《人教版八年级数学上册第十一章三角形教学ppt课件 全套.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版八年级数学上册第十一章三角形教学ppt课件 全套.pptx（202页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、11.1.1 三角形的边第十一章 三角形【学习目标学习目标】1认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三 角形了解三角形的分类 2掌握判断三条线段可否构成一个三角形的方法 3通过度量三角形的边长，理解三角形三边间的不等关 系【学习难点学习难点】三角形三边的运用【学习重点学习重点】理解三角形三边关系生活中的三角形生活中的三角形埃及金字塔水分子结构示意图飞机机翼生活中的三角形情景导入 如图，从教室到食堂有两条路可走，你会如图，从教室到食堂有两条路可走，你会走哪条？为什么？走哪条？为什么？知识模块一知识模块一 三角形及相关概念三角形及相关概念(一一)自主学习自主学习阅读教材阅读教材P2思考思考之
2、前之前部分，完成下面的内容：部分，完成下面的内容：1.1.三角形的概念：三角形的概念：由由不在同一条直线上的不在同一条直线上的三条线段首尾三条线段首尾 顺次相接所组成的图形叫做三角形顺次相接所组成的图形叫做三角形归纳2 2边：边：如图，线段如图，线段AB、BC、CA是三角形的边是三角形的边自学互研3 3顶点：顶点：点点A、B、C是三角形的顶点是三角形的顶点归纳5 5三角形的读法：三角形的读法：如图，顶点是如图，顶点是A、B、C的三角形，记的三角形，记 作作ABC，读作，读作“三角形三角形ABC”4 4内角：内角：相邻相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称两边组成的角，叫做三角形的内角，简称
3、三角形的角三角形的角(二二)合作探究合作探究范例如图，用符号表示以点如图，用符号表示以点B为顶点的三角形：为顶点的三角形：BDF、BDA、BEA、BCA辨一辨：辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗下列图形符合三角形的定义吗？不符合不符合不符合位置关系：不在同一直线上；联接方式：首尾顺次.三角形应满足以下两个条件：表示方法：三角形用符号“”表示；记作“ABC”，读作“三角形ABC”，除此ABC还可记作BCA,CAB,ACB等.要点归纳u基本要素：三角形的边：边AB、BC、CA；三角形的顶点：顶点A、B、C；三角形的内角(简称为三角形的角）：A、B、C.u特别规定：特别规定：三角形三角形ABCABC
4、的三边的三边,一般的顶点一般的顶点A A所对的边记作所对的边记作a a,顶点顶点B B所对的边记作所对的边记作b b,顶点顶点C C所对的边记作所对的边记作c c.要点归纳知识模块二知识模块二 三角形的分类三角形的分类(一一)自主学习自主学习阅读教材阅读教材P2思考至思考至P3探究之前部分，完成下面的内容：探究之前部分，完成下面的内容：1.三角形按边的关系可以如下分类：三角形按边的关系可以如下分类：归纳三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形2.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底 边，两腰之间的夹角叫做顶角
5、，腰和底边的夹角叫做边，两腰之间的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做 底角底角三边都三边都不相等不相等的三角形的三角形等腰等腰三角形三角形等边等边三角形三角形三角形三角形(二二)合作探究合作探究1下列说法正确的是()A所有的等腰三角形都是锐角三角形B等边三角形属于等腰三角形C不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D一个三角形有两个锐角，则一定是锐角三角形B2.ABC的三边长分别为a、b、c，且(abc)(ac)0，那么ABC为()A不等边三角形B等边三角形C等腰三角形 D锐角三角形C知识模块三知识模块三 探究三角形的三边关系探究三角形的三边关系探究：探究：画出一个ABC，假设有一只小虫要从B
6、点出发，沿 三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条 路线的长一样吗？教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题1小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线a从BC2从BC路线短b从BAC然后教师进一步提出问题：这条路径为什么是最短的？学生举手回答：“两点之间，线段最短”然后师生共同归纳得出：ACBCABABACBCABBCAC即：三角形的两边的和大于第三边即：三角形的两边的和大于第三边由不等式移项可得BCAB-ACBCAC-AB即：三角形的两边的差小于第三边即：三角形的两边的差小于第三边要点归纳分析：分析：(1)“(1)“用一条长用一条长18cm18cm
7、的绳围成一个等腰三角形的绳围成一个等腰三角形”这句话有这句话有什么含义什么含义(2)(2)有一边长为有一边长为4cm4cm，是什么意思，哪一边的长度是，是什么意思，哪一边的长度是4cm?4cm?师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是什么？（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？例典例精析典例精析(1)设底边长为设底边长为 x cm,则腰长为则腰长为2 2 x cm.x+2x+2x=18.解得解得x=3.6.所以，三边长分别为所以，三边长分别为3
