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1、第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、1、平行于向量)6,7,6(a的单位向量为_.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21MM和，计算向量21MM的模，方向余弦和方向角.3、设kjipkjinkjim45,742,853，求向量pnma34在 x 轴上的投影，及在 y 轴上的分向量.二、1、设kjibkjia2,23，求(1)babababa23)2)(2(及；及(3)a、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321MMM，求与3221,MMMM同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(ba，问与满足_时，轴zba.三、1、以点(1,3,
2、-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为_.2、方程0242222zyxzyx表示_曲面.3、1)将 xOy 坐标面上的xy22绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_ _，曲面名称为_.2)将 xOy 坐标面上的xyx222绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _，曲面名称为_.3)将 xOy 坐标面上的369422 yx绕 x 轴及 y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_，曲面名称为_.4）在平面解析几何中2xy 表示_图形。在空间解析几何中 2xy 表示_图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1)(4222yxz(2)(422yxz 四、1、指出方程组319y4x22y在平面解析几何中表示_图
3、形，在空间解 析几何中表示_图形.2、求球面9222zyx与平面1 zx的交线在 xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220yxaz与圆柱体)0(22aaxyx的公共部分在 xOy 面及 xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于 xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于 x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132zyx的直线方程.2、求过点(
4、0,2,4)且与两平面12 zx,23 zy平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线012530742zyxzyx垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zyx的平面方程.5、求直线003zyxzyx与平面01zyx的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线7272zyxzyx与直线11321zyx;2)直线431232zyx和平面 x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线04201zyxzyx的距离.B 1、已知0cba（cba,为非零矢量），试证:accbba.2、),(,1,1,1,3bababa求.3、已知和为两非零向量，问取何值
5、时，向量模|tba 最小？并证明此时)(tbab.4、求单位向量，使an且xn轴，其中)8,6,3(a.5、求过轴，且与平面052zyx的夹角为3的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M，)1,5,3(2M，且垂直于07326zyx的平面.7、求过直线022012zyxzyx，且与直线：211zyx平行的平面.8、求在平面:1zyx上，且与直线11zyL：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg100的物体从空间点)8,1,3(1M，移动到点)2,4,1(2M，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线30222zxzy在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知kjOB
6、kiOA3,3，求OAB的面积 12、.求直线0923042zyxzyx在平面14zyx上的投影直线方程.C 1、设向量cba,有相同起点,且0cba，其中0，,不全为零,证明:cba,终点共线.2、求过点)1,2,1(0M，且与直线：121122yx相交成3角的直线方程.3、过)4,0,1(且平行于平面01043zyx又与直线21311zyx相交的直线方程.4、求两直线：1101zyx与直线：0236zyx的最短距离.5、柱面的准线是xoy面上的圆周（中心在原点，半径为 1），母线平行于向量1,1,1g，求此柱面方程.6、设向量 a,b 非零，3),(,2bab，求xaxbax0lim.7、
