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1、 杨杨 辉辉二项式系数的性质二项式系数的性质1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1题引题引杨杨辉辉三三角角 一一 一一 一一 一一 二二 一一 一一 三三 三三 一一 一一 四四 六六 四四 一一 一一 五五 十十 十十 五五 一一 一一 六六 十五十五 二十二十 十五十五 六六 一一 杨辉，字谦光，南宋末钱塘人。作过地方官员，他杨辉，字谦光，南宋末钱塘人。作过地方官员，他是宋代甚至也是中国古代最杰出的数学教育家，十分重是宋代甚至也是中国古代最杰出的数学教育家，十分重视数学教育和普及工作。视数学教育和普及工作。12611261
2、年他所著的年他所著的详解九章算详解九章算法法里，记载着类似下面的表：此表称为杨辉三角。里，记载着类似下面的表：此表称为杨辉三角。杨辉三角是我国古代数学杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发的研究成果之一，它的发现比法国数学家帕斯卡早现比法国数学家帕斯卡早500500年左右。它和勾股定理、年左右。它和勾股定理、圆周率的计算等其他中国圆周率的计算等其他中国古代数学成就，一并显示古代数学成就，一并显示了我国古代劳动人民的卓了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。越智慧和才能。杨辉三角杨辉三角之雾里看花之雾里看花2、对称性：对称性：表中的数字左右对称表中的数字左右对称，即，即 3、结构特征：结构特征
3、：除底边上除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，以外的各数，都等于它肩上的两数之和，即即1、与二项式定理的关系：与二项式定理的关系：表中的每个数都是二项式表中的每个数都是二项式系数，第系数，第n行的第行的第r+1个数是个数是尝尝试试探探索索（1）对称性：与首末两端）对称性：与首末两端“等距离等距离”的的两两 个二项式系数相等。个二项式系数相等。（3）各二项式系数的和：）各二项式系数的和：（2）增减性与最大值：因为）增减性与最大值：因为证明：倒序倒序相加相加解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则所以它们的比是而二项式系数最大的项为第11项,即求展开式中各项系数和求展开式中各项
4、系数和解：设解：设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1例题点评例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1 1上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时，(2-1)(2-1)n n=（2-12-1）n n=1例例3.3.的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_求奇数求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和(1)(1)(2)(2)例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等
5、，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值 试证明：杨辉三角中，若行数试证明：杨辉三角中，若行数p是素数，则是素数，则p整除第整除第p行中除行中除1以外的所有数。以外的所有数。又因为又因为pk且且p为素数为素数,证明：在第证明：在第p行中除去数行中除去数1外的所有数外的所有数可用可用 表示表示(0kp且且k为整数为整数)所以所以，所以所以 中一定含有因数中一定含有因数p，故，故p整除整除第第p行中除数行中除数1外的所有数。外的所有数。1、第、第2k-1行（行（k是正整数）的各个数字均为奇数是正整数）的各个数字均为奇数2、如果、如果p是素数，那么在第是素数，那么在第p行中，除去两端的行中，除去两端的数字数字1外，行数外，行数p整除其余的所有的数。整除其余的所有的数。3、各行数字的和均为、各行数字的和均为2n（n是行数）。是行数）。4、第、第2k-1行的所有数均为奇数，第行的所有数均为奇数，第2k行的所有行的所有数都是偶数（除两端的数都是偶数（除两端的1外）外）k是正整数。是正整数。小结小结