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1、二次函数二次函数本章内容第第1章章本课内容本节内容1.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质子目内容1.2.2二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的的图象与性质图象与性质说一说说一说 二次函数二次函数y=ax2的图象具有哪些特征？函数的图象具有哪些特征？函数具有哪些性质？具有哪些性质？问题问题问题问题y=ax2a0a0示意图示意图图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值原点原点,是抛物线的最高点是抛物线的最高点开口向下开口向下关于关于y轴对称轴对称x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小x0时，函数时，函数y取最取最大大值值0.原点原点,是抛
2、物线的最低点是抛物线的最低点开口向上开口向上关于关于y轴对称轴对称x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大x0时，函数时，函数y取最取最小小值值0.a 越大越大,抛物线开口越小抛物线开口越小a 越大越大,抛物线开口越大抛物线开口越大做一做做一做 画出二次函数画出二次函数 的图象，指出它具的图象，指出它具有哪些特征？函数具有哪些性质？有哪些特征？函数具有哪些性质？二次函数二次函数抛物线抛物线E：图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值(0,0)开口向上开口向上关于关于y轴对称轴对称x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大x0时，函数时，函数y取最取
3、最小小值值0.把二次函数把二次函数 的图象的图象E向右平移一向右平移一个单位得到图形个单位得到图形F,指出图形指出图形F具有哪些特征？具有哪些特征？该函数具有哪些性质？该函数具有哪些性质？问题问题问题问题二次函数二次函数抛物线抛物线F：图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值(1,0)开口向上开口向上关于直线关于直线x=1对称对称x1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大x1时，函数时，函数y取最取最小小值值0.?图形图形F F是哪个函数的图象呢是哪个函数的图象呢？问题问题问题问题.问题问题问题问题(1)(1)在抛物线在抛物线 上任取一点上任取一点 ,
4、那么在那么在向右平移个单位后，点向右平移个单位后，点P的像点的像点Q的坐标是什么？的坐标是什么？向右平移向右平移个单位个单位.问题问题问题问题(2)(2)能否通过点能否通过点Q的坐标推出图形的坐标推出图形F的函数表达式？的函数表达式？设设b=a+1,则则a=b-1，向右平移个单位向右平移个单位二次函数二次函数抛物线抛物线E：抛物线抛物线F：图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值开口向上开口向上关于关于直线直线x=1对称对称x1时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小x1时，函数时，函数y取最取最小小值值0.(0,0)开口向上开口向上关于关于y轴对称轴对
5、称x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大x0时，函数时，函数y取最取最小小值值0.(1,0)y=ax2h0，向右平移，向右平移|h|个单位个单位h0，向左平移，向左平移|h|个单位个单位顶点顶点（0，0）顶点顶点（h，0）顶点平移二次函数二次函数 与与 图象之间的关系图象之间的关系结论结论二次函数二次函数 图象特征和函数性质图象特征和函数性质二次函数二次函数图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值开口向开口向下下关于关于直线直线x=1对称对称xh时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小xh时，函数时，函数y取最取最大大值值0.(h,0)开口向开口向
6、上上xh时，函数时，函数y取最取最小小值值0.(h,0)a0a0关于关于直线直线x=1对称对称xh时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大结论结论 我们已经知道了二次函数我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2 的图象特征，因此的图象特征，因此今后在画今后在画y=a(x-h)2的图象时，只要先画出对称轴以及图象的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在对称在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分轴左边的部分举举例例例例1 1 画函数画函数y=(x-2)2 的图象的图象解解 抛物线抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线的对称轴是直线x=2
