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1、第一章 集合与函数概念 1.1 集合 一、集合的概念 1集合与元素 一般地，我们把_研究对象_统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,表示把一些元素组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,表示 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等 2元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作_aA_；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作_aA_学科网 注意：aA与aA取决于元素 a 是否是集合 A 中的元素根据集合中元素的确定性可知，对任何元素 a 与集合 A，aA与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立 3集合中元素的特征（1）确定性_：集合
2、中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一这是判断一组对象是否构成集合的标准（2）互异性_：给定集合的元素是互不相同的即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的（3）无序性_：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系 4集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的 二、常用的数集及其记法 1全体非负整数_组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N；2所有正整数_组成的集合称为正整数集，记作N或N；3全体_整数_组成的集合称为整数集，记作 Z；4全体_有理数_组成的集合称为有理数集，记作 Q；5全体_实
3、数_组成的集合称为实数集，记作 R 易错点：N为非负整数集（即自然数集），包括 0，而N表示正整数集，不包括 0，注意区分 三、集合的表示方法 1列举法 把集合的元素_一一列举_出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性（2）“”含有“所有”的含义，因此用 R表示所有实数是错误的，应是R 2描述法 用集合所含元素的_共同特征_表示集合的方法称为描述法具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_共
4、同特征 说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式 四、Venn 图，子集 1Venn 图的概念 我们经常用平面上封闭曲线_的内部代表集合，这种图称为 Venn 图 说明：（1）表示集合的 Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显 2子集（1）子集的概念 一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中_任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作AB（或BA），读作“
5、A 含于 B”（或“B 包含 A”）用 Venn 图表示 AB 如图所示：（2）子集的性质 任何一个集合是它自身的子集，即AA 传递性，对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 五、从子集的角度看集合的相等 如果集合A是集合B的_子集（AB），且集合B是集合A的子集_（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB 用 Venn 图表示AB如图所示 六、真子集 1真子集的概念 如果集合AB，但存在元素_xB_xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）如果集合A是集合B的真子集，在 Venn 图中，就把表示A的区域画在表示B的区域的内部 如图所
6、示：2真子集的性质 对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC 辨析：子集与真子集的区别：若AB，则AB或AB；若AB，则AB 七、空集 1空集的概念 我们把_不含_任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集 2空集的性质（1）空集是任何集合的_子集_，即A；（2）空集是任何非空集合的真子集_，即A 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解 八、并集 1并集的概念 一般地，由_所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作：AB_（读作“A 并 B”），即
7、,ABx xAxB或用 Venn 图表示如图所示：（1）（2）（3）由上述图形可知，无论集合 A，B 是何种关系，AB恒有意义，图中阴影部分表示并集 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的 2并集的性质 对于任意两个集合 A，B，根据并集的概念可得：（1）()AAB，()BAB；（2）AAA；（3）AA；（4）ABBA 九、交集 1交集的概念 一般地，由_属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：AB_（读作“A 交 B”），即|,ABx xAxB且用 V
8、enn 图表示如图所示：（1）A 与 B 相交（有公共元素）（2）AB，则ABA （3）A 与 B 相离（AB ）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素（2）定义中的“所有”是指集合 A 和集合 B 中全部的公共元素，不能是一部分公共元素 2交集的性质（1）(),()ABA ABB；（2）AAA；（3）A；（4）ABBA 十、全集与补集 1全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念学+科网 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，
