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1、2019-2020 学年北京二中教育集团八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共8 小题）.1（3 分）在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值 下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A B C D 2（3 分）一元二次方程2310 xx的根的情况是()A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根3（3 分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙丁平均数（环)8.99.18.99.1方差3.33.83.83.3根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择()A丁B丙
2、C乙D甲4（3 分）如图，为测量池塘边上两点A，B 之间的距离，可以在池塘的一侧选取一点O，连接 OA，OB，并分别取它们的中点D，E，连接 DE，现测出20DE米，那么 A，B 间的距离是()A30 米B40 米C60 米D72 米5（3 分）用配方法解方程2470 xx时，原方程应变形为()A2(2)11xB2(2)11xC2(4)23xD2(4)23x6（3分）如图，ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点 O，ABAC 若4AB，6AC，则 BD 的长为()A11B10C9D87（3 分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得60B，对
3、角线20ACcm，接着活动学具成为图2 所示正方形，则图2 中对角线AC 的长为()A 20cmB 30cmC 40cmD 20 2cm8（3 分）如图，在 RtABC 中，90ACB，30ABC，将ABC 绕点 C 顺时针旋转角(0180)至 A B C，使得点A 恰好落在AB 边上，则等于()A150B 90C 30D 60二、填空题（每小题2 分，共 16 分）9（2 分）方程20 xx的解是10（2 分）若点(3,5)A与点(3,)Bn 关于原点对称，则n的值为11（2 分）如图，在ABCD 中，7BC，4AB，BE 平分ABC 交 AD 于点 E，则 DE的长为12（2 分）菱形AB
4、CD 中，2AB，120BAD，则菱形ABCD 的面积为13（2 分）已知2x是关于x的一元二次方程20 xbxc的一个根，则b 与 c 的关系是（请用含 b 的代数式表示)c14（2 分）如图，在RtABC 中，90ACB，D 是 AB 的中点，若26A，则BDC的度数为15（2 分）如图，边长为3 的正方形ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转30 后得到正方形EFCG，EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长是16（2 分）为了了解班级同学的家庭用水情况，小明在全班50 名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月平均用水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图所示这10 名同学家庭中一年的
5、月平均用水量的中位数是三、解答题（第17-18 题每小题 8 分，第 19、22、25、26 题每题 6 分，20、21、23、24 题每题 5 分，共 60 分）17（8 分）解下列方程：（1）220 xx；（2）2160 x18（8 分）解下列方程：（1）2681xx；（2）22430 xx19（6 分）下面是小明设计的“作平行四边形ABCD 的边 AB 的中点”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD 求作：点 M，使点 M 为边 AB 的中点作法：如图，作射线 DA；以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧，交DA 的延长线于点E；连接 EC 交 AB 于点 M 所以点M 就是所求作的点根据
6、小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AC，EB 四边形 ABCD 是平行四边形，/AEBC AE，四边形 EBCA 是平行四边形()（填推理的依据）(AMMB)（填推理的依据）点 M 为所求作的边AB 的中点20（5 分）已知关于x 的一元二次方程2(1)20 xkxk（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数k 的取值范围21（5 分）如图，ABCD 中，E，F 分别是边 BC，AD 的中点，90BAC（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若4BC，60B，求四边形AECF 的面积22（6 分）商场某
7、种商品平均每天可销售30 件，每件盈利50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调査发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2件（1）若某天该商品每件降价3 元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含 x 的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000 元？23（5 分）三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山”为主题的学习节活动为了让同学们更好的了解二十四节气的知识，本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，增设了十四节气之旅项目，并开展了相关知识竞赛该学校七、八年
8、级各有400 名学生参加了这次竞赛，现从七、八年级各随机抽取20 名学生的成绩进行抽样调查七年级：74 97 96 72 98 99 72 73 76 74 74 69 76 89 78 74 99 97 98 99八年级：76 88 93 89 78 94 89 94 95 50 89 68 65 88 77 87 89 88 92 91整理数据如下成绩人数年级5059x6069x7079x8089x90100 x七年级01101a八年级12386分析数据如下年级平均数中位数众数方差七年级84.27774138.56八年级84b89129.7根据以上信息，回答下列问题（1）ab；（2）你认为