7、，顶点坐标是顶点坐标是(2,0)列表列表：自变量自变量x从顶点的横坐标从顶点的横坐标2 2开始取值开始取值xy23450149举举例例例例1 1 画函数画函数y=(x-2)2 的图象的图象描点、连线：描点、连线：先画出图象在对称轴右边的部先画出图象在对称轴右边的部分，再利用对称性画出图象在分，再利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，这样就得对称轴左边的部分，这样就得到了到了y=(x-2)2的图象的图象练习练习1 1 抛物线抛物线 的开口的开口_，对称轴是，对称轴是_，顶点坐标是，顶点坐标是_，它可以看作是由抛物线，它可以看作是由抛物线 向向_平移平移_ 个单位得到的个单位得到的2 抛物线抛物线
8、 ，当，当x_时，函数值时，函数值 y 随随x的增大而减小当的增大而减小当x=_时，函数取得最时，函数取得最_值是值是_它可以看作是由抛物线它可以看作是由抛物线 向向_平移平移_ 个单位得到的个单位得到的左左直直线线x=-1(-1,0)向下向下 1 0，向上平移，向上平移|k|个单位个单位k0，向上平移，向上平移|k|个单位个单位k0，向下平移，向下平移|k|个单位个单位顶点顶点（0，0）顶点顶点（0，k）顶点平移二次函数二次函数 与与 图象之间的关系图象之间的关系结论结论练习练习1 1 抛物线抛物线 的开口的开口_，对称轴是，对称轴是_，顶点坐标是，顶点坐标是_，它可以看作是由抛物线，它可以
9、看作是由抛物线 向向_平移平移_ 个单位得到的个单位得到的2 2 抛物线抛物线 向上平移向上平移5 5个单位得到抛物个单位得到抛物线线_向上向上 y轴轴(0,-6)下下6问题问题问题问题如何由函数如何由函数 的图象得到的图象得到的图象？的图象？顶点顶点（0，0）顶点顶点（1，0）顶点顶点（1，3）向右平移向右平移1个单位个单位向上平移向上平移3个单位个单位向上平移向上平移3个单位个单位向右平移向右平移1个单位个单位顶点顶点（0，3）二次函数二次函数 与与 图象之间的关系图象之间的关系顶点顶点（0，0）顶点顶点（h，0）顶点顶点（1，3）顶点顶点（0，k）结论结论问题问题问题问题观察函数观察函数
10、 的图象，指出它具有哪些特征？的图象，指出它具有哪些特征？该函数具有哪些性质？该函数具有哪些性质？二次函数二次函数抛物线：抛物线：图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值开口向上开口向上关于直线关于直线x=1对称对称x1时，函数时，函数y取最取最小小值值3.(1,3)x1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大二次函数二次函数 图象特征图象特征 和函数性质和函数性质二次函数二次函数图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值开口向开口向下下关于直线关于直线x=h对称对称xh时，函数时，函数y取最取最大大值值k.(h,k
11、)开口向开口向上上xh时，函数时，函数y取最取最小小值值k.(h,k)a0a0关于直线关于直线x=h对称对称xh时，时，y随随x的增大而的增大而增大增大结论结论xh时，时，y随随x的增大而的增大而减小减小结论结论画画y=a(x-h)2+k的图象的步骤：的图象的步骤：第一步第一步 写出对称轴和顶点坐标，写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；画出对称轴，描出顶点；第二步第二步 列表（自变量列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），从顶点的横坐标开始取值），描点和描点和连线，连线，画出图象在对称轴右边的部分；画出图象在对称轴右边的部分；第三步第三步 利
12、用对称性，利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）次连接它们和顶点）举举例例例例2 2 画二次函数 的图象解解 对称轴是直线对称轴是直线x=-1，顶点坐标是顶点坐标是(-1,-3)列表列表：自变量自变量x从顶点的横坐标从顶点的横坐标-1-1开始取值开始取值xy-1 0 1 2 3 5-3-2.5 -1 1.5举举例例描点、连线：描点、连线：先画出图象在对称轴右先画出图象在对称轴右边的部分，再利用对称边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左
13、性画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到边的部分，这样就得到了了函数函数的图象的图象例例2 2 画二次函数 的图象举举例例例例3 已知某抛物线的顶点坐标为（已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），），且且与与y 轴相交于点（轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式二次函数的表达式.解解 由于点（由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，）是该抛物线的顶点，可设这个抛物可设这个抛物 线所表示的二次函数的表达式为线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1.由函数图象过点（由函数图象过点（0，4），可得），可得4 a(0+2)2+1，解得解得 因此，因此，所
