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1、2019-2020学年北京161中八年级第二学期期中数学试卷一、选择题1下列根式中，不是最简二次根式的是（）ABCD2下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A2，2，3B3，4，5C5，12，13D1，3要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx24下列计算正确的是（）A2+2B55+5CD545如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O若AOB60，BD6，则AB的长为（）A4B4C3D56下列式子不一定是二次根式的是（）ABCD7从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135，则此四边形的四个内角依次为（）A45，135，4
2、5，135B50，135，50，135C45，45，135，135D以上答案都不对8矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行B对角线相等C对角线互相平分D两组对角分别相等9在菱形ABCD中，A：B1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（）A2B4C1D210在类比探究菱形的有关问题这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）A四条边都相等的四边形是菱形B两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形C两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形D两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平
3、行四边形是菱形二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11如果+0，那么xy的值为 12计算2等于 13下列四组数：0.6，0.8，1：5，12，13； 8，15，17；4，5，6其中是勾股数的组为 14如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ABAC若AB12，AC10，则BD的长为 15已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是 ，面积是 16九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架在九章算术中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，
4、抵地处离远处竹子三尺远，则原处还有 尺竹子（请直接写出答案，注：1丈10尺）17图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是 18在RtABC中，C90，若a，A45，则c边长为 19如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使ABC60，则四边形ABCD的面积为 20如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 三、解答题（共40分）21计算：（1）；（2）22已知：如图，在ABC中，B30，C45，AC22，AC2，求（1）AB的长；（2）SABC23如图，在
5、ABC中，ABAC，DAC是ABC的一个外角实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明24如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且12，求证：AECF25若ABC的三边长a、b、c满足6a+8b+10c50a2+b2+c2，试判断ABC的形状26如图，长方形ABCD中，AB8，BC10，在边CD上取一点E，将ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下
6、，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由27CDE和AOB是两个等腰直角三角形，CDEAOB90，DCDE1，OAOBa（a1）（1）将CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；如图2，若CD在AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；将CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；（2）是否存在边长最大的AOB，使CDE的三个顶点分别在AOB的
7、三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列根式中，不是最简二次根式的是（）ABCD【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是解：C、；它不是最简二次根式故选：C2下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A2，2，3B3，4，5C5，12，13D1，【分析】欲判断是否能构成直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解：A、22+2232，不能构成直角三角形，
8、故此选项符合题意；B、32+4252，能构成直角三角形，此选项不合题意；C、52+122132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、12+（）2（）2，能构成直角三角形，此选项不合题意故选：A3要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【分析】二次根式的性质：被开方数大于等于0解：根据题意，得2x40，解得，x2故选：C4下列计算正确的是（）A2+2B55+5CD54【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案解：A、2+，无法合并，故此选项错误；B、55+5，故此选项错误；C、，不是同类二次根式，无法合并；D、54，正确故选：D5如图，矩形ABCD中，对角线
9、AC，BD交于点O若AOB60，BD6，则AB的长为（）A4B4C3D5【分析】先由矩形的性质得出OAOB，再证明AOB是等边三角形，得出ABOB3即可解：四边形ABCD是矩形，OAAC，OBBD3，ACBD6，OAOB，AOB60，AOB是等边三角形，ABOB3，故选：C6下列式子不一定是二次根式的是（）ABCD【分析】根据二次根式的定义逐一判断可得答案解：A中a0时式子无意义，不是二次根式；B、中b2+11，是二次根式；C、是二次根式；D是二次根式；故选：A7从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135，则此四边形的四个内角依次为（）A45，135，45，135B50
