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1、课时跟踪检测（八）一、选择题1已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100()A0 B100 C100 D10 200解析：选B由题意，a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100，故选B.2九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”
2、是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.钱 B.钱 C.钱 D.钱解析：选D设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意有解得故选D.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里 B96里 C48里 D24里解析：选B设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意有378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里，故选B.4已知数列an的通
3、项公式为anlog(n1)(n2)(nN*)，我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”，则在(0,2 018内的所有“优数”的和为()A1 024 B2 012 C2 026 D2 036解析：选Ca1a2a3anlog23log34log45log(n1)(n2)log2(n2)k，kZ，令0n2k22 018，则22k2 020,10，an3an10，即3，数列an是首项a12，公比q3的等比数列，其前n项和Sn3n1，故选A.6设曲线y2 018xn1(nN*)在点(1,2 018)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlog2 018xn，则a1a2a2 017的值为()
4、A2 018 B2 017 C1 D1解析：选D因为y2 018(n1)xn，则y|x12 018(n1)，所以曲线在点(1,2 018)处的切线方程是y2 0182 018(n1)(x1)，令y0，得xn，所以a1a2a2 017log2 018(x1x2x2 017)log2 018log2 0181. 二、填空题7对于数列an，定义Hn为an的“优值”，现在已知某数列an的“优值”Hn2n1，记数列ankn的前n项和为Sn，若SnS5对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围为_解析：由Hn2n1，得n2n1a12a22n1an，(n1)2na12a22n2an1，得2n1ann2n1(n
5、1)2n，所以an2n2，ankn(2k)n2，又SnS5对任意的nN*恒成立，所以即解得k.答案：8(2017安阳检测)在数列an中，a12n1(nN*)，且a11，若存在nN*使得ann(n1)成立，则实数的最小值为_解析：依题意得，数列的前n项和为2n1，当n2时，(2n1)(2n11)2n1，且2111211，因此2n1(nN*)，.记bn，则bn0，1，即bn1bn，数列bn是递增数列，数列bn的最小项是b1.依题意得，存在nN*使得bn成立，即有b1，的最小值是.答案：9(2017德州模拟)已知四个数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q(q0)不为1.将此数列删去一个数后
6、得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q的取值集合是_解析：因为公比q不为1，所以不能删去a1或a4.设等差数列的公差为d，则若删去a2，则2a3a1a4，即2a1q2a1a1q3,2q21q3，整理得q2(q1)(q1)(q1)，因为q1，所以q2q1，又q0，所以q；若删去a3，则2a2a1a4，即2a1qa1a1q3,2q1q3，整理得(q1)(q2q1)0，因为q1，所以q2q10，又q0，所以q.综上所述，q或q.答案：三、解答题10(2017惠州调研)已知数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数
7、列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值解：(1)由已知得，a11，an1an2，即an1an2，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an2n1.(2)数列an的前n项和Snn2.等比数列bn中，b1a11，b2a23，所以q3，bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn，即n2，又nN*，所以n1或2.11(2017临川模拟)若数列bn对于任意的nN*，都有bn2bnd(常数)，则称数列bn是公差为d的准等差数列如数列cn，若cn则数列cn是公差为8的准等差数列设数列an满足a1a，对于nN*，都有anan12n.(1)求证：an是
8、准等差数列；(2)求an的通项公式及前20项和S20.解：(1)证明：anan12n(nN*)，an1an22(n1)(nN*)，得an2an2(nN*)an是公差为2的准等差数列(2)a1a，anan12n(nN*)，a1a221，即a22a.由(1)得a1，a3，a5，是以a为首项，2为公差的等差数列；a2，a4，a6是以2a为首项，2为公差的等差数列当n为偶数时，an2a2na；当n为奇数时，ana2na1.anS20a1a2a3a4a19a20(a1a2)(a3a4)(a19a20)21232192200.12已知函数f(x)定义在(1,1)上，f 1，满足f(x)f(y)f ，且x1
9、，xn1.(1)证明：f(x)为定义在(1,1)上的奇函数；(2)求f(xn)的表达式；(3)是否存在自然数m，使得对任意的nN*，有恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：x，y(1,1)，f(x)f(y)f ，当xy0时，可得f(0)0.当x0时，f(0)f(y)f f(y)，f(y)f(y)，f(x)是(1,1)上的奇函数(2)f(xn1)f f f(xn)f(xn)2f(xn)，2，又f(x1)f 1，f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为f(xn)2n1(nN*)(3)假设存在自然数m使得原不等式恒成立，即1216对任意的nN*恒成立，m16，故存在自然数m使得对任意的nN*，有恒成立，且m的最小值为16.