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1、1.4 1.4 角平分线（角平分线（1 1）北师大课标八下北师大课标八下1.4(1)茂名市第十一中学茂名市第十一中学 曾珊珊曾珊珊、你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗、你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗?角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.、你还记得角平分线上的点有什么性质吗、你还记得角平分线上的点有什么性质吗?、你能证明这一结论吗、你能证明这一结论吗?情境引入情境引入已知：如图已知：如图，OC是是AOB的平分线的平分线，点，点P在在OC上上，PDOA，PEOB，垂足分别是垂足分别是D，E。求证求证:PD=PE.而而OPDO
2、PE的条件由已知的条件由已知易知它满足公理易知它满足公理(AAS).故结论可证。故结论可证。请你写出规范的证明过程。请你写出规范的证明过程。分析分析:要证明要证明PD=PE，只要证明它只要证明它们所在的们所在的OPDOPE.w角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.POCB1A2DE回顾与思考回顾与思考证明过程的规范书写证明过程的规范书写证明证明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，OPD OPE(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)POCB1A2DEw定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角
3、的两边距离相等.老师提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.w如图如图，OC是是AOB的平分线的平分线，P是是OC上任意一点上任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别是垂足分别是D，E(已已知知)，PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).引入新知引入新知POCB1A2DEw你能写出你能写出“定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相角平分线上的点到这个角的两边距离相等等”的逆命题吗的逆命题吗?w逆命题逆命题 在一个角的内部在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点，在在这个角的平分线上这个角的平分线上.它是真命题
4、吗它是真命题吗?如果是如果是.请你证明它请你证明它.已知已知:如图如图，点，点P为为AOB内一点，内一点，PDOA，PEOB，垂足分别是垂足分别是D，E.求证求证:OP平分平分AOB.分析分析:要证明要证明OP平分平分AOB，可以先作出过可以先作出过点点P的射线的射线OC，然后证明然后证明1=2.老师期望老师期望:你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程.引入新知引入新知POCB1A2DE证明过程的规范书写证明过程的规范书写证明证明：PDOA，PEOB，PDO=PEO=90在在RtODP和和RtOEP中中OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP(HL定理定理)1=2(全等三角形对应角
5、相等全等三角形对应角相等)POCB1A2DEw逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部，且到角的两边距离相等且到角的两边距离相等的点的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上.w如图如图，PA=PB，PDOA，PEOB，垂足分别是垂足分别是D，E(已知已知)，点点P在在AOB的平分线上的平分线上.(在一在一个角的内部个角的内部，且到角的两边距离且到角的两边距离相等的点相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上).老师提示老师提示:这个结论又是经常用来证这个结论又是经常用来证明明点在直线上点在直线上(或或直线经过直线经过某一某一点点)的的根据之一根据之一.从这个结果出发从这个结果出发，你还
6、能联想到什么你还能联想到什么?OBAC12PDE动手练一练动手练一练已知已知:AOB，如图如图.求作求作:射线射线OC，使使AOC=BOC.作法作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.1.在在OAT和和OB上分别截取上分别截取OD，OE，使使OD=OE.2.分别以点分别以点D和和E为圆心为圆心，以大于以大于DE/2长长为半径作弧为半径作弧，两弧在两弧在 AOB内交于点内交于点C.3.作射线作射线OC.请你说明请你说明OC为什么是为什么是AOB的平分线的平分线，并与同伴进行交流并与同伴进行交流.老师提示老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图，这种方法要确实掌握这
7、种方法要确实掌握.ABOC则射线则射线OC就是就是AOB的平分线的平分线.DE做一做做一做1.如图如图，AD，AE分别是分别是ABC中中A的内角平分线和的内角平分线和外角平分线外角平分线，它们有什么关系它们有什么关系?老师期望老师期望:你能说出结论并能证明它你能说出结论并能证明它.EDABCF课内练习课内练习2.如图如图，一目标在一目标在A区区，到公路到公路，铁路距离相等铁路距离相等，离公路与铁路的交叉处离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置在图上标出它的位置(比例尺为比例尺为 1:20 000).A区 课内练习课内练习、定理定理 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的
8、两边距离相等距离相等.OC是是AOB的平分线的平分线，P是是OC上任意一点上任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别是垂足分别是D，E(已已知知)，PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等).、逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部，且到角的两且到角的两边距离相等的点边距离相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上.OCB1A2PDEPA=PB，PDOA，PEOB，垂足分别是垂足分别是D，E(已知已知)，点点P在在AOB的平分线上的平分线上.(在一个角的内部在一个角的内部，且到角的两边距离且到角的两边距离相等的点相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上).、用尺规作角的平分线、用尺规作角的平分线.、邻补角的角平分线之间的关系、邻补角的角平分线之间的关系.小结与拓展小结与拓展独立独立作业作业课后习题：页第、题