9、它是依据具体的问题来加以选择的例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集 2补集的概念 对于一个集合 A，由全集 U 中_集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作UA，即,UAx xUxA且用 Venn 图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念（2）若xU，则xA或UxA，二者必居其一 3全集与补集的性质 设全集为 U，集合
10、A 是全集 U 的一个子集，根据补集的定义可得：（1）UU ；（2）UU；（3）UUAA；（4）UAAU；（5）UAA 1集合的概念 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象【例 1】下列各组对象中不能构成集合的是 A正三角形的全体 B所有的无理数 C高一数学第一章的所有难题 D不等式 2x31 的解【答案】C【解析】C 中的难题并没有确定的标准，因此不满足集合中元素的确定性，不能构成集合A，B，D 中的对象满足集合中元素的确定性、互异性
11、和无序性，能够构成集合 2元素与集合之间的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征 若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若aA，且集合A是用列举法表示的，则 a 一定等于集合 A 的其中一个元素，由此可列方程（组）求解【例 2】已知21Mx|xa,aZ，则有 A1M B0M C2M D1M 【答案】D【解析】设121a，则0a Z，即1M，同理可得0M，2M，1M 【名师点睛】解决本题的关键是根据集合 M 中元
12、素的一般形式分别判断 1，0，2，1是否为该集合中的元素，即分别判断方程21a=1，0，2，1是否有整数解 3集合的表示方法 对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示 但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素但要注意不要忽略集合中元素的代表形式【例 3】选择适当的方法表示下列集合：（1）1 和 70 组成的集合；（2）大于 1 且小于 70 的自然数组成的集合（3）大于 1 且小于 70 的实数组成的集合（4）平面直角坐标系中函数2yx 图象上的所有点
13、组成的集合【答案】答案详见解析 （4）设平面直角坐标系中函数2yx 图象上的所有点组成的集合为 E，函数2yx 图象上的点可以用坐标(,)x y表示，则有(,)|2x yyx 4集合相等 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义【例 4】已知集合 M 中含有三个元素 2，a，b，集合 N 中含有三个元素 2a，2，2b，且两集合相等，求 a，b 的值【答案】01ab或1412ab 5判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合
14、进行分析，首先，判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B，若是，则 A B，否则 A 不是 B 的子集；其次，判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A，若是，则 B A，否则 B 不是 A的子集；若既有 A B，又有 B A，则 AB（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断也可以利用数轴或 Venn 图进行快速判断【例 5】指出下列各组中两个集合的包含关系：（1）1,2,4A，|8Bx x是 的约数；（2）|3,Ax
15、xk kN，|6,Bx xz zN；（3）|Ax x是平行四边形，|Bx x是菱形，|Cx x是四边形，|Dx x是正方形 【答案】（1）AB；（2）BA；（3）CABD【解析】（1）8 的约数有 1，2，4，8，所以1,2,4,8B，从而有AB（2）A中的元素都是 3 的倍数，B中的元素都是 6 的倍数，对任意的zN，6=3(2)zz 因为zN，所以2zN，从而可得6zA，从而有BA，设63z，则12z N，故3B，但3A，所以BA（3）画出 Venn 图如图所示，由图可知CABD 6确定集合的子集的个数 有限集子集的确定问题，求解关键有三点：（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和
16、自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集写出子集 就可避免重复和遗漏现象的发生【例 6】集合14A=xx N的真子集个数为 A7 B8 C15 D16【答案】C【解析】方法一：3210，A中有 4 个元素，按真子集中所含元素的个数分类写出真子集 是任何非空集合的真子集；由一个元素构成的真子集：0123，；由两个元素构成的真子集：0,10,20,31,21,32,3，；由三个元素构成的真子集：0,1,20,2,31,2,30,1,3，故集合14A=xx N的真子集个数为 15故选 C 方法二：3210，A中有 4 个元素，则真子集个数为15124故选 C【名师
17、点睛】如果有限非空集合A中有 n 个元素，则：（1）集合A的子集个数为2n；（2）集合A的真子集个数为21n；（3）集合A的非空子集个数为21n；（4）集合A的非空真子集个数为22n 7集合的交、并、补运算（1）“AB”是指所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素并在一起所构成的集合注意对概念中“所有”的理解：不能认为“AB”是由 A 中的所有元素和 B 中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A 与 B 的公共元素只能作并集中的一个元素（2）“AB”是指属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合注意对概念中“且”的理解：不能仅认为AB中的任意元素都是 A 和 B