8、.6cm,7.2cm,7.2cm.解：(2)因为长为因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论讨论.如果如果4cm长的边为底边，设腰长为长的边为底边，设腰长为x cm,则则 4+2x=18.解得解得x=7.如果如果4cm长的边为腰，设底边长为长的边为腰，设底边长为x cm,则则24+x=18解得解得x=10.因为因为4+410，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是腰长是4cm的等腰三角形的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰
9、三角形的等腰三角形.(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么 样的三角形?等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.三边都不相等的三角形.问题1：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？三角形的分类自主探究等边三角形等腰三角形不等边三角形（顶角（底角（底角按是否有边相等分不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形按内角大小分锐角三角形直角三角形钝角三角形腰底边(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？归纳（1）图中有几个三角形？
10、用符号表示出这些三角形？ABC CDE E5个，它们分别是ABE,ABC,BEC,BCD,ECD.（2）以AB为边的三角形有哪些？ABC、ABE.（3）以E为顶点的三角形有哪些？ABE、BCE、CDE.（4）以D为角的三角形有哪些？BCD、DEC.（5）说出BCD的三个角和三个顶点所对的边.BCD的三个角是BCD、BDC、CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.试一试针对练习针对练习判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、4cm、8cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm.归纳归纳:判断三条线段是否可以组成
11、三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.解：（1）不能，因为3cm+4cm10cm.针对练习针对练习 一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？归纳：设x为三角形第三条边的长，则有两边之差x两边之和.解：设第三边长为x，则应有 7-2x7+2，即5x9.则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5x9.针对练习针对练习4如图三角形的个数是()A2个 B3个 C4个 D5个随堂练习随堂练习1ABC中，ABAC2BC，若BC6，则周长为 2已
12、知三角形两边分别为2和7，第三边c的取值范围是 3等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则这个等腰三角形 的周长是 D305c912cm5.判断：（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（）（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（）（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）（4）等边三角形是锐角三角形.（）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）随堂练习随堂练习4米3米别踩我,我怕疼!5米A AB BC C6.学校草坪经常被学生走出一条小路来，你能用今天所学的知识解释这一现象吗？4 4（1 1米米=2 2步）步）它只少走 步 两点之间，线段最短，三角形的两边的和大于第三边.请勿践踏！文明行走！三角形
13、三角形定义及其基本要素顶点、角、边分类按角分类按边分类分类不重不漏三边关系原理两点之间线段最短内容两边之和大于第三边两边之差小于第三边|a-b|xb,x为第三边）应用课堂小结课堂小结11.1.2 三角形的高、中线与角平分线第十一章 三角形【学习目标学习目标】1掌握三角形的高、中线、重心与角平分线 2准确画出三角形的高、中线与角平分线【学习难点学习难点】三角形的高、中线与角平分线的应用【学习重点学习重点】三角形的高、中线与角平分线的特征旧知回顾问题问题1 1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来符号表示出来答：图中共有答：图中共有5 5个三角形个三
