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1、2019-2020 学年河南省洛阳市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1已知 a 是实数，是实数，则的值为（）ABC0D2已知命题p：?x R，x2x+10，下列 p 形式正确的是（）A p：?x0 R，使得 x02x0+10B p：?x0 R，使得 x02x0+10C p：?x R，x2x+10D p：?x R，x2x+103等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为（）A2B3CD4设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n），用最小二乘法建
2、立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg5若实数x，y满足不等式组则 z2x+3y 的取值范围为（）A0，2B2，3C2，3D0，36已知极坐标系中，点P 的极坐标是，则点 P 到直线 l：的距离是（）A2BCD17对于函数y ex，曲线 yex在与坐标轴交点处的切线方程为yx+1，由于曲线yex在切线 yx+1 的上方，故有不等式exx+1，类比上述推理：对于函数ylnx 有不等式（）
3、Alnxx+1Blnx1xClnx x1Dlnx x18设 a R，若函数 yex+ax，x R，有大于零的极值点，则（）Aa 1Ba 1CD9已知 a0，b0，ab8，则 log2a?log2b 的最大值为（）ABC4D810函数 f（x）的部分图象大致是（）ABCD11如图，正方体ABCD A1B1C1D，的棱长为4，动点 E，F 在棱 A1B1上，动点P，Q 分别在棱AD，CD 上若EF 2，A1Em，DQ nDPp（m，n，p 大于零），则四面体 PEFQ 的体积（）A与 m，n，p 都有关B与 m 有关，与n，p 无关C与 p 有关，与m，n 无关D与 n 有关，与m，p无关12已知
4、抛物线C：y2 8x 的焦点为F，经过点M（2，0）的直线交C 于 A，B 两点，若 OABF（O 为坐标原点），则FAB 的面积为（）ABCD二、填空题（共4 小题，每小题3 分，满分 12 分）13曲线 yxlnx 在点（1，0）处的切线方程为14关于 x 的不等式 x2+ax+b0 的解集为（2，1），则复数a+bi 所对应的点位于复平而内的第象限15在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参考公式：P（K2 k）
5、0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”16已知双曲线C：，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N若 OMN 为直角三角形，则|MN|三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 已 知 ABC的 三 个 内 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，且（1）求角 C；（2）若 a4，ABC 的面积为，求 c18在四棱锥SABC
6、D 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD 平面 SBC，SBSC，M 是BC 的中点 AB1，BC2（1）求证：AM SD；（2）若，求点 M 到平面 ADS 的距离19已知椭圆（ab 0）的离心率为，点 A（0，2）在椭圆上，斜率为k的直线 l 过点 E（0，1）且与椭圆交于C，D 两点（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 与 x 轴相交于点G，且，求 k 的值20已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a11，若数列 Sn+1 是公比为2 的等比数列（1）求数列 an的通项公式；（2），求数列 bn的前 n 项和 Tn21在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
7、已知曲线C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t 为参数，0 ）（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的中点为，求线段 AB 的长度22已知函数f（x）x（ex2a）ax2（1）当 a0 时，求函数f（x）的单调区间；（2）若 f（x）有极小值且极小值为0，求 a 的值参考答案一、选择题：本题共12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1已知 a 是实数，是实数，则的值为（）ABC0D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0 求得 a 值，代入得答案解：是实数，即 a 1 cos（）故选：A2已知命题p
8、：?x R，x2x+10，下列 p 形式正确的是（）A p：?x0 R，使得 x02x0+10B p：?x0 R，使得 x02x0+10C p：?x R，x2x+10D p：?x R，x2x+10【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果，并判断真假即可解：全称命题的否定是特称命题，命题 p：?x R，x2x+10，则 P：?x0 R，使得 x02 x0+10，故选：B3等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为（）A2B3CD【分析】设等比数列 an的公比为q，由 S1，2S2，3S3成等差数列，可得 S1+3S322S2，即 a1+3（a1+
9、a2+a3）4（a1+a2），），化简即可得出解：设等比数列an的公比为q，S1，2S2，3S3成等差数列，S1+3S322S2，a1+3（a1+a2+a3）4（a1+a2），化为：3a3 a2，解得 q故选：D4设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