9、哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）（3）学校对知识竞赛成绩不低于80 分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有人24（5 分）已知关于x 的一元二次方程20axbxc的两个根分别为1x，2x，利用一元二次方程的求根公式12bxxa，12cx xa可得利用上述结论来解答下列问题：（1）已知2210 xx的两个根为m，n，则mn，mn；（2）若 m，n 为20 xpxq的两个根，且3mn，4mn，则 p，q；（3）已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程2(1)20 xkxk有 两 个 实 数 根1x，2x，若121
10、212(2)(2)22xxxxx x，求 k 的值25（6 分）在正方形ABCD 中，M 是 BC 边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A顺时针旋转90 得到线段AQ，连接 BP，DQ（1）依题意补全图1；猜想线段DQ 与 BP的关系是：；（2）连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DPDQAB26（6 分）在平面直角坐标系xOy 中，若 P，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q 的“相关矩形”图 1 为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图已知点A 的坐标为(1,2)（1）如图 2，点 B 的坐标为(0
11、,)b 若4b，则点 A，B 的“相关矩形”的面积是；若点 A，B 的“相关矩形”的面积是5，则 b 的值为（2）如图3，等边DEF 的边 DE 在 x 轴上，顶点F 在 y 轴的正半轴上，点D 的坐标为(1,0)点 M 的坐标为(,2)m若在DEF 的边上存在一点N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出m 的取值范围参考答案一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3 分，共 24 分）1（3 分）在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值 下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A B C D 解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，
12、故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意故选：D2（3 分）一元二次方程2310 xx的根的情况是()A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根解：2310 xx，2(3)4 1(1)94130，该方程有两个不相等的实数根，故选：B3（3 分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙丁平均数（环)8.99.18.99.1方差3.33.83.83.3根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥
13、稳定的运动员参加比赛，应选择()A丁B丙C乙D甲解：由平均数可知，乙和丁成绩较好，丁的方差小于乙的方差，故丁发挥稳定，故选：A 4（3 分）如图，为测量池塘边上两点A，B 之间的距离，可以在池塘的一侧选取一点O，连接 OA，OB，并分别取它们的中点D，E，连接 DE，现测出20DE米，那么 A，B 间的距离是()A30 米B40 米C60 米D72 米解：连接 AB，ODDA，OEEB，240ABDE（米)，故选：B 5（3 分）用配方法解方程2470 xx时，原方程应变形为()A2(2)11xB2(2)11xC2(4)23xD2(4)23x解：方程2470 xx，变形得：247xx，配方得：
14、24411xx，即2(2)11x，故选：A 6（3分）如图，ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点 O，ABAC 若4AB，6AC，则 BD 的长为()A11B10C9D8解：四边形 ABCD 是平行四边形，2BDBO，3AOOC在 Rt ABO 中，利用勾股定理可得22435BO210BDBO故选：B 7（3 分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得60B，对角线20ACcm，接着活动学具成为图2 所示正方形，则图2 中对角线AC 的长为()A 20cmB 30cmC 40cmD 20 2cm解：如图 1，图 2 中，连接AC 图 1 中
15、，四边形 ABCD 是菱形，ABBC，60B，ABC 是等边三角形，20ABBCACcm，在图 2 中，四边形 ABCD 是正方形，ABBC，90B，ABC 是等腰直角三角形，2202ACABcm；故选：D 8（3 分）如图，在 RtABC 中，90ACB，30ABC，将ABC 绕点 C 顺时针旋转角(0180)至 A B C，使得点A 恰好落在AB 边上，则等于()A150B 90C 30D 60解：90ACB，30ABC，60A，将ABC 绕点 C 顺时针旋转角(0180)至 A B C，CACA，ACA，60ACA A，60ACA，60，故选：D 二、填空题（每小题2 分，共 16 分）
16、9（2 分）方程20 xx的解是0 或 1解：原方程变形为：(1)0 x x，0 x或1x10（2 分）若点(3,5)A与点(3,)Bn 关于原点对称，则n的值为5解：由点(3,5)A与点(3,)Bn 关于原点对称，可得5n故答案为：5 11（2 分）如图，在ABCD 中，7BC，4AB，BE 平分ABC 交 AD 于点 E，则 DE的长为3解：四边形 ABCD 为平行四边形，/AEBC，AEBEBC，BE 平分ABC，ABEEBC，ABEAEB，ABAE，7BC，4CDAB，743DEADAE故答案为：312（2 分）菱形ABCD 中，2AB，120BAD，则菱形ABCD 的面积为2 3解：
