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1、 1 第十一节 函数与方程 一、基础知识 1函数的零点(1)零点的定义：对于函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点(2)零点的几个等价关系：方程 f(x)0 有实数根函数yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 函数的零点不是函数 yf(x)与 x 轴的交点，而是 yf(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2函数的零点存在性定理 如果函数 yf(x)在区间，上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个
2、 c 也就是方程 f(x)0 的根 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3二分法的定义 对于在区间，上连续不断且 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)3x 的零点个数是()A0 B1 C2 D3(2)设函数 f(x)13xln x，则函数 yf(x)()A在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B在区间1e，1，(1，e)内均无零点 C在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点 2 D在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 (1)C(
3、2)D 题组训练 1.定理法函数 f(x)x3x21 的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,3)解析：选 C 函数 f(x)x3x21 是连续函数因为 f(1)11110，所以 f(1)f(2)0的零点个数为()A3 B2 C7 D0 解析：选 B 法一：(解方程法)由 f(x)0 得 x0，x2x20或 x0，1ln x0，解得 x2 或 xe.因此函数 f(x)共有 2 个零点 法二：(图象法)作出函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个零点 3.图象法设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2
4、)C(2,3)D(3,4)解析：选 B 函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在区间如图如示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)考点二 函数零点的应用 考法(一)已知函数零点个数求参数范围 典例 已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)解析 令 h(x)xa，则 g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示 3 若 g(x)存在 2 个零点，则 yf(x)的图象与 yh(x)的
5、图象有 2 个交点，平移 yh(x)的图象，可知当直线yxa 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时 10a，a1.当 yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意 综上，a 的取值范围为1，)答案 C 考法(二)已知函数零点所在区间求参数范围 典例 若函数 f(x)4x2xa，x 有零点，则实数 a 的取值范围是_ 解析 函数 f(x)4x2xa，x 有零点，方程 4x2xa0 在 上有解，即方程 a4x2x在 上有解 方程 a4x2x可变形为 a2x12214，x，2x12，2，2x1221414，2.实数 a 的取值范围是14，2.答案 14，2 题组训练 1若函数
6、f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)解析：选 C 因为函数 f(x)2x2xa 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a3)0，解得 0a0.若方程 f(x)a 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是()A.52，942，)B(2，)C.52，94(2，)D.52，94(2，)4 解析：选 C 方程 f(x)a 有两个不相等的实数根等价于函数 yf(x)的图象与直线 ya 有两个不同的交点，作
7、出函数 f(x)的图象如图所示，由图可知，a52，94(2，)课时跟踪检测 1下列函数中，在(1,1)内有零点且单调递增的是()Aylog12x By2x1 Cyx212 Dyx3 解析：选 B 函数 ylog12x 在定义域上单调递减，yx212在(1,1)上不是单调函数，yx3在定义域上单调递减，均不符合要求对于 y2x1，当 x0(1,1)时，y0 且 y2x1 在 R 上单调递增故选 B.2函数 f(x)exx3 在区间(0,1)上的零点个数是()A0 B1 C2 D3 解析：选 B 由题知函数 f(x)是增函数根据函数的零点存在性定理及 f(0)2，f(1)e20，可知函数 f(x)
8、在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选 B.3函数 f(x)ln x2x2的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：选 B 易知 f(x)ln x2x2的定义域为(0，)，且在定义域上单调递增 f(1)20，f(1)f(2)0，根据零点存在性定理知 f(x)ln x2x2的零点所在的区间为(1,2)4若函数 f(x)ax1 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B(，1)C(，1)(1，)D(1,1)解析：选 C 由题意知，f(1)f(1)0，即(1a)(1a)0，解得 a1 或 a1.5已知实数 a1,0b1，则函数 f(x
9、)axxb 的零点所在的区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)5 解析：选 B 因为 a1,0b1，所以 f(x)axxb 在 R 上是单调增函数，所以 f(1)1a1b0，f(0)1b0，由零点存在性定理可知，f(x)在区间(1,0)上存在零点 6若 ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点的存在性定理可知函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内 7函数 f(x)|x2|ln x 在定义域内的零点的个数为()A0 B1 C2 D3 解析：选 C 由题意可知 f(x)的定义域为(0，)在同一平面直角坐标系中作出函数 y|x2|(x0)，yln x(
10、x0)的图象如图所示 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.8已知函数 f(x)exa，x0，2xa，x0(aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,1)D(，1 解析：选 A 画出函数 f(x)的大致图象如图所示因为函数 f(x)在 R上有两个零点，所以 f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当 x0 时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有一个零点，需a0.综上，0a1.9已知函数 f(x)23x1a 的零点为 1，则实数 a 的值为_ 解析：由已知得 f(1)0，即2311a0，解得 a12.答案：12 1
11、0已知函数 f(x)xln x，x0，x2x2，x0，则 f(x)的零点为_ 解析：当 x0 时，由 f(x)0，即 xln x0 得 ln x0，解得 x1；当 x0 时，由 f(x)0，即 x2x20，解得 x1 或 x2.因为 x0，所以 x1.综上，函数 f(x)的零点为 1，1.答案：1，1 11 若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则实数 m 的取值范围是_ 6 解析：依题意并结合函数 f(x)的图象可知，m2，f1f00，f1f20，即 m2，m2m2m12m10，m2m2m14m22m2m10，解得14m12.答案：14，
12、12 12已知方程 2x3xk 的解在1,2)内，则 k 的取值范围为_ 解析：令函数 f(x)2x3xk，则 f(x)在 R 上是增函数 当方程 2x3xk 的解在(1,2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得 5k10.当 f(1)0 时，k5.综上，k 的取值范围为5,10)答案：5,10)13已知 yf(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数 yf(x)的解析式；(2)若方程 f(x)a 恰有 3 个不同的解，求实数 a 的取值范围 解：(1)设 x0，则x0，所以 f(x)x22x.又因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)x22x.所以 f(x)x22x，x0，x22x，x0.(2)方程 f(x)a 恰有 3 个不同的解，即 yf(x)与 ya 的图象有 3 个不同的交点 作出 yf(x)与 ya 的图象如图所示，故若方程 f(x)a 恰有 3 个不同的解，只需1a1，故实数 a 的取值范围为(1,1)