14、角形分别是：分别是：ABCABC、ABDABD、ACDACD、ADEADE、CDE.CDE.问题问题2 2：利用长为利用长为2cm2cm、3cm3cm、4cm4cm、5cm5cm的四条线段的四条线段可以组成几个三角形？为什么？可以组成几个三角形？为什么？答：可以组成答：可以组成3 3个三角形从四条线段中任选三条个三角形从四条线段中任选三条组成三角形，共有四种选法：组成三角形，共有四种选法：2 2，3 3，4 4，3 3，4 4，5 5，2 2，3 3，5 5，2 2，4 4，5 5，其中，满足，其中，满足“三角三角形两边之和大于第三边形两边之和大于第三边”的只有第的只有第、这这三组三组你还记得
15、“过一点画已知直线的垂线”吗?0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5放、靠、过、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?定义 图示垂线线段
16、中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线自学互研知识模块一知识模块一 三角形的高三角形的高(一一)自主学习自主学习阅读教材阅读教材P4标题标题11.1.2下第下第1段话，完成下面的内容：段话，完成下面的内容：1 1从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高如图，在ABC中，ADBC，点D是垂足，AD是ABC的一条高2 2准备一个锐角三角形的纸片你能画出这个三角形的三
17、条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？这三条高分别位于三角形的什么位置？三角形的边上？内部？外部？三角形的高的定义:A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如右图,线段AD是BC边上的高.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5归纳总结注意:标明垂直的记号和垂足的字母。思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.(二二)合作探究合作探究如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们又分别位
18、于三角形的什么位的方法找到它的高吗？它们又分别位于三角形的什么位置？置？锐角三角形的高都在三角形的内部；锐角三角形的高都在三角形的内部；钝角三角形的高中有两条在三角形的外部；钝角三角形的高中有两条在三角形的外部；直角三角形的高有两条恰好是三角形的两条直角边直角三角形的高有两条恰好是三角形的两条直角边归纳(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O(3)(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高：如图所示；直角边BC边上的高是 ;直角
19、边AB边上的高是 ;(2)AC边上的高是 ;直角三角形的三条高：ABC(1)画出直角三角形的三条高,它们有怎样的位置关系？它们有怎样的位置关系？ABBCD直角三角形的三条高交于直角顶点.BD (1)(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCDEF(2)AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEAD钝角三角形的三条高：A AB BC CD DF F(3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？(4)它们所在的直线交于 一点吗？O OE E钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.作ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是 ()D典例精析典例
20、精析例方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为()典例精析典例精析例方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”已知直角已知直角ABC中，中，B90，AB8，BC6，AC10，则，则AC边上的高为边上的高为 4.8针对练习自学互研知识模块二知识模块二 三角形的中线三角形的中线(一一)自主学习自主学习 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).AE是
21、BC边上的中线.BACABE=ECE(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样 的位置关系?三条中线交于一点讨讨 论论(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？折一折，画一画，并与同伴交流.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.归纳(二二)合作探究合作探究如图所示，AD是ABC中BC边上的中线，已知ABC的面积为20cm2，则ACD的面积是 10cm2例典例精析典例精析(二二)合作探究合作探究你能将ABC分为面积相等的两个三角形吗？解：根据三角形的面积公式，两个三角形高相等的话只解：根据三角形的面积公式，两个三角形高相等的话只需要底