17、在菱形 ABCD 中，111206022BACBAD又在ABC 中，ABBC，ABC 为等边三角形，2ACAB在菱形 ABCD 中，ACBD，AOB 为直角三角形，9030ABOBAO112AOAB，223OBABAO，22 3BDBO，菱形 ABCD 的面积1122 32 322ACBD，故答案为：2 3 13（2 分）已知2x是关于 x 的一元二次方程20 xbxc的一个根，则b 与 c 的关系是24cb（请用含 b的代数式表示)c解：2x是关于 x 的一元二次方程20 xbxc的一个根，2220bc，420bc，24cb，故答案为：24cb14（2 分）如图，在RtABC 中，90ACB
18、，D 是 AB 的中点，若26A，则BDC的度数为52解：90ACB，D 是 AB的中点，12DCABAD，26DCAA，52BDCDCAA，故答案为：52 15（2 分）如图，边长为3 的正方形ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转30 后得到正方形EFCG，EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长是3解：连接 CH 四边形ABCD，四边形EFCG 都是正方形，且正方形ABCD 绕点 C 旋转后得到正方形EFCG，90FD，CFH 与CDH 都是直角三角形，在 Rt CFH 与 Rt CDH 中，CFCDCHCH，()CFHCDH HL11(9030)3022DCHDCF在 Rt CDH 中
19、，3CD，tan3DHDCHCD故答案为：3 16（2 分）为了了解班级同学的家庭用水情况，小明在全班50 名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月平均用水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图所示这10 名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数是6.5t解：一共有 10 个数据，其中位数是第5、6 个数据的平均数，这 10 名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数是6.56.56.5()2t，故答案为：6.5t 三、解答题（第17-18 题每小题 8 分，第 19、22、25、26 题每题 6 分，20、21、23、24 题每题 5 分，共 60 分）17（8 分）解下列方程：（1）220 x
20、x；（2）2160 x解：（1）220 xx，(2)0 x x，0 x，20 x，10 x，22x；（2）2160 x，216x，开方得：4x，即14x，24x18（8 分）解下列方程：（1）2681xx；（2）22430 xx解：（1）2681xx，26810 xx，2690 xx，2(3)0 x，30 x，123xx；（2）22430 xx，2243xx，2322xx，232112xx，25(1)2x，开方得：512x，12102x，22102x19（6 分）下面是小明设计的“作平行四边形ABCD 的边 AB 的中点”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD 求作：点 M，使点 M 为边 A
21、B 的中点作法：如图，作射线 DA；以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧，交DA 的延长线于点E；连接 EC 交 AB 于点 M 所以点M 就是所求作的点根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AC，EB 四边形 ABCD 是平行四边形，/AEBC AEBC，四边形 EBCA 是平行四边形()（填推理的依据）(AMMB)（填推理的依据）点 M 为所求作的边AB 的中点【解答】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形如图所示（2）证明：连接AC，EB 四边形 ABCD 是平行四边形，/AEBC，AEBC，四边形 EBCA 是平行四边形（
22、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)AMMB（平行四边形的对角线互相平分)点 M 为所求作的边AB 的中点故答案为：BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分20（5 分）已知关于x 的一元二次方程2(1)20 xkxk（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数k 的取值范围解：（1）222(1)4(2)2148(3)kkkkkk2(3)0k，方程总有两个实数根（2）2(1)(3)2kkx，11x，22xk 方程有一个根为正数，20k，2k21（5 分）如图，ABCD 中，E，F 分别是边 BC，AD 的中点，90BAC（1）求证：四边形
23、AECF 是菱形；（2）若4BC，60B，求四边形AECF 的面积解：（1）在ABCD 中，BCAD，/BCAD，又E，F 分别是边BC，AD 的中点，12ECBC，12AFAD，ECAF，四边形 AECF 为平行四边形在 Rt ABC 中，90BAC，E 是 BC 边中点，AEEC，四边形 AECF 是菱形；（2）如图，连接EF 交 AC 于点 O，在 Rt ABC 中，90BAC，60B，4BC，2AB，2 3AC，四边形 AECF 是菱形，ACEF，OAOC，OEOF，OE 是ABC 的中位线，112OEAB，2EF，112 322 322AECFSACEF菱形22（6 分）商场某种商品
24、平均每天可销售30 件，每件盈利50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调査发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2件（1）若某天该商品每件降价3 元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000 元？解：（1）当天盈利：(503)(3023)1692（元)答：若某天该商品每件降价3 元，当天可获利1692 元（2）每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件，设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品，盈利(
