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1、题型专项训练5三角函数与三角形(解答题专项)1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin C+sin(B-A)=sin 2A,A.(1)求角A的取值范围;(2)若a=1,ABC的面积S=,C为钝角,求角A的大小.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)若4sin Bsin C=3,试判断ABC的形状,并说明理由.3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足4cos C+cos 2C=4cos Ccos2.(1)求角C的大小;(2)若=2,求ABC面积的最大值.4.已知a=(sin x,cos x+sin x),b=
2、(2cos x,sin x-cos x),f(x)=ab.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x时,对任意tR,不等式mt2+mt+3f(x)恒成立,求实数m的取值范围.5.(2015浙江杭州一模,文16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos 2A+=2cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求ABC的周长l的取值范围.6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A=3cos(B+C)+1.(1)求角A的大小;(2)若cos Bcos C=-,且ABC的面积为2,求a.答案题型专项训练5三角函数与三角形(解答题专项)1.解:(1)
3、由sin C+sin(B-A)=sin 2A,得sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Acos A.即2sin Bcos A=2sin Acos A.因为cos A0,所以sin B=sin A.由正弦定理,得b=a,故A必为锐角.又0sin B1,所以0sin A.因此角A的取值范围为.(2)由(1)及a=1得b=.又因为S=,所以1sin C=.从而sin C=.因为C为钝角,故C=.由余弦定理,得c2=1+2-21cos=1+2-21=2+.故c=.由正弦定理,得sin A=.因此A=.2.解:(1)由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(b-c),即a2=b2+c2-bc.由余弦
4、定理得cos A=,又0A,则A=.(2)由A=,4sin Bsin C=3得4sin Bsin=3,即4sin B=3,即sin 2B+1-cos 2B=3.即sin=1,又0B,则2B-,即B=.则A=B=C=,故ABC是等边三角形.3.解:(1)由4cos C+cos 2C=4cos Ccos2得4cos C+2cos2C-1=2cos C(1+cos C),解得cos C=,因为0C0且m2-4m0,即0m4;所以实数m的取值范围为0,4.5.解:(1)根据倍角公式:cos 2x=2cos2x-1,得2cos2A+=2cos A,即4cos2A-4cos A+1=0,所以(2cos A
5、-1)2=0,所以cos A=,因为0A,所以A=.(2)根据正弦定理:,得b=sin B,c=sin C,所以l=1+b+c=1+(sin B+sin C).因为A=,所以B+C=,所以l=1+=1+2sin.因为0B,所以l(2,3.6.解:(1)由cos 2A=3cos(B+C)+1得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,所以,cos A=或cos A=-2(舍去),因为A为三角形内角,所以A=.(2)由(1)知cos A=-cos(B+C)=,则cos Bcos C-sin Bsin C=-.由cos Bcos C=-,得sin Bsin C=,由正弦定理,有,即b=,c=,由三角形的面积公式,得S=bcsin A=a2,即a2=2,解得a=4.5