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1、三角函数 1、已知函数xxxfcossin)(，Rx（1）求函数)(xf的最小正周期；（2）若函数)(xf在0 xx 处取得最大值，求)3()2()(000 xfxfxf 的值.解：（1）)4sin(2cossin)(xxxxf，()f x的最小正周期为 2 （2）依题意，4320 kx（Zk），由周期性，)3()2()(000 xfxfxf 12)49cos49(sin)23cos23(sin)43cos43(sin 2、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinAcsinC 2asinCbsinB.(1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2 2a
2、cb2.由余弦定理得b2a2c22accosB.故 cosB22，因此B45.(2)sinAsin(3045)sin30cos45cos30sin452 64.故absinAsinB2 621 3，cbsinCsinB2sin60sin45 6.3、设ABC的内角,A B C所对的边长分别为,a b c且23cos3 cosbcAaC（1）求角A的大小。（2）若角6B,BC边上的中线AM的长为7，求ABC的面积。解：1)6A.7 2)3S7 4、如图，在ABC中，点D在BC边上，33AD，5sin13BAD，3cos5ADC（）求sinABD的值；（）求ABD的面积 解：（I）由3cos5AD
3、C，得24sin1 cos5ADCADC2 分 又5sin13BAD，则212cos1 sin13BADBAD 4 分 故sinsinABDADCBAD sincoscossinADCBADADCBAD 412353351351365 7 分（）在ABD中，由正弦定理知，sinsinBDADBADABD，则533sin132533sin65ADBADBDABD11 分 故ABD的面积为1sin3302SAD BDADB 14 分 5、设函数0)R,(x)4 xsin(x)f的部分图象如右图所示。（）求 f(x)的表达式；（）若)2,4(x,412x)4sin(x)f，求 tanx 的值。解：（
4、）设周期为 T 2 T 48834T 得 所以 )4 xsin(2(x)f （）,41)4)cos(2x4sin(2x2x)4)sin(4sin(2x2x)4sin(x)f 125 x),2(4x ),2,4(x,21cos4x 21)2 xsin(4又 323313316tan4tan16tan4tan)64tan(125tantanx DCBA 6、已知函数).,(2cos)62sin()62sin()(为常数aRaaxxxxf （I）求函数的最小正周期；（II）求函数的单调递减区间；（III）若.,2)(,2,0的值求的最小值为时axfx 解：（I）axaxxaxxxf)62sin(22
5、cos2sin32cos6cos2sin2)(22)(Txf的最小正周期4 分 （2）当)(,)(3262326222xfZkkxkkxk函数时即 单调递减，故所求区间为)(32,6Zkkk 8 分 （3）267,662,2,0 xxx时时 .1.2)622sin(2)(aaxf取得最小值 12 分 7、(本小题满分 12 分)已知函数2()3sin(2)2sin()()612f xxxxR（I）求函数()f x的最小正周期和单调递减区间;（II）求函数()f x取得最大值的所有x组成的集合.解：()3sin(2)1cos 2()612f xxx 1 分 3 sin(2)cos(2)166xx
6、312sin(2)cos(2)12626xx 3 分 2sin(2)166x2sin(2)13x 5 分(1)函数()f x的最小正周期22T7 分 由kxk2233222得kxk1211125 f(x)的单调递减区间为kk1211,125（kZ）9 分(2)当()f x取最大值时，sin(2)13x，此时有2232xk 即5()12xkkZ 所求x的集合为5|,12x xkkZ 12 分 8、已知向量)sin,(cosa,)sin,(cosb,552|ba.（）求cos()的值;（）若02,02,且5sin13,求sin.解：（）(cos,sin)a,(cos,sin)b,coscossin
7、sin ab，.1 分 2 55ab,222 5coscossinsin5,3 分 即 422cos5,3cos5.6 分（）0,0,022,7 分 3cos5,4sin.5 9 分 5sin13,12cos13,10分 sinsinsincoscossin4 1235335 1351365.12 分 9、在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5，c=7，且.272cos2sin42CBA （1）求角 C 的大小；（2）求ABC 的面积.解：（1）A+B+C=180 由272cos2cos4272cos2sin422CCCBA得 1 分 27)1cos2(2co
8、s142CC 3 分 整理，得01cos4cos42CC 4 分 解得：21cosC 5 分 1800C C=60 6 分（2）由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即 7=a2+b22ab 7 分 abba3)(72 8 分=253ab 9 分 6 ab 10 分 23323621sin21CabSABC 12 分 10、已知函数xxxxfcoscossin3)(.（）求)(xf的最小正周期和最大值；（）在ABC中，cba,分别为角CBA,的对边，S为ABC的面积.若 21)(Af，32a，S32，求cb,.解：（）xxxxfcoscossin3)(22cos12sin23xx212
9、cos212sin23xx 即)(xf21)62sin(x，4分 所以，)(xf的最小正周期为，最大值为.216分（）由21)(Af得1)62sin(A，又,0 A3A，8分 由32a，S32利用余弦定理及面积公式得 2222cos2 3,31sin2 3.23bcbcbc12分 解之得2,4cb或.4,2cb 14分 11、已知函数2()cos3sincos(0)f xxxx的最小正周期为.（1）求()f x的单调递增区间；（2）在ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若()1,1,f AbABC的面积为32，求 a 的值。12、已知(sincos,3cos),(cossin,