22、边相等即可，所以连接三角形一边的中线，就能需要底边相等即可，所以连接三角形一边的中线，就能将三角形分成面积相等的两部分将三角形分成面积相等的两部分变例典例精析典例精析自学互研知识模块三知识模块三 三角形的角平分线三角形的角平分线(一一)自主学习自主学习 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?问题：BAC用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕 AD 即为三角形的A 的平分线.ABCA AD D自学互研三角形的角平分线的定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶
23、点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.12ABCD1=2 注意：注意：“三角形的角三角形的角平分线平分线”是一条线段是一条线段.每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样 的位置关系?做一做做一做三角形的三条角平分线交于同一点.三角形角平分线的性质:(二二)合作探究合作探究如图所示，ABC中，ADBC，AE是BC边上的中线，AF平分BAC，且BAF40，AE5cm，AF4cm，AD3cm，BE3cm.例典例精析典例精析求：(1)BAC的度数 (2)BC的长
24、及ABC的面积解：解：(1)AF平分平分BAC，BAC2BAF，又又BAF40，BAC24080.三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 AD是ABC的高线.ADBCADB=ADC=90.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 AD是ABC的BC上的中线.BD=CD=BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段.AD是ABC的BAC的平分线1=2=BAC 知识归纳知识归纳1如图，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，根据图形填空：随堂练习随堂练习(1)BE ；
25、(2)BAD ；(3)AFB ECBCDACBACAFC90 2下列关于三角形的高的说法正确的是()A三角形的三条高所在直线交于一点B钝角三角形只有一条高C直角三角形没有高 D高一定在三角形的内部A随堂练习随堂练习3如图，在ABC中，A50，ABC70，BD平分ABC，则BDC的度数是()A85B80 C75D70A随堂练习随堂练习 4如图，点D、E、F分别是ABC的边AC、AB、BC 上的点，且DEBC，EFAC，且CE是ABC的 角平分线，求证：CE是DEF的平分线证明：DEBC，EFAC，DECECF，FECECD.又CE是ABC的角平分线，FCEECD.FECFCEDEC.CE是DEF
26、的平分线.三角形重要 线 段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线课堂小结课堂小结11.1.3 三角形的稳定性第十一章 三角形【学习目标学习目标】1让学生知道三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性 2让学生理解三角形的稳定性和四边形的不稳定性【学习难点学习难点】准确使用三角形的稳定性于生产、生活之中【学习重点学习重点】了解三角形的稳定性在生产、生活中的实际应用情景导入盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，如图，为什么要这样
27、先在窗框上斜钉一根木条，如图，为什么要这样做呢？做呢？思考：为什么要这样做呢？思考：为什么要这样做呢？知识模块一知识模块一 三角形的稳定性三角形的稳定性(一一)自主学习自主学习自学互研1如教材P6图11.17(1)将三根木条用钉子钉成一个三边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？答：答：，这说明三角形具有，这说明三角形具有 性性不改变不改变稳定稳定2如教材P6图11.17(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？答：答：，这说明四边形，这说明四边形 稳定性稳定性不改变不改变没有没有3如教材P6图11.17(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来
28、，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？你从这个例子知道怎样防止四边形的不稳定性？答：答：不改变我们可以通过将四边形变成三角形来防止不改变我们可以通过将四边形变成三角形来防止四边形的不稳定性四边形的不稳定性发现：发现：三角形具有三角形具有稳定性稳定性，四边形具有四边形具有不稳定性不稳定性理解理解“稳定性稳定性”“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.你能举出一些现实生活中的应用了三角形稳定性的例子吗?观察上面这些图片，你发
29、现了什么？观察上面这些图片，你发现了什么？讨论讨论 这说明三角形有它所独有的性质，是什这说明三角形有它所独有的性质，是什么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性.发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？具有稳定性不具有稳定性不具有稳定性具有稳定性具有稳定性不具有稳定性下列图形中哪些具有稳定性.(二二)合作探究合作探究1下列图形中，不具有稳定性的是 ()B B2如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是 ()A三角形的稳定性B两点之间线段最短C两点确定一条直线 D垂线段最短A A3工人师傅在安装木制门