10、，135，50，135C45，45，135，135D以上答案都不对【分析】本题对题意进行分析，从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135，可将两条垂线与相垂直的两边构成一个四边形，即可求出平行四边形锐角的度数，进而求出钝角的度数【解答】解：过点A作AECD于E，AFBC于F，EAF135，DAEEAFDAF45，BAFEAFBAE45，BAD45，四边形ABCD是平行四边形，CBAD45，ABCADC180BAD135，四边形的四个内角依次为45，135，45，135，故选：A8矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行B对角线相等C对角线互相平分D两组对角分别
11、相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误故选：B9在菱形ABCD中，A：B1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（）A2B4C1D2【分析】由菱形ABCD中，DAB：ABC1：2，可求得DAB的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解解：如图：四边形ABCD是菱形，ABCD，ADABBCCD，ACBD，菱形ABC
12、D的周长为8，AB2，ADBC，DAB+ABC180，DAB：ABC1：2，DAB60，ABD是等边三角形，BDAB2，在RtOAB中，OABDAB30，OB1，OAOB，AC2OA2，22，较短的那条对角线长为2，故选：D10在类比探究菱形的有关问题这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）A四条边都相等的四边形是菱形B两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形C两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形D两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形
13、判断即可解：由作图的第一步可知ADAB，由作图的第二步可知CDAB，由作图的第三步可知ADBC，四边形ABCD是平行四边形，ADAB，四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故选：B二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11如果+0，那么xy的值为6【分析】根据非负数的性质求出x、y，计算即可解：由题意得，x30，y+20，解得，x3，y2，则xy6，故答案为：612计算2等于2【分析】先化简二次根式，然后计算减法解：原式332故答案是：213下列四组数：0.6，0.8，1：5，12，13； 8，15，17；4，5，6其中是勾股数的组为2【分析】满足a2+b2c2 的
14、三个正整数，称为勾股数，依此即可求解解：0.62+0.820.82，不是整数，不是勾股数；52+122132，是勾股数；82+152172，是勾股数；42+5262，不是勾股数；其中是勾股数的组为2故答案为：214如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ABAC若AB12，AC10，则BD的长为26【分析】利用平行四边形的性质可知AO5，在RtABO中利用勾股定理可得BO13，即可得出BD2BO26解：四边形ABCD是平行四边形，BD2BO，AOOCAC5AB作AC，BAC90，在RtABO中，由勾股定理可得：BO13BD2BO26故答案为：2615已知菱形的两条对角线长分别为6
15、和8，则菱形的周长是20，面积是24【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据菱形的四条边都相等求解即可；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解解：菱形的两条对角线长分别为6和8，两对角线的一半分别为3、4，由勾股定理得，菱形的边长5，所以，菱形的周长4520；面积6824故答案为：20；2416九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架在九章算术中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子三尺远，
16、则原处还有尺竹子（请直接写出答案，注：1丈10尺）【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺利用勾股定理解题即可解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺，根据勾股定理得：x2+32（10x）2，解得：x故答案为：17图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是或【分析】根据勾股定理得出AB，CD的长度，进而利用勾股定理的逆定理解答即可解：AB，CD，当EF为斜边时，EF，当EF是直角边时，EF，故答案为：或18在RtABC中，C90，若a，A45，则c边长为2【分析】根据等腰直角三角形的性质：斜边
17、是直角边的倍求解即可解：RtABC中，C90，a，A45，ab，ca2，故答案为219如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使ABC60，则四边形ABCD的面积为6【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出ABBC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3cm与ABC60求出菱形的边长，然后利用菱形的面积底高计算即可解：纸条的对边平行，即ABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，两张纸条的宽度都是3，S四边形ABCDAB3BC3，ABBC，平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形如图，过A作AEBC，垂足为E，A
18、BC60，BAE906030，AB2BE，在ABE中，AB2BE2+AE2，即AB2AB2+32，解得AB2，S四边形ABCDBCAE236故答案是：620如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是5【分析】首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得CFOAOE（AAS），即可得OAOC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由AOEABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解：连接EF交AC于O，四边形EGFH是菱形，EFAC，OEOF，四边形ABCD是矩形，