7、求直线)1(212:yzyxL绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程.第七章 空间解析几何与向量代数 习 题 答 案 A 一、1、116,117,116 2、21MM=2,21cos,22cos,21cos,3,43,32 3、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13ba kjikjiba75121213 （2）18)(63)2(baba，kjibaba14210)(22 （3）2123),cos(bababa 2、2,2,0,1,4,23221MMMM kjikjiMMMMa4462201423221 1724,1724,1726aa 即为所求
8、单位向量。3、2 三、1、14)2()3()1(222zyx 2、以(1,-2,-1)为球心,半径为的球面 3、1)xzy222,旋转抛物面 xzyx2)2222,球面 3)绕 x 轴：36994222zyx旋转双叶双曲面 绕 y 轴：36944222yzx旋转单叶双曲面 4、抛物线，抛物柱面 5、四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。2、082222zyxx 3、在 xoy 面的投影为：0)2(222zayax在 xOz 面的投影为：0222yazx 五、1、04573zyx 2、0)1(3)1(1)1(1zyx 3、05y 4、029 z
9、y 六、1、531221zyx 2、14322zyx 3、065111416zyx4、0592298zyx 5、0 6、1）垂直 2）直线在平面上 7、223 B 1、证明思路：0cba，0)(cbaa 即0cababa，又0aa，accaba 同理得 cbba 2、思路：),sin(bababa),cos(bababa。答案：6),(ba 3、思路)(2|)()(|2222batbtatbatbatba 该式为关于的一个 2 次方程，求其最小值即可。答案：2|bbat 4、思路：取ib，则bnan,。答案：)68(101kjn 5、思路：平面过轴，不妨设平面方程为0 ByAx，则0,BAn，
10、又（BA,不全为）答案：所求平面方程为03 yx或031yx 6、法一：，所求平面法向量21MMn，且3,2,61nn 取10,3,6326347121kjinMMn 又平面过点)2,1,4(1M，则平面方程为071036zyx 解法 2.在平面上任取一点),(zyxM，则211MMMM和3,2,61n共面，由三向量共面的充要条件得0347326214zyx，整理得所求平面方程 7、思路：用平面束。设过直线的平面束方程为0)22(12zyxzyx 答案：平面方程为0114311zyx 8、思路：求交点)1,1,1(，过交点)1,1,1(且垂直于已知直线的平面为01x。答案：101zyxx 9、
11、思路：重力的方向可看作与向量方向相反 答案：JggMMFW5880600)6()100(3.0)2(021 10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为 00922zxy。原曲线是由旋转抛物面0222xzy被3z平面所截的抛物线。11、思路：|21OBOASOAB，答案：219 12、思路：利用平面束方程。答案140117373117zyxzyx C 1、证明：设aOA，bOB，cOC，根据三角形法则。则abAB，acAC，bcBC。根据条件,不全为，不妨设0，则abaacAB aba 即 AC与AB共线。点CBA,在一条直线上。2、解：在已知直线上任取两点)0,1,
12、2(1P，)1,0,0(2P，则向量 2,2,1,1,1,30201MPMP，则构造直线束方程：2122131yx，表示过 点 且 与 已 知 直 线 共 面 的 所 有 直 线。根 据 已 知 条 件：当 与 成3角 时，有3cos)2(1)2)(1(2)13(，即2124，85 所求直线方程为211212231zyx。3、解：设所求直线方程为pznymx41 所求直线与已知平面平行，则043pnm （1）又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点)0,3,1(，则 4,3,010MM在平面上。三向量共面，得0430211pnm，即03410pnm （2）由（1）（2），得28:19:1
13、6:pnm所求直线方程：28419161zyx 4、解：已知两直线的方向向量为0,3,6,1,1,021SS，故垂直于两方向向量的向量可取为kjiSSn66321，又点)0,0,1(在直线上 过直线且平行于的平面为066)1(3zyx，即0122zyx，又点)2,0,0(在直线上，该点到平面0122zyx的距离 12213222d为所求两直线间的最短距离。5、解：设柱面上任意一点),(zyxM，过作平行于向量的母线且准线相交于)0,(000yxM，又gMM|0，即gMM0，0 xx，0yy，z。又0M在圆上，12020yx 1)()(22yx，即1)()(22zyzx 6、解：13cos2)22)(2lim)()2(lim)()()(lim)(limlim 2022002200abaaxbabxbaaxbaxaabxbxaaaaxbaxaaxbaxbaaxbaxaxbaxaxbaxxxxx 7、解：对旋转曲面上任一点 P(x,y,z)，过 P 作平面垂直 y 轴，与 y 轴的交点为 B(0,y,0)，与 L 的交点为 Q(000,zyx)。因为BQPB，所以202022zxzx 又因为 Q 在 L 上，所以)1(21,200yzyx，代入得 0124174,)1(4142222222yzyxyyzx即。