14、求的二次函数的表达式为所求的二次函数的表达式为练习练习1 1抛物线抛物线 的开口的开口_，对称轴是，对称轴是_，顶点坐标是，顶点坐标是_，它可以看作是由抛物线，它可以看作是由抛物线 先向先向_平移平移_ 个单位，再向个单位，再向_平平移移_ 个单位得到的个单位得到的2 2抛物线抛物线 向右平移向右平移0.50.5个单位，再向上平移个单位，再向上平移2.52.5个单位得到抛物线个单位得到抛物线_向下向下 直直线线x=-9(-9,-8)下下8左左9练习练习4.4.一条抛物线的对称轴与一条抛物线的对称轴与 相同，其顶点相同，其顶点纵坐标是纵坐标是-2-2，且抛物线经过点（，且抛物线经过点（1 1，1
15、 1），这条抛物线的函数），这条抛物线的函数表达式是表达式是_3抛物线抛物线 当当x_时，函数值时，函数值 y 随随x的的增大而增大，当增大而增大，当x_时，函数值时，函数值 y 随随x的增大而减小，当的增大而减小，当x=_时，函数取得最时，函数取得最_值为值为_11（1）二次函数）二次函数y=a(x-h)2+k的图象具有哪些特征，函数的图象具有哪些特征，函数具有哪些性质？具有哪些性质？问题问题问题问题小结与复习小结与复习二次函数二次函数 图象特征图象特征和函数性质和函数性质二次函数二次函数图图象象特特征征顶点顶点开口开口对称性对称性函函数数性性质质增减性增减性最值最值开口向开口向下下关于直线
16、关于直线x=h对称对称xh时，函数时，函数y取最取最大大值值k.(h,k)开口向开口向上上xh时，函数时，函数y取最取最小小值值k.(h,k)a0a0关于直线关于直线x=h对称对称xh时，时，y随随x的增大而的增大而增大增大结论结论xh时，时，y随随x的增大而的增大而减小减小（2）如何画出二次函数）如何画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象？的图象？问题问题问题问题小结与复习小结与复习第一步第一步 写出对称轴和顶点坐标，写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；画出对称轴，描出顶点；第二步第二步 列表（自变量列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值）
17、，从顶点的横坐标开始取值），描点和描点和连线，连线，画出图象在对称轴右边的部分；画出图象在对称轴右边的部分；第三步第三步 利用对称性，利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）次连接它们和顶点）（3）如何由二次函数）如何由二次函数y=ax2的图象得到二次函数的图象得到二次函数 y=a(x-h)2+k的图象？的图象？问题问题问题问题小结与复习小结与复习经过左右平移和上下平移得到，移动的路径主要看经过左右平移和上下平移得到，移动的路径主要看顶点
18、的移动顶点的移动数形结合的思想，由特殊到一般的研究方法，由函数图数形结合的思想，由特殊到一般的研究方法，由函数图象观察得出函数性质这种研究函数的一般方法等等象观察得出函数性质这种研究函数的一般方法等等问题问题问题问题小结与复习小结与复习（4）通过本节课，你在思想方法上有哪些收获）通过本节课，你在思想方法上有哪些收获？中考中考 试题试题例例1 （2013淮安）二次函数淮安）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是的图象的顶点坐标是_（0，1）例例2 （2013北京）请写出一个开口向上，并且与北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点轴交于点（0，1）的抛物线的解析式）的抛物线的解析式_ y=x2+
19、1 等等中考中考 试题试题例例3（2013吉林省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线吉林省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k，则下列结论正确的，则下列结论正确的是（是（）A.h0，k 0 B.h 0，k 0 C.h 0，k0 D.h 0，k 0A中考中考 试题试题例例4 （2013 济南）下列函数中，当济南）下列函数中，当x0时，时，y随随x的增大而的增大而 增大的是增大的是()A.B.C.D.B中考中考 试题试题例例5 （2013泰安）对于抛物线泰安）对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：，下列结论：抛物线的开口向下；抛物线的开口向下；对称轴为直线对称轴为直线x=1；顶点坐标为顶点坐标为（-1，3）；）；x1时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小.其中正确结论的个数为（）其中正确结论的个数为（）A1 B2 C3 D4 C中考中考 试题试题例例6 （2013毕节）将二次函数毕节）将二次函数y=x2 的图像向右平移一个的图像向右平移一个 单位长度，再向上平移单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图像解析式个单位长度所得的图像解析式 为为 （）A.B.C.D.C结结 束束单位：北京市第一六六中学单位：北京市第一六六中学姓名：孙梅姓名：孙梅