30、框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性稳定稳定4如图，说说哪些应用了三角形的稳定性，哪些应用了四边形的不稳定性解：应用了三角形稳定性的有：钢架桥、起重解：应用了三角形稳定性的有：钢架桥、起重机、屋顶钢架；机、屋顶钢架；应用了四边形不稳定性的有：活动滑门应用了四边形不稳定性的有：活动滑门知识模块二知识模块二 四边形不稳定性的应用四边形不稳定性的应用(一一)自主学习自主学习自学互研四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？四边形的不稳定性有广泛的应用四边形的不稳定性有广泛的应用活动晾衣架伸
31、缩门遮阳棚将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?做一做：思考：思考：四边形没有稳定性,怎样使它稳定呢?1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修已经变成如图甲，为什么会变形？2.为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该怎么做呢？(甲甲)(乙乙)(二二)合作探究合作探究盖房子时,在窗框未安装好之前,工人师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?回顾情景引入问题:三角形的稳定性三角形的稳定性例：要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢?方法
32、总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式.合作探究1下列图形具有稳定性的是 ()A长方形 B菱形C钝角三角形 D等腰梯形C随堂练习随堂练习2下列图形具有稳定性的有 ()C随堂练习随堂练习A1个B2个C3个D4个3.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了 ()A.节省材料,节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D美观漂亮随堂练习随堂练习C11.2.1 11.2.1 三角形的内角三角形的内角11.2 11.2 与三角形有关的角与三角形有关的角【学习目标学习目标】1探索并掌握三角形内角和定理 2学会运用三角形内角和定理【学习难点学习难点
33、】三角形内角和定理的推导过程【学习重点学习重点】三角形内角和定理 在在一一个个直直角角三三角角形形里里住住着着三三个个内内角角，平平时时，它它们们三三兄兄弟弟非非常常团团结结.可可是是有有一一天天，老老二二突突然然不不高高兴兴，发发起起脾脾气气来来，它它指指着着老老大大说说：“你你凭凭什什么么度度数数最最大大，我我也也要要和和你你一一样样大大！”“”“不不行行啊啊！”老老大大说说：“这这是是不不可可能能的的，否否则则，我我们们这这个个家家就就再再也也围围不不起起来来了了”“”“为为什什么么？”老二很纳闷老二很纳闷.你知道其中的道理吗？你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争三兄弟的和应
34、为三兄弟的和应为180180度！度！情景导入1回答：三角形的内角和可能是多少度？情景导入3三角形的三个内角之比为135，那么这个三角形 的最大内角为 2在直角ABC中，C90，则A与B的关系是 AB90100自学互研知识模块一知识模块一 三角形内角和定理三角形内角和定理(一一)自主学习自主学习阅读教材阅读教材P11P12“三角形内角和定理三角形内角和定理”之前部之前部分，看图，完成下面的内容：分，看图，完成下面的内容：自学互研1 1在任意一个三角形中，将其三个内角剪下来，进行拼接，即B ，C ，ABC构成一个 ，即可以猜想三角形的三个内角之和为180.2 2由上述拼接过程，我们可以发现B与B，
35、C与C都分别是平行线中的 ，由此我们可以利用平行线的性质和平角的定义证明“三角形的内角和等于180”BC平角平角内错角内错角归纳：三角形的内角和归纳：三角形的内角和等于等于180180(二二)合作探究合作探究证明已知：已知：ABC(如图如图)求证：求证：ABC180.证明：如图，过点证明：如图，过点A作直线作直线l，使，使l BC.l BC，24(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)同理同理35.1，4，5组成平角，组成平角，145180(平角定义平角定义)123180(等量代换等量代换)三角形内角和三角形内角和定理：定理：三角形三角形三个内角的和三个内角的和等于等于180180也可
36、以在三角形的一边上任取一点，也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理线，这样也可证出定理证明：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DEAB交AC于E，DFAC交AB于F.BDFC(两直线平行，同位角相等)EDCB(两直线平行，同位角相等)EDFA(平行四边形的对角相等)BDFEDFEDC180(1平角180)，ABC180(等量代换)FE你还能想出其他解法吗？你还能想出其他解法吗？自学互研知识模块二知识模块二 三角形内角和定理的应用三角形内角和定理的应用(一一)自主学习自主学习阅读教材阅读教材P13练习之前部分，回答
