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1、第九节 指数函数 一、基础知识 1指数函数的概念 函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a是底数 形如 ykax，yaxk(kR 且 k0，a0 且 a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数 2指数函数 yax(a0，且 a1)的图象与性质 底数 a1 0a0 时，恒有 y1；当 x0 时，恒有 0y0 时，恒有 0y1；当 x1 在定义域 R 上为增函数 在定义域 R 上为减函数 注意 指数函数 y=ax(a0,且 a1）的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a1 与 0a0，且 a1)的图象关于 y 轴对称(3)底数 a 与 1 的大小关系
2、决定了指数函数图象的“升降”：当 a1 时，指数函数的图象“上升”；当 0a1 时，指数函数的图象“下降”考点一 指数函数的图象及应用 典例 (1)函数 f(x)21x的大致图象为()(2)若函数 y|3x1|在(，k上单调递减，则 k 的取值范围为_ 解析 (1)函数 f(x)21x212x，单调递减且过点(0,2)，选项 A 中的图象符合要求(2)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示 由图象知，其在(，0上单调递减，所以 k 的取值范围为(，0 答案 (1)A(2)(，0 变透练清 1.
3、变条件本例(1)中的函数 f(x)变为：f(x)2|x1|，则 f(x)的大致图象为()解析：选 B f(x)2|x1|的图象是由 y2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知 B正确 2.变条件本例(2)变为：若函数 f(x)|3x1|k 有一个零点，则 k 的取值范围为_ 解析：函数 f(x)有一个零点，即 y|3x1|与 yk 有一个交点，由典例(2)得 y|3x1|的图象如图所示，故当 k0 或 k1 时，直线 yk 与函数 y|3x1|的图象有唯一的交点，所以函数 f(x)有一个零点 答案：01，)3若函数 y21xm 的图象不经过第一象限，求 m 的取值范围 解：y21xm12
4、x1m，函数 y12x1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则 m2.故 m 的取值范围为(，2 考点二 指数函数的性质及应用 考法(一)比较指数式的大小 典例 已知 a243，b425，c2513，则()Abac Babc Cbca Dcab 解析 因为 a243，b425245，由函数 y2x在 R 上为增函数知，ba；又因为 a243423，c2513523，由函数 yx23在(0，)上为增函数知，ac.综上得 ba0 的解集为_ 解析 f(x)为偶函数，当 x0 时，x0，则 f(x)f(x)2x4.f(x)2x4，x0，2x4，x0，当 f(x2)0 时，有 x20，2x24
5、0或 x20，2x240，解得 x4 或 x0.不等式的解集为x|x4 或 x4 或 xag(x)，当 a1 时，等价于 f(x)g(x)；当 0a1 时，等价于 f(x)0，g2a3a4a1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.解题技法 与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数 yaf(x)的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间有关：(1)若 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调增(减)区间；(2)若 0a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调减(增)区间即“同增异减”题组训练 1函数 y12221xx的值
6、域是()A(，4)B(0，)C(0,4 D4，)解析：选 C 设 tx22x1，则 y12t.因为 0121，所以 y12t为关于 t 的减函数 因为 t()x1222，所以 0y12t1224，故所求函数的值域为(0,4 2设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca 解析：选C 因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61，所以 ba1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与 N1a0.1的大小关系是()AMN BMN CMN 解析：选 D 因为 f(x)x2a与
7、 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以 a2，所以 M(a1)0.21，N1a0.1N.4 已知实数 a1，函数 f(x)4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为_ 解析：当 a1 时，代入可知不成立所以 a 的值为12.答案：12 课时跟踪检测 A 级 1函数 f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选 A 因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质 2已知函数 f(x)42ax1的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是()A(1,6)B(1,5)C(0,5)D(5,0)解析：选 A 由于函数 ya
8、x的图象过定点(0,1)，当 x1 时，f(x)426，故函数 f(x)42ax1的图象恒过定点 P(1,6)3已知 a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc Bacb Ccab Dbca 解析：选 A 由 0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知 0.40.20.40.6，即 bc；因为 a20.21，b0.40.21，所以 ab.综上，abc.4函数 f(x)122x x的单调递增区间是()A.，12 B.0，12 C.12，D.12，1 解析：选 D 令 xx20，得 0 x1，所以函数 f(x)的定义域为，因为 y12t是减函数，所以
9、函数 f(x)的增区间就是函数 yx2x 在上的减区间12，1，故选 D.5.函数 f(x)axb的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0 解析：选 D 由 f(x)axb的图象可以观察出函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1，函数 f(x)axb的图象是在 yax的图象的基础上向左平移得到的，所以 b0.6已知函数 f(x)12x，x0，2x1，x0 时，f(x)12x，f(x)2x1，此时x0，则f(x)2x1f(x)；当 x0，则 f(x)12(x)12xf(x)即函数 f(x)是奇函数，且单调递增，故选 C.
10、7已知 a133.3，b133.9，则 a_b(填“”)解析：因为函数 y13x为减函数，所以133.3133.9，即 ab.答案：8函数 y14x12x1 在 上的值域是_ 答案：34，57 9 已知函数 f(x)axb(a0，且 a1)的定义域和值域都是，则 ab_.答案：32 10已知函数 f(x)a|x1|(a0，且 a1)的值域为1，)，则 f(4)与 f(1)的大小关系是_ 解析：因为|x1|0，函数 f(x)a|x1|(a0，且 a1)的值域为1，)，所以 a1.由于函数 f(x)a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线 x1 对称，则函数f(x)在(，1)上是减函数，故 f(1)f(3)，f(4)f(1)答案：f(4)f(1)