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1、杨辉三角杨辉三角研究性课题：研究性课题：第第5行行 1 5 5 1第第0行行1杨杨辉辉杨杨辉辉三三角角三三角角第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 1第第n行行 1 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34一一.复习复习:杨辉三角的基本性质杨辉三角的基本性质1 1）表中每个数都是组合数，第）表中每个数都是组合数，第n n行的第行的第r+1r+1个数是个数是 2 2）三角形的两条斜边上都是数字）三角形的两条斜边上都是数字1 1，而其余，而其余的数
2、都等于它肩上的两个数字相加，也就是的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是 3 3）杨辉三角具有对称性）杨辉三角具有对称性 4 4）杨辉三角的第）杨辉三角的第n n行是二项式（行是二项式（a+ba+b）n n展开展开式的二项式系数即式的二项式系数即证明：证明：2 2）假设当）假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即则当则当n=k+1n=k+1时，时，1)1)当当n=1n=1时，时，左边左边a+ba+b,右边右边a+ba+b所以等式成立所以等式成立利用组合数的重要性质可得利用组合数的重要性质可得 求证：求证：中世纪意大利数学家中世纪意大利数学家斐波那契斐波那契的传的传世之作世之作算术之法算术
3、之法中提出了一个饶有中提出了一个饶有趣味的问题：趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？1.斐波那契斐波那契“兔子繁殖问题兔子繁殖问题”:二二.引入引入:在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球球 (黑色黑色)向容器内跌落
4、，碰到第一层阻向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，2.杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏如是，一直下跌，最终小如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区么两边区奖品高于中间区奖品？奖品？“纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从纵横各有五条路，如果从A处走到处走到B处处
5、(只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东)，那么有多，那么有多少种不同的走法？少种不同的走法？AB 3.杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线图纵横路线图”从某种意义上说从某种意义上说,发现问题发现问题更重要更重要.第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 1第第n行行 1 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34三三.新课新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律杨辉三角蕴含的数字排列规律.1.研究斜行规律：研究斜行规律
6、：第一条斜线上：第一条斜线上：第二条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：第四条斜线上：猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第第m+1条斜线上的第条斜线上的第n个数个数.1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线）1 14 41010 （第第4 4条斜线条斜线）1 13 36 6 （第第3 3条斜线条斜线）1 12 23 3 （第第2 2条斜线条斜线）(nr)?结论结论结论结
7、论1 1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第mm条斜条斜条斜条斜(从右上从右上从右上从右上到左下到左下到左下到左下)上前上前上前上前n n个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1m+1条斜线上第条斜线上第条斜线上第条斜线上第n n个数个数个数个数即即即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第第m条斜条斜(从左上到右下从左上到右下)上前上前n个数字的和，等个数字的和，等于第于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数。个数。125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 1
8、5 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 11381321342.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列。中世纪意大利数学家中世纪意大利数学家斐波那契斐波那契的传世之作的传世之作算术之法算术之法中中提出了一个饶有趣味的问题：提出了一个
9、饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，1.斐波那契斐波那契“兔子繁殖问题兔子繁殖问题”四四.应用应用:在游艺场，可以看到如图的弹子游
10、戏，小球在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色黑色)向容器内向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？奖品高于中间区奖品？“概率三角形”照这样计算第照这样计算第n+1层有层有n+1个通道，个通道，弹子通过各通道的概率将是？弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何关系？关系？2.杨辉
11、三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏 “纵横路线图纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从果从A处走到处走到B处处(只能由北到南，由西向东只能由北到南，由西向东)，那，那么有多少种不同的走法？么有多少种不同的走法？AB 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 3.杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线图纵横路线图”五五、小结、小结2 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律、杨辉三角蕴含的数字排列规律 1 1、杨辉三角蕴含的基本性质、杨辉三角蕴含的
12、基本性质杨辉三角的其它规律杨辉三角的其它规律第0行11 1、杨、杨、杨、杨辉辉辉辉三角的第三角的第三角的第三角的第2 2k k-1-1行的各数字特点行的各数字特点行的各数字特点行的各数字特点第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 11第n行11 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数。第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第
13、第6行行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 11第n行11 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 12 2、杨、杨辉辉三角中若第三角中若第P P行除去行除去1 1外，外，P P整除整除其余的所有数，则行数其余的所有数，则行数P P是是质数(素数)（04.上海春季高考）如图，在由二项式系上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第数所构成的杨辉三角形中，第_行中从行中从左至右第左至右第14与第与第15个数的比为个数的比为 .34练习练习1:练习练习2：4 7 7 412 23 4 35 11 14 11 56 16 25 25 16 6则第则第n 行（行（n 2
14、）第第2个数是什么？个数是什么？分析分析:设第设第 n 行的第行的第 2 个数为个数为 an,则则a2 =2,an+1=an+n an=2+2+3+(n-1)练习练习3：3 5 6 9 10 12 17 18 20 2433 34 36 40 48 65 66 68 72 8 0 96则则表中各数按从小到大的顺序排列，第表中各数按从小到大的顺序排列，第100个数是个数是 多少？多少？分析:首先计算第100 个数位于表中第几行,1+2+3+13=91第100 个数位于第 14 行,第 9 个数其次计算第 14 行第1个数:3+21+22+213=16385最后计算第 9 个数:16385+20+21+22+23+24+25+26+27=16640