18、 的公共元素，它同时还表示集合 A 与 B 的公共元素都属于AB，而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A 和集合 B 没有公共元素时，=AB （3）|,UAx xUxA且 全集与补集的性质：一个集合与其补集的并集是全集，即()=UAAU；一个集合与其补集的交集是空集，即()=UAA；一个集合的补集的补集是其本身，即()=UUAA；空集的补集是全集，即=UU；全集的补集是空集，即=UU 若AB，则()()UUAB；反之，若()()UUAB，则BA；若=A B，则=UUAB；反之，若=UUAB，则=A B；德摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUUABAB；交集的补集等于
19、补集的并集，即()=()()UUUABAB（4）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求()UAB时，先求出UA，再求交集；求()UAB时，先求出AB，再求补集【例 7】设集合0,2,4,6,8,10,4,8AB，则AB A4,8 B0,2,6 C0,2,6,10 D0,2,4,6,8,10（2）已知集合2|20,0,1,2Mx xxN，则MN A0 B0,1 C0,2 D0,1,2（3）已知全集,|0,|1UAx xBx xR，则集合UAB A|0 x x B|1x x C|01xx D|01xx【答案】（1）C；（2）C；（3）D 【名师点睛】（1）集合|()0 x f x 表示
20、关于x的方程()0f x 的解集（2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到 1下列选项正确的是 A0N*BR C1Q D0Z 2在下列命题中，不正确的是 A10，1，2 B 0，1，2 C0，1，2 0，1，2 D0，1，2=2，0，1 3下列哪组对象不能构成集合 A所有的平行四边形 B高一年级所有高于 170 厘米的同学 C数学必修一中的所有难题 D方程 x24=0 在实数范围内的解 4已知集合 A=2，3，下列说法正确的是 A2A B2A C5A D3A 5集合3，x，x22x中，x 应满足的条件是 Ax1 Bx0 Cx1 且 x0 且 x3 Dx1 或 x0
21、 或 x3 6已知集合 A=2，1，B=m2m，1，则 A=B，则实数 m=A2 B1 C2 或1 D4 7集合 A=x|2x2，B=0，2，4，则 AB=A0 B0，2 C0，2 D0，1，2 8已知集合 A=1，2，3，B=x|x2x21，则 AA B2A C2A D2 A 15设 A1，1=0，1，1，则满足条件的集合 A 共有个 A1 B2 C3 D4 16设 A=x|2x6，B=x|2axa+3，若 B A，则实数 a 的取值范围是 A1，3 B3，+）C1，+）D（1，3）17如图所示的韦恩图中，若 A=x|0 x1，则阴影部分表示的集合为 Ax|0 x2 Bx|12 18若全集
22、U=1，0，1，2，P=xZ|x2x20，则UP=A0，1 B0，1 C1，2 D1，0，2 19 已知集合1|12|228xMx xxPxxZR，则图中阴影部分表示的集合为 A1 B1，0 C0，1 D1，0，1 20设全集 U=xN|x9，集合 A=2，5，8，9，B=1，4，6，7，9，则图中阴影部分表示的集合为 A1，4，6 B1，4，7 C1，4，9 D1，4，6，7 21已知集合 A 是由 0，m，m23m+2 三个元素构成的集合，且 2A，则实数 m 为_ 22由实数 t，|t|，t2，t，t3所构成的集合 M 中最多含有_个元素 23设 A=x|1x4，B=x|xa0，若 A
23、B，则 a 的取值范围是_ 24已知集合 A=0，1，B=1，0，a+3，且 A B，则 a 等于_ 25已知1 A 1，2，3，则这样的集合 A 有_个学科+网 26已知 aR，bR，若a，ba，1=a2，a+b，0，则 a2019+b2019=_ 27已知集合 A=a，b，2，B=2，b2，2a，且 A=B，则 a=_ 28已知集合 A=x|2x5，B=x|m+1x2m1若 AB=A，求实数 m 的取值范围【解析】若 AB=A，则 B A，分两种情况考虑：（1）若 B 不为空集，可得 m+12m1，解得：m2，B A，A=x|2x5，B=x|m+1x2m1，解得：m2，综上，实数 m 的范
24、围为（，3 29已知集合 A=x|x4，B=x|2axa+3，若 B A，求实数 a 的取值范围 集合 A=x|x4，B=x|2axa+3，B A，当 B=时，2aa+3，解得 a3，成立；当 B 时，a+34，且 2aa+3，解得 a4 或 2a3 实数 a 的取值范围是x|a4 或 2a3 30（新课标）已知集合 A=1，3，5，7，B=2，3，4，5，则 AB=A3 B5 C3，5 D1，2，3，4，5，7 31（天津）设集合 A=1，2，3，4，B=1，0，2，3，C=xR|1x0，则RA=Ax|1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x1x|x2 33（新课标）已知集合 A=0，2，
25、B=2，1，0，1，2，则 AB=A0，2 B1，2 C0 D2，1，0，1，2 34（浙江）已知全集 U=1，2，3，4，5，A=1，3，则UA=A B1，3 C2，4，5 D1，2，3，4，5 35（北京）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=A0，1 B1，0，1 C2，0，1，2 D1，0，1，2 36（新课标）已知集合 A=x|x10，B=0，1，2，则 AB=A0 B1 C1，2 D0，1，2 37（新课标）已知集合 A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ），则 A 中元素的个数为 A9 B8 C5 D4 38（北京）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=A0，1 B1，0，1 C2，0，1，2 D1，0，1，2 39（天津）设全集为 R，集合 A=x|0 x2，B=x|x1，则 A（RB）=Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|0 x2 40（江苏）已知集合 A=0，1，2，8，B=1，1，6，8，那么 AB=_