19、BD90，ABCD，ACDCAB，在CFO与AOE中，CFOAOE（AAS），AOCO，AC4，AOAC2，CABCAB，AOEB90，AOEABC，AE5故答案为5三、解答题（共40分）21计算：（1）；（2）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式2+42，然后合并同类二次根式；（2）先把分母利用平方差公式计算，然后约分即可解：（1）原式2+42+2；（2）原式2+22已知：如图，在ABC中，B30，C45，AC22，AC2，求（1）AB的长；（2）SABC【分析】（1）过点A作ADBC于D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义求出AB的长（2）利用三角
20、形面积公式解答即可解：（1）过点A作ADBC于DADBC，ADC90在RtADC中，C45，AC2，ADDC2，在RtABD中，B30，AD2，AB2AD4（2）在RtABD中，B30，AD2，AB2AD4BDAD2，SABCBCAD2（2+2）2+223如图，在ABC中，ABAC，DAC是ABC的一个外角实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明【分析】先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图
21、形，由ABAC得ABCACB，由AM平分DAC得DAMCAM，则利用三角形外角性质可得CAMACB，再根据线段垂直平分线的性质得OAOC，AOFCOE，于是可证明AOFCOE，所以OFOE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形解：如图所示，四边形AECF的形状为菱形理由如下：ABAC，ABCACB，AM平分DAC，DAMCAM，而DACABC+ACB，CAMACB，EF垂直平分AC，OAOC，AOFCOE，在AOF和COE中，AOFCOE，OFOE，即AC和EF互相垂直平分，四边形AECF的形状为菱形24如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且12，求证：A
22、ECF【分析】根据平行四边形的性质证明2FCB，进而可得1FCB，然后证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCB，2FCB，12，1FCB，AEFC，四边形AECF是平行四边形，AECF25若ABC的三边长a、b、c满足6a+8b+10c50a2+b2+c2，试判断ABC的形状【分析】把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断ABC的形状解：6a+8b+10c50a2+b2+c2，（a26a+9）+（b28b+16）+（c210c+25）0，（a3）2+（b4）2+（c5）
23、20，（a3）20，（b4）20，（c5）20，a30，得a3；b40，得b4；c50，得c5又5232+42，即a2+b2c2，ABC是直角三角形26如图，长方形ABCD中，AB8，BC10，在边CD上取一点E，将ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由【分析】（1）先判断出AFAD8，进而利用勾股定理求出BF6，最后在RtECF，利用勾股定理，即可得出结论；（2）先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE，再利用勾股定理即可得出结论解：（1）长方形ABCD中，A
24、B8，BC10，BBCD90，CDAB8，ADBC10，由折叠知，EFDE，AFAD8，在RtABF中，根据勾股定理得，BF6，CFBCBF4，设CEx，则EFDECDCE8x，在RtECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2EF2，16+x2（8x）2，x3，CE3；（2）如图，延长EC至E使CECE3，连接AE交BC于P，此时，PA+PE最小，最小值为AE，CD8，DECD+CE8+311，在RtADE中，根据勾股定理得，AE27CDE和AOB是两个等腰直角三角形，CDEAOB90，DCDE1，OAOBa（a1）（1）将CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM如
25、图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；如图2，若CD在AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；将CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；（2）是否存在边长最大的AOB，使CDE的三个顶点分别在AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用CDEAOB得出BCAE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作辅助线，利用COFEOA及三角形中位线得出OMAE分两种情况，当OC与O
26、B重合时OM最大，当OC在BO的延长线上时OM最小，据此求出OM的取值范围（2）分两种情况：当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上由DM+OMOF求出直角边a的最大值；当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上时，利用EHDDOC，得出ODEH，在RtDHE中，运用勾股定理ED2DH2+EH2，得出方程，由判定出a的最大值解：（1）CDE和AOB是两个等腰直角三角形，CDED，AOB0，CDEAOB，在CDE和AOB中，CDEAOB（SAS），BCAEM为BC中点，OMBC，OMAE猜想：OMAE证明：如图2，延长BO到F，使OFOB，连接CF，M为BC中点，OMC
27、F，CDE和AOB是两个等腰直角三角形，CDED，AOBOOF，CDEAOB，AOC+COBBOE+COB90，AOCBOE，FOCAOE，在COF和EOA中，COFEOA，CFAE，OMAE、如图3，当OC与OB重合时，OM最大，OM，、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，OM1，所以OM，（2）解：根据CDE的对称性，只需分两种情况：如图5，当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上 作OFAB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OMAOB和CDE是等腰直角三角形，AOBCDE90，OAOBa（a1），DCDE1，=ABa，OFABa，CE，DMCE，在RTCOE中，OMCE，在RTDOM中，DM+OMOD，又ODOF，DM+OMOF，即+a，a2，直角边a的最大值为2如图6，当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上，作EHAO于点HAOBCDEDHE90，HED+EDHCDO+EDH90，HEDCDO，DCDE，在EHD和DOC中，EHDDOC（AAS）设ODx，ODEHAHx，DHa2x，在RtDHE中，ED2DH2+EH2，1x2+（a2x）2，整理得，5x24ax+a210，x是实数，（4a）245（a21）204a20，a25，a2的最大值为5，a的最大值为=+综上所述，a的最大值为=