10、【分析】根据回归方程为0.85x85.71，0.850，可知 A，B，C 均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定解：对于A，0.850，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，故正确；对于 B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于 C，回归方程为0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加 0.85kg，故正确；对于 D，x170cm 时，0.8517085.7158.79，但这是预测值，不可断定其体重为 58.79kg，故不正确故选：D5若实数x，y满足不等式组则 z2x+3y 的取值范围为（）A0，2B2，3C2，3D0，3【分析】作出不等式组表示的平面
11、区域，利用zx+2y 的几何意义转化求解即可解：作出实数x，y 满足不等式组的平面区域，由图可知，平移直线zx+2y，直线在 O 处的截距取得最小值，此时z取得最小值，在B 处，直线在y 轴上的截距取得最大值，此时z 最大zx+2y 在 O（0，0）取最小值0，在 B（0，1）取最大值3，故选：D6已知极坐标系中，点P 的极坐标是，则点 P 到直线 l：的距离是（）A2BCD1【分析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果解：点 P 的极坐标是，根据转换为直角坐标为（0，2）直线 l：转换为直角坐标方程为xy0所以点（0，2
12、）到直线xy0 的距离 d故选：C7对于函数y ex，曲线 yex在与坐标轴交点处的切线方程为yx+1，由于曲线yex在切线 yx+1 的上方，故有不等式exx+1，类比上述推理：对于函数ylnx 有不等式（）Alnxx+1Blnx1xClnx x1Dlnx x1【分析】求出导数和函数图象与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线方程，再与函数的图象位置比较，得到不等式解：由题意得，y（lnx），且 ylnx 图象与 x 轴的交点是（1，0），则在（1，0）处的切线的斜率是1，在（1，0）处的切线的方程是yx 1，切线在ylnx 图象上方（x 0），x1lnx（x0），故
13、选：D8设 a R，若函数 yex+ax，x R，有大于零的极值点，则（）Aa 1Ba 1CD【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0 的极值故导函数等于0 有大于 0 的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a 的范围解：yex+ax，yex+a由题意知ex+a0 有大于 0 的实根，令y1 ex，y2 a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得a 1?a 1，故选：A9已知 a0，b0，ab8，则 log2a?log2b 的最大值为（）ABC4D8【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可解：a0，b0，ab8，则 log2a?log2b（log28log2b）?l
14、og2b（3log2b）?log2b3log2b（log2b）2（log2b）2当且仅当b22时，函数取得最大值故选：B10函数 f（x）的部分图象大致是（）ABCD【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出解：函数f（x）的定义域为（，）（，）（，+）f（x）f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y 轴对称，故排除A，当 x1 时，f（1）0，故排除C，当 x+时，f（x），故排除D，综上所述，只有B 符合，故选：B11如图，正方体ABCD A1B1C1D，的棱长为4，动点 E，F 在棱 A1B1上，动点P，Q 分别在棱AD，CD 上若EF 2，A1Em，DQ nDP
15、p（m，n，p 大于零），则四面体 PEFQ 的体积（）A与 m，n，p 都有关B与 m 有关，与n，p 无关C与 p 有关，与m，n 无关D与 n 有关，与m，p无关【分析】设P 到平面 A1DCB1的距离为h，由 VPEFQSEFQ?h 即可得出结论解：设 P 到平面 A1DCB1的距离为h，显然 h 与 P 在 AD 上的位置有关，又 EF 1，Q 在 CD 上，且 A1B1CD，故 SEFQ为定值，因为 VPEFQSEFQ?h，VPEFQ的值与 p 有关，与m，n 的值无关故选：C12已知抛物线C：y2 8x 的焦点为F，经过点M（2，0）的直线交C 于 A，B 两点，若 OABF（O
16、 为坐标原点），则FAB 的面积为（）ABCD【分析】设出B 的坐标，利用已知条件，求出A、B 的坐标，然后求解三角形的面积解：抛物线C：y28x 的焦点为F，经过点M（2，0）的直线交C 于 A，B 两点，若OA BF（O 为坐标原点），可得：A 是 BM 的中点，不妨设B（m，2m），可得 A（，），可得：2m4（m 2），解得m4，所以 B（4，4），A（1，2），所 以 三 角 形FAB的 面 积 为：梯 形 面 积 减 去2 个 直 角 三 角 形 的 面 积，即：4故选：A二、填空题（共4 小题，每小题3 分，满分 12 分）13曲线 yxlnx 在点（1，0）处的切线方程为xy1
17、0【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x1 时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案解：由 f（x）xlnx，得，f（1）ln 1+11，即曲线 f（x）xlnx 在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线 f（x）xlnx 在点（1，0）处的切线方程为y01（x 1），整理得：xy1 0故答案为：xy1 014关于 x 的不等式 x2+ax+b0 的解集为（2，1），则复数a+bi 所对应的点位于复平而内的第二象限【分析】由已知结合一元二次方程根与系数的关系求得a与 b 的值，可得复数a+bi 的坐标，则答案可求解：关于x 的不等式 x2+ax+b 0的解集为（2，1），则 a
18、 1，b2复数 a+bi 所对应的点的坐标为（1，2），位于复平而内的第二象限故答案为：二15在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参考公式：P（K2 k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过5%（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”【分析】根据题目所给的数据