37、下列问题：练习之前部分，回答下列问题：1如图，从如图，从A处观测处观测C处的仰角处的仰角CAD30，从，从B处观处观测测C处的仰角处的仰角CBD45.从从C处观测处观测A，B两处的视角两处的视角ACB是多少度？是多少度？解：解：ACB 是是15.2如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中其中A150，BD40.求求C的度数的度数解：解：C是是130.如图，在ABC 中，BAC=40,B=75,AD 是ABC 的角平分线，求ADB 的度数.A AB BC CD D解：由BAC=40,AD是ABC的角平分线，得BAD=BAC=20.在ABD 中
38、，ADB=180-B-BAD =180-75-20 =85.典例解析典例(二二)合作探究合作探究北A AD北C CB B.东E E.如图，C 岛在A 岛的北偏东50方向，B 岛在A 岛的北偏东80 方向，C 岛在B 岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C 两岛的视角ABC 是多少度？从C 岛看A、B 两岛的视角ACB是多少度？典例典例解析CAB=BAD-CAD=80-50=30.由AD/BE,得BAD+ABE=180.所以ABE=180-BAD=180-80=100,ABC=ABE-EBC=100-40=60.在ABC中，ACB=180-ABC-CAB =180-60-30=90,答：从B 岛看
39、A,C 两岛的视角ABC 是60,从C 岛看A,B 两岛的视角ACB 是90.解：北A AD北C CB B.东E E.答：过C点作AD，BE 两条直线的平行线即可求解还能想出其他方法还能想出其他方法解决该问题嘛？解决该问题嘛？如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD的延长线相交成20，DA与CB的延长线相交成40，现测得B75，C85，D55，能否判定模板是否合格，为什么？探究解：合格180BC180758520，180DC180558540，满足BA与CD的延长线相交成20，DA与CB的延长线相交成40.在ABC 中，若C=90，你能求出A，B 的度数吗？为什么？你能求出A+B 的度数
40、吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？A AB BC直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余应用格式：在RtABC 中，C=90，A+B=90直角三角形的表示：直角三角形的表示：直角三角形可以用符号直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形表示，直角三角形ABC 可以写成可以写成RtABC 典例解析 如图，C=D=90,AD,BC 相交于点E.CAE 与DBE有什么关系？为什么？A AB BC CD DE E解：在RtACE中，CAE=90-AEC.在RtBDE中，DBE=90-BED.AEC=BED，CAE=DBE.例3 在ABC 中，A+B=90，C 等于多少度？你用了什么知识解
41、决的?你能得出什么结论？C=90，三角形内角和定理.A AB BC C应用格式：在ABC 中，A+B=90，ABC 是直角三角形结论：结论：直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余探究由三角形内角和定理可得：由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.1.说出下列各图中的x值x=70 x=60 x=30 x=50 随堂练习随堂练习2.填空（1）一个三角形最多有 个直角，因为 ；（2）一个三角形最多有 个钝角，因为 ；（3）一个三角形至少有 个锐角，因为 .112三角形内角和等于180 三角形内角和等于180 三角形内角和等于180 随堂练习
42、随堂练习3.如图，点E是ABC中AC边上的一点，过E作EDAB，垂足为D.若12，则ABC是直角三角形吗？为什么？解：ABC是直角三角形理由如下：EDAB，ADE90，ADE是直角三角形，1A90.又12，2A90.ABC是直角三角形三角形的内角三 角 形 的内角和定理证 明了解添加辅助线的方法及其目的内 容三角形内角和等于180直角三角形的性 质 与 判 定性 质直角三角形的两 锐 角 互 余判 定两角互余的三角形是 直 角 三 角 形课堂小结课堂小结11.2.211.2.2 三角形的外角三角形的外角11.2 11.2 与三角形有关的角与三角形有关的角【学习目标学习目标】1引导学生探索并了解
43、三角形外角的性质 2让学生学会用学过的定理证明此性质【学习难点学习难点】三角形外角性质和定理的探究及应用【学习重点学习重点】三角形外角的性质和三角形外角和1三角形的内角和是多少度？2直角三角形的两个锐角 ；答：三角形内角和是180.互余互余旧知回顾直角三角形直角三角形有两个角互余的三角形是 什么是三角形的外角？什么是三角形的外角？自学互研知识模块一知识模块一 三角形的外角三角形的外角(一一)自主学习自主学习如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.AB BC CD D(ACD 是ABC 的一个外角三角形的外角的概念三角形的外角的概