25、50)x 元故答案为：2x；50 x（3）根据题意，得：(50)(302)2000 xx，整理，得：2352500 xx，解得：110 x，225x，商城要尽快减少库存，25x答：每件商品降价25 元时，商场日盈利可达到2000 元23（5 分）三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山”为主题的学习节活动为了让同学们更好的了解二十四节气的知识，本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，增设了十四节气之旅项目，并开展了相关知识竞赛该学校七、八年级各有400 名学生参加了这次竞赛，现从七、八年级各随机抽取20 名学生的成绩进行抽样调查七年级：74 97 96 72 98 99 72 73
26、 76 74 74 69 76 89 78 74 99 97 98 99八年级：76 88 93 89 78 94 89 94 95 50 89 68 65 88 77 87 89 88 92 91整理数据如下成绩人数年级5059x6069x7079x8089x90100 x七年级01101a八年级12386分析数据如下年级平均数中位数众数方差七年级84.27774138.56八年级84b89129.7根据以上信息，回答下列问题（1）a8b；（2）你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）（3）学校对知识竞赛成绩不低于80 分的学生颁发优胜奖，请你估
27、计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有人解：（1）2011018a，(8889)288.5b故答案为：8，88.5（2）八年级成绩较好，八年级成绩的众数、中位数比七年级成绩相应的众数、中位数都要大，说明八年级成绩的集中趋势要高，方差八年级较小，说明八年级的成绩比较稳定（3）七年级优秀人数为：1840018020人，八年级优秀人数为：8640028020人，故答案为：180，28024（5 分）已知关于x 的一元二次方程20axbxc的两个根分别为1x，2x，利用一元二次方程的求根公式12bxxa，12cx xa可得利用上述结论来解答下列问题：（1）已知2210 xx的两个根为m，n，则m
28、n12，mn；（2）若 m，n 为20 xpxq的两个根，且3mn，4mn，则 p，q；（3）已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程2(1)20 xkxk有 两 个 实 数 根1x，2x，若121212(2)(2)22xxxxx x，求 k 的值解：（1）一元二次方程2210 xx的两个根为m，n，12mn，12mn故答案为：12；12（2）m，n 为20 xpxq的两个根，且3mn，4mn，3p，4q故答案为：3；4（3）关于 x 的一元二次方程2(1)20 xkxk有两个实数根1x，2x，121xxk，122x xk 121212(2)(2)22xxxxx x，即21212()42
29、2xxxx，2(1)42(2)2kk，整理，得：2430kk，24(4)4132k，13k，21k25（6 分）在正方形ABCD 中，M 是 BC 边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A顺时针旋转90 得到线段AQ，连接 BP，DQ（1）依题意补全图1；猜想线段DQ 与 BP的关系是：BPQD，BPDQ；（2）连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DPDQAB解：（1）补全图形如图1:如图 1，延长 BP，QD 交于点 H，四边形 ABCD 是正方形，ADAB，90DAB，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转90 得到线段AQ，AQAP，90QAPD
30、AB，QADBAP，()AQDAPB SAS，PBQD，AQDAPB，180APBAPH，180AQDAPH，360QAPAPHAQDQHP，90QHP，BPQD，故答案为：BPQD，BPQD；（2）证明：连接BD，如图 2，线段 AP 绕点 A 顺时针旋转90 得到线段AQ，AQAP，90QAP，四边形 ABCD 是正方形，ADAB，90DAB，12()ADQABP SAS，DQBP，3Q，在Rt QAP中，90QQPA，390BPDQPA，在 Rt BPD 中，222DPBPBD，又DQBP，222BDAB，2222DPDQAB26（6 分）在平面直角坐标系xOy 中，若 P，Q 为某个矩
31、形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q 的“相关矩形”图 1 为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图已知点A 的坐标为(1,2)（1）如图 2，点 B 的坐标为(0,)b 若4b，则点 A，B 的“相关矩形”的面积是2；若点 A，B 的“相关矩形”的面积是5，则 b 的值为（2）如图3，等边DEF 的边 DE 在 x 轴上，顶点F 在 y 轴的正半轴上，点D 的坐标为(1,0)点 M 的坐标为(,2)m若在DEF 的边上存在一点N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出m 的取值范围解：（1）4b，点 B 的坐标为(0,4)，如图 21所示：点 A
32、的坐标为(1,2)，由矩形的性质可得：点A，B 的“相关矩形”的面积(42)12，故答案为：2；如图 22所示：由矩形的性质可得：点A，B 的“相关矩形”的面积|2|15b，|2|5b，7b或3b，故答案为：7 或3；（2）点 M 的坐标为(,2)m，点 M 在直线2y上，DEF 是等边三角形，顶点F 在 y轴的正半轴上，点D 的坐标为(1,0)，112ODOEDE，2EFDFDE，33OFOD，分两种情况：如图3 所示：当点 N 在边 EF 上时，若点N 与 E 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为(3,2)或(1,2)；若点 N 与 F 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为(23，2)或(23，2)；m的取值范围为323m或231m；当点 N 在边 DF 上时，若点N 与 D 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为(3,2)或(1,2)；若点 N 与 F 重合，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，则点 M 的坐标为(23，2)或(23，2)；m的取值范围为233m或123m；综上所述，m 的取值范围为323m或233m