10、2sin)mxxx nxxx，且0，设()f xm n，()f x的图象相邻两对称轴之间的距离等于2（）求函数()f x的解析式；（）在ABC 中，abc、分别为角ABC、的对边，4bc，1f A（），求ABC面积的最大值 解：（）22()cossin2 3sincoscos23sin 2f xxxxxxx=2sin(2)6x 依题意：22，1()2sin(2)6f xx，（）1f A（），1sin(2)62A，又132666A，52,66A 3A 4bc2133sin()32442ABCbcSbcAbc 当且仅当2bc等号成立，所以ABCS面积最大值为3 13、在ABC中，内角A，B，C的对
11、边分别为a，b，c.已知BC,2b 3a.(1)求 cosA的值；(2)求 cos2A4的值【解答】(1)由BC，2b 3a，可得cb32a.所以 cosAb2c2a22bc34a234a2a2232a32a13.(2)因为 cosA13，A(0，)，所以 sinA 1cos2A2 23，故 cos2A2cos2A179.sin2A2sinAcosA4 29.所以 cos2A4cos2Acos4sin2Asin479224 2922 87 218.14、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinAacosC.(1)求角C的大小；(2)求 3sinAcosB4的最大值，并求
12、取得最大值时角A，B的大小 解：(1)由正弦定理得 sinCsinAsinAcosC.因为 0A0.从而 sinCcosC.又 cosC0，所以 tanC1，则C4.(2)由(1)知，B34A，于是 3sinAcosB4 3sinAcos(A)3sinAcosA2sinA6.因为 0A34，所以6A61112.从而当A62，即A3时，2sinA6取最大值 2.综上所述，3sinAcosB4的最大值为 2，此时A3，B512.15、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3acosAccosBbcosC.(1)求 cosA的值；(2)若a1，cosBcosC2 33，求边c的值 解
13、：(1)由余弦定理b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC，有ccosBbcosCa，代入已知条件得 3acosAa，即 cosA13.(2)由 cosA13得 sinA2 23，则 cosBcos(AC)13cosC2 23sinC，代入 cosBcosC2 33，得 cosC 2sinC 3，从而得 sin(C)1，其中 sin33，cos63，02.则C2，于是 sinC63，由正弦定理得casinCsinA32.16、在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 sin2C104()求 cos C的值；()若ABC的面积为3 154，且 sin2 Asin2B131
14、6sin2 C，求c的值()解：因为 sin2C104，所以 cos C1 2sin22C14 4 分()解：因为 sin2 Asin2B1316sin2 C，由正弦定理得 a2b21316c2-6 分 由余弦定理得a2b2c22abcos C，将 cos C14代入，得 ab38c2-8 分 由SABC3 154及 sin C21 cos C154，得 ab6-12 分 所以4c 14 分 17、已知sin 2()2 3sin.sinxf xxx（I）求()f x的周期，并求0,x时的单调增区间.（II）在ABC 中，cba、分别是角 A，B，C 所对的边，若3A，且3a，求ACAB的最大值
15、.解：（）2 3sin2cos4sin()6fxxxx2 分 2()462xkkZf x当时，取得最大值为 4|2,3fxxx xkkZ的最大值为，的取值集合为6 分 （）sinsinsinsinsinsinacaCaBACAA由得，c=，同理可得b=AB AC=22sinsin2coscos2sinsin()sin3aBCcbAABBA 23113sincossinsin2(1cos2)sin(2)2226BBBBBB 3B当时，AB AC最大为23 14 分 18、已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(3,3)P.（）求sin2tan的值；（）若函数()cos()coss
16、in()sinf xxx，求函数 23(2)2()2yfxfx在区间203，上的取值范围 解：（1）因为角终边经过点(3,3)P，所以 1sin2，3cos2，3tan3 -3 分 333sin2tan2sincostan236 -6 分 (2)()cos()cossin()sincosf xxxx，xR-8 分 23cos(2)2cos3sin21 cos22sin(2)126yxxxxx-10分 2470,02,233666xxx 1sin(2)126x，22sin(2)116x -13 分 故：函数23(2)2()2yfxfx在区间203，上的取值范围是 2,1 -14 分 19、已知函
17、数()3sincos()3f xxxcos()3x1 （0,xR），且函数()f x的最小正周期为.（）求函数()f x的解析式；（）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c若()1f B，3 32BA BC，且4ac，试求2b的值.解：（）()3sincos()3f xxxcos()3x12sin()16x4 分 由2，得2 ()2sin(2)16f xx7 分（）由()2sin(2)1 16f Bx 得sin(2)16B 由0B，得2266B.262B，6B8 分 由3 32BA BC，得3 3cos2acB，3ac 11 分 再由余弦定理得，2222cosbacacB2()2
18、2cos103 3acacacB14 分 20、已知函数 21cos3sincos2fxxxx（）若0,2x，求 f x的最小值及取得最小值时相应的x的值；（）在ABC 中，a、b、c分别为角 A、B、C 的对边，若12Af，b=l，4c，求a的值 解：（）21cos3sincos2fxxxx 1cos231sin2222xxsin 26x4 分 02x，72666x，1sin 2126x，即 112f x min12f x，此时7266x，2x 8 分（）sin126AfA，在ABC中，0A，7666A，62A，3A12 分 又1b，4c，由余弦定理得2224124 1cos6013a 故13a 14 分