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1、第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 一、函数的概念 1函数的概念 设 A、B 是非空的数集_，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有_唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:fAB为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作(),yf xxA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合()|f xxA叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集 解读函数概念（1）“A，B 是非空的数集”，一方面强调了 A，B 只能是数集，即 A，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域
2、、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集 A，但函数的值域不一定是非空数集 B，而是集合 B 的子集（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集 A 中的任意一个（任意性）元素 x，在非空数集 B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 y 与之对应（4）函数符号“yf x”是数学中抽象符号之一，“yf x”仅为 y 是 x 的函数的数学表示，不表示 y 等于 f 与 x 的乘积，f x也不一定是解析式，还可以是图表或图象学科网 2函数的构成要素 由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域.对应关系和值域由于值
3、域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系 辨析 f x与 f aaA：f a表示当自变量xa时函数 f x的值，是一个常量，而 f x是自变量 x 的函数，它是一个变量，f a是 f x的一个特殊值 3相等函数（同一函数）对于两个函数，只有当两个函数的定义域和对应关系_都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数 二、区间及其表示 1区间的概念 设 a，b 是两个实数，而且 a0，x202x，得 x5，所以函数的定义域为x|5x10 所以y关于x的函数解析式为 y202x（5x0 Bx|x0 Cx|x0 DR 2下列图形中，不能表示以 x 为自变量的函数图
4、象的是 A B C D 3下面哪个点不在函数 y=2x+3 的图象上 A（5，13）B（0.5，2）C（3，0）D（1，1）4函数 11xf xxx 的定义域是 A（1，+）B（1，1）（1，+）C1，+）D1，1）（1，+）5已知函数 f（x）=21x，x1，2，3则函数 f（x）的值域是 A135，B（，0 C1，+）DR 6函数 y=x2+1 的值域是 A1，+）B（0，1 C（，1 D（0，+）7已知 A=B=R，xA，yB，f：xy=ax+b 是从 A 到 B 的映射，若 1 和 8 的原象分别是 3 和 10，则 5在 f 下的象是 A3 B4 C5 D6 8已知映射 f：AB，其
5、中 A=a，b，B=1，2，已知 a 的象为 1，则 b 的象为 A1，2 中的一个 B1，2 C2 D无法确定 9已知函数 y=21020 xxx x，若 f（a）=10，则 a 的值是 A3 或3 B3 或 5 C3 D3 或3 或 5 10已知函数 f（x）=268mxmxm的定义域为 R，则实数 m 取值范围为 Am|1m0 Bm|1m0 Cm|m0 Dm|m0 11若集合 A=x|x（x1）0，B=y|y=x2，则 AA=B BA B CAB=R DB A 12若集合|10|1Ax x xBy yx，则 AA=B BA B CAB=R DB A 13设 xR，定义符号函数 sgnx=
6、100010 xxx，则函数 f（x）=|x|sgnx 的图象大致是 A B C D 14已知 f（x）=1010 xx，则不等式 x+（x+2）f（x+2）5 的解集是 A2，1 B（，2 C322，D32，15函数2211xyx的值域是 Ay|1y1 By|1y1 Cy|1y1 Dy|00，故函数的定义域是（0，+），故选 A 2【答案】B【解析】B 中，当 x0 时，y 有两个值和 x 对应，不满足函数 y 的唯一性，A，C，D 满足函数的定义，故选 B 4【答案】D【解析】要使函数 f（x）有意义，需满足1010 xx ，解得 x1 且 x1函数 11xf xxx xR1,0,sgn0
7、,0,1,0.xxxx|sgn|xxx|sgn|xxx|sgnxxx|sgnxxx的定义域是1，1）（1，+）故选 D 5【答案】A【解析】f（x）=21x，x1，2，3当 x=1 时，f（1）=1；当 x=2 时，f（2）=3；当 x=3 时，f（3）=5函数 f（x）的值域是135，故选 A 6【答案】A【解析】y=x2+11，函数 y=x2+1 的值域是1，+），故选 A 7【答案】A【解析】A=B=R，xA，yB，f：xy=ax+b 是从 A 到 B 的映射，又 1 和 8 的原象分别是 3 和 10，31108abab，解得12ab，即 f：xy=x2，5 在 f 下的象可得 f（5
8、）=152=3，故选 A 8【答案】A【解析】映射 f：AB，其中 A=a，b，B=1，2，已知 a 的象为 1，可得 b=1 或 2，故选 A 9【答案】B【解析】若 a0，则 f（a）=a2+1=10，解得 a=3（a=3 舍去）；若 a0，则 f（a）=2a=10，解得 a=5综上可得，a=5 或 a=3，故选 B 11【答案】B【解析】集合 A=x|x（x1）0=x|0 x1，B=y|y=x2=y|y0可知：A B故选 B 12【答案】D【解析】集合|10|1Ax x xBy yx，可得 A=x|x0 或 x1，B=y|y0可知 B A故选 D 13【答案】C【解析】函数 f（x）=|
9、x|sgnx=0000 xxxxx，=x，故函数 f（x）=|x|sgnx 的图象为 y=x 所在的直线，故选 C 14【答案】D【解析】当 x+20 时，即 x2，f（x+2）=1，由 x+（x+2）f（x+2）5 可得 x+x+25，x32即2x32，当 x+20 即 x2 时，f（x+2）=1，由 x+（x+2）f（x+2）5 可得 x（x+2）5，即25，x 2，综上，不等式的解集为x|x32，故选 D 15【答案】C【解析】由2211xyx整理得 y+yx2=1x2，（y+1）x2+y1=0当 y+10 时，=4（y+1）（y1）0，解得1y1当 y+1=0 时，1=1 不成立，y1
10、故选 C 17【答案】（1）图象详见解析；（2）32，22，22【解析】（1）函数 f（x）=221(12)22xxxxx x 的图象如下图所示：（2）当 a1 时，f（a）=a+2=12，可得：a=32；当1a0得 2x（2x21）0，得 x22或 0 x22，此时函数单调递增，由 f（x）0，得x22或22x0，此时函数单调递减，排除 C，故选 D 19【答案】D【解析】对于选项 A，右边，而左边，显然不正确；对于选项 B，右边，而左边，显然不正确；对于选项 C，右边，而左边，显然不正确；对于选项 D，右边，而左边，显然正确.故应选 D 20【答案】3，1【解析】由 32xx20 得：x2+2x30，解得：x3，1，故答案为：3，1 21【答案】2，1【解析】32323232()()313133f xf axxaaxxaa ，23222()()(2)(2)xb xaxab xaab xa b，所以223223203abaaba baa，解得21ab ,0|sgn|0,0 x xxxx,0|,0 x xxx x,0sgn0,0 x xxxx,0|,0 x xxx x,0sgn0,0,0 x xxxxx x,0|,0 x xxx x,0sgn0,0,0 x xxxxx x,0|,0 x xxx x