19、填写22 列联表算K2，对照题目中的表格，得出答案解：由题意可得：4.762 3.841由参照表可知对应P（K2k）0.05，故在犯错误的概率最多不超过5%前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”故答案为：5%，16已知双曲线C：，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N若 OMN 为直角三角形，则|MN|【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|MN|解：双曲线C：的渐近线方程为：yx，渐近线的夹角为：60，不妨设过 F（2，0）的直线为：y（x2），则：，解得 N（3，3），解得：M（，），则|MN|
20、3故答案为：3三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 已 知 ABC的 三 个 内 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，且（1）求角 C；（2）若 a4，ABC 的面积为，求 c【分析】（1）由已知利用正弦定理化简可得，由余弦定理可求cosC的值，结合范围0C，可求 C 的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值解：（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得0C ，（2）a 4，ABC 面积为，即，由余弦定理得，18在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD 平面 SBC，SBSC，M 是BC 的中点 AB1
21、，BC2（1）求证：AM SD；（2）若，求点 M 到平面 ADS 的距离【分析】（1）只需证明SMAM AM MD，即可得AM平面 SMD，AM SD（2）由 VSADMVMADS，得，即可得点M 到平面 ADS 的距离解：（1）证明：SBSC，M 是 BC 的中点，SMBC，平面 ABCD 平面 SBC，SM平面 ABCD AM?平面 ABCD，SMAM ABCD 是矩形，M 是 BC 的中点，AB1，BC2，AM MD，AM 平面 SMD，SD?平面 SMD，AM SD（2）由（1）知 AMS 为直角三角形，AMS 90，在 ADS 中，AD 2，设 AD 边上的高为h，则设 M 点到平
22、面 ADS 的距离为d，由 VSADMVMADS，得，故点 M 到平面 ADS 的距离为19已知椭圆（ab 0）的离心率为，点 A（0，2）在椭圆上，斜率为k的直线 l 过点 E（0，1）且与椭圆交于C，D 两点（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 与 x 轴相交于点G，且，求 k 的值【分析】（1）由椭圆的离心率及过的A 的坐标，及a，b，c 之间的关系求出a，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设直线l 的方程，与椭圆的方程联立求出两根之和，再由，又可得横坐标之和，进而可得等式，求出k 的值解：（1）设椭圆的半焦距为c椭圆的离心率为，点 A（0，2）在椭圆上，解得 a，b2，c椭圆方
23、程为+1（2）设直线 l 的方程为ykx+1，由得（2+3k2）x2+6kx9 0设 C（x1，y1），D（x2，y2），则 x1+x2，0由直线 l 与 x 轴相交于点G，知 k0，G（，0）由得（x1+，y1）（x2，1y2），x1+x2，解得 k20已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a11，若数列 Sn+1 是公比为2 的等比数列（1）求数列 an的通项公式；（2），求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）由数列 Sn+1是公比为2 的等比数列求得Sn，再由 anSnSn1（n2）求数列的通项公式；（2）把（1）中求得的通项公式与前n 项和代入，然后裂项相消求数列bn的前 n
24、项和 Tn解：（1）a11，S1+1a1+12数列 Sn+1是公比为2 的等比数列，当 n 2 时，显然 a1 1适合上式，；（2）由（1）知，则 Tnb1+b2+bn21在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t 为参数，0 ）（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的中点为，求线段 AB 的长度【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用三角函数的关系式的变换和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（1）曲线
25、C 的极坐标方程为，整理得：22cos2 2 cos 根据整理得直角坐标方程为y22x故曲线 C 的直角坐标方程为y22x（x 1）（2）将直线 l 的参数方程为（t 为参数，0 ）代入y22x 得4sin2 t2+4（sin 2cos）t70，由 t 的几何意义，可设MA t1，MB t2，则有，因为点 M 为线段 AB 的中点，所以，即 2cos sin 0sin2 4cos2 4（1sin2），解得|AB|t1t2|故线段 AB 的长度为22已知函数f（x）x（ex2a）ax2（1）当 a0 时，求函数f（x）的单调区间；（2）若 f（x）有极小值且极小值为0，求 a 的值【分析】（1）
26、代入 a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）讨论 a 的范围，判断f（x）的单调性，得出f（x）的极小值，从而列方程解出a的值解：（1）a0，f（x）xex，f（x）（x+1）ex，令 f（x）0，即（x+1）ex0，x 1，令 f（x）0，即（x+1）ex0，x 1，故函数 f（x）的单调增区间为（1，+），单调减区间为（，1）（2）f（x）（ex2a）+xex2ax（x+1）（ex2a），x R 若 a0，由 f（x）0 解得 x 1当 x 1 时，f（x）0，当 x 1 时，f（x）0，当 x 1 时，f（x）取得极小值f（1）a0，解得 a（舍去）；若 a0，由 f（x）0 解得 x 1 或 xln（2a），（i）若 ln（2a）1，即 0a，当 xln（2a）时，f（x）0，当 ln（2a）x 1 时，f（x）0，当 x 1时，f（x）0，当 x 1 时，f（x）取得极小值f（1）a0，解得 a（舍去）；（ii）若 ln（2a）1，即 a时，f（x）0，此时 f（x）没有极小值；（iii）若 ln（2a）1，即 a，当 x 1 时，f（x）0，当 1xln（2a）时，f（x）0，当 xln（2a）时，f（x）0，当 xln（2a）时，f（x）取得极小值f（ln（2a）aln2（2a）0，解得 a综上，a