组合。例 4:教科书例 3。分析：以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即 C10=222109=45。21由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是
47、从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即 A10=109=90。目的：培养学生如何把实际生活中的问题初步提炼为“数学模型”，从而解决问题。例 5：有不同的中文书 7 本，不同的英文书 5 本，从中选出 2 本书。（1）若其中一本为中文书，一本为英文书，问共有多少种不同的选法？（2）若不限条件，问有多少种不同的选法？分析（1）：完成这件事必须分两步进行，第一步从 7 本不同的中文书选出 1 本，第二步从 5 本不同的英文书中取 1 本，因此要用分步计数原理。C7.C5=35分析(2):所选的2本书可以2本中文书,也可以是两本英文书,还可1本是中文书,1本是英文书,因此完成这件事有三类办
48、法,要采用分步计数原理,且选取的 2 本书与顺序无关,它属于组合问题.解法(1):C7+C5+C7C5=21+10+35=662211112*110*解法(2):问题相当于 12 本不同的书中任意选取 2 本书,即为 12 个不同元素中取出 2 各不同元素的组合数,C12=答:一共 66 种不同的选法.目的:训练学生合理应用分类(步)计数原理的能力,以及将实际问题转化为”数学模型”的能力.3课堂练习（1）计算 C8，3C8-2C5（答案：56，148）（2）求证：Cn=m21211=6621332m 1m1Cn1n 12（3）圆上有 10 个点，过每 2 个点画一条弦，一共可画多少条弦？（C1
49、0=90=45）23（4）空间有 8 个点，其中任何 4 个点不共面，过每 3 个点作一个平面，一共可以作多少个平面？（C8=56）4课堂小节（1）由排列数和组合数的关系 CnAm=An进一步理解排列与组合的联系和区别；排列与顺序有关，而组合与顺序无关。（2）解决实际问题首先看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类（步）计数原理。七、练习设计七、练习设计教科书习题 10.3 第 2、3（2）、6（2）题。八、板书设计八、板书设计10.2 组合（2）复习提问新课讲解举例练习小结例 1例 2九、教学反思九、教学反思*111*mmm第四十六课时第四十六课时一、课一、课题题1
50、0.3组合（3）二、教学目标二、教学目标1 掌握组合数的两个性质，并能运用它解决一些简单的应用问题。2 初步掌握“一一对应”与“归纳”的思想。3 进一步训练用组合数公式及分类（步）计数原理解决实际问题。三、教学重、难点三、教学重、难点1.重点重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同四、教学方法四、教学方法启发式教学法五、教学手段五、教学手段多媒体课件六、教学过程六、教学过程1 复习提问（1）组合数的计算公式的两种表示怎样？各有何用途？（2）用组合数公式计算 C10=？，C10=？它们有何联系？