44、念(二二)合作探究合作探究在ABC中，ABAC，A40，则ABC的外角BCD 三角形的外角与相邻内角有什么位置关系和数量关系？三角形的外角与相邻内角有什么位置关系和数量关系？110直接根据图示填空：(1)；(2)；(3)1006035思考思考画一画：画出ABC的所有外角，请指出来有哪几个.ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系和数量关系）（A AB BC C123456AB BC C有6个，它们是1，2，3，4，5，6.1和4,是对顶角，相等；2和5,是对顶角，相等；3和6,是对顶角，相等.探探 究究填一填：（1）如图，在ABC中，A=70,B=60,则ACD =.（2）任意一个三角形的外角
45、与它不相邻的两个内角是否都 有（1）中这种关系呢？A ABC CD(130 ACD=A+B.探探 究究三角形内角和定理的推论：三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：应用格式：ACDACD是ABCABC的一个外角 ACDACD=A A+B B.（1）位置关系：相邻和不相邻.（2）数量关系：外角与相邻内角互补，外角大于不相邻的 任何一个内角.归纳总结三角形外角与内角的关系：三角形外角与内角的关系：说出下列图形中1和2的度数：ABCD(80 60(21(1)ABC(2150 32(2)1=40,2=140 1=18,2=130 练一练练一练如图，已知DE分别交A
46、BC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，B67，ACB74，AED48，求BDF的度数解：BDF的度数是87.自学互研知识模块一知识模块一 三角形外角的性质三角形外角的性质(一一)自主学习自主学习(二二)合作探究合作探究典例解析 如图，BAE,CBF,ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？A AB BC CE EF FD D(213解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得BAE=2+3，CBF=1+3,ACD=1+2.又知1+2+3=180，所以BAE+CBF+ACD =2(1+2+3)=360.你还有其他解法吗？方法二：方法二：如图，BAE+1=180 ，CBF+2
47、=180，ACD+3=180，又知1+2+3=180，+得BAE+CBF+ACD+(1+2+3)=540，所以BAE+CBF+ACD=540-180=360.A AB BC CE EF FD D(213BAE+CBF+ACD=2(1+2+3)=360.三角形外角和定理的推论：三角形外角和定理的推论：三角形的外角和等于三角形的外角和等于360.归纳总结A AB BC CE EF FD D(213(一题多解）如图，计算BDC.A AB BC CD D(51 20 30 A AB BD DE EA AC CD DE E思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.拓展练习A AB BC C
48、D D(51 20 30 解：（解法一）（解法一）连接AD并延长于点E.在ABD中，1+ABD=3，在ACD中，2+ACD=4.因为BDC=3+4，BAC=1+2，所以BDC=BAC+ABD+ACD =51+20+30 =101.E)1 12 2)3 3)4 4A AB BC CD D(51 20 30 E)1 1（解法二（解法二:）延长BD交AC于点E.在ABE中，1=ABE+BAE，在ECD中，BDC=1+ECD.（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）)2 2所以BDC=BAC+ABD+ACD =51+20+30=101.ABCD(132(BDC=1+2+3.重要发现：重
49、要发现：1如图，在ABC中，A60，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求BHC的度数解：在ACE中，ACE90A9060 30.而BHC是HDC的外角，所以BHCHDCACE 9030 120.合作探究2如图所示，ABC中，BD、CD分别是ABC、ACB的外角平分线，A100，求D的度数解：BD平分FBC，FBC22，同理ECB23，又FBCAACB，ECBAABC，FBCECB AACBAABC，2223A180.又A100，23140，D1802340.合作探究1如图，如图，ABCD，A60，若，若 C E，则则 C 2020随堂练习2五角星五角星ABCDE中，中，A
50、 B C D E等等于于 180180随堂练习1 12 23 3B BA AC CP PN NM MD DE EF F能力提升如图，试求出ABCDEF=.360360三角形的外角定 义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性 质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外 角 和三角形的外角和等于360 课堂小结课堂小结11.3.111.3.1 多边形多边形11.3 11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和【学习目标学习目标】1了解多边形及其相关概念，感悟类比方法的价值 2让学生学会判断一个图形是否是凸多边形【学习难点学习难点】获得将多边形分割成三角形来解决问题