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1、第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1.已知A(1,0,2),B(1,2,1)是空间两点，向量 AB的模是（A）A 5 B 3 C 6 D 9 2.设a=（1,-1,3）,b=（2,-1,2），求c=3a-2b是（B）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D（-1,-1,6）.3.设a=（1,-1,3）,b=（2,1,-2），求用标准基i,j,k表示向量c=a-b为（A）A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D -2i-j+5k 4.求两平面032zyx和052zyx的夹角是（C）A 2 B 4 C 3 D 5.已知空间三点M(
2、1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求AMB是（C）A 2 B 4 C 3 D 6.求点)10,1,2(M到直线L：12213zyx的距离是：（A ）A 138 B 118 C 158 D 1 7.设,23,aik bijk求a b是：（D ）A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D 3i-3j+3k 8.设ABC的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)ABC，求三角形的面积是：（A ）A 3 62 B 364 C 32 D 3 9.求平行于z轴，且过点)1,0,1(1M和)1,1,2(2M的平面方程是：（D）A 2x+3y=5=0 B x-
3、y+1=0 C x+y+1=0 D 01 yx 10、若非零向量a,b满足关系式abab，则必有（C ）；A ab=ab；B ab；C 0a b=；D a b=0 11、设,a b为非零向量，且ab,则必有（C ）A abab B abab C abab D abab 12、已知2,1,21,3,2a=,b=，则Pr jba=（D ）；A 53；B 5；C 3；D 514 13、直线11z01y11x与平面04zyx2的夹角为 （B）A 6；B 3；C 4；D 2 14、点(1,1,1)在平面021zyx的投影为 （A）（A）23,0,21；（B）13,0,22；（C）1,1,0；（D）11,
4、1,22 15、向量a与b的数量积a b=（C）.A arjba；B arjab；C arjab；D brjab 16、非零向量,a b满足0a b，则有（C ）A ab;B ab(为实数)；C ab；D 0ab 17、设a与b为非零向量，则0ab是（A ）A ab的充要条件；B ab的充要条件;C ab的充要条件；D ab的必要但不充分的条件 18、设234,5aijk bijk，则向量2cab在y轴上的分向量是（B）A 7 B 7j C 1；D-9k 19、方程组2222491xyzx 表示（B ）.A 椭球面；B 1x平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1x平面上的投影.20、方程
5、 220 xy在空间直角坐标系下表示（C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy坐标面的原点)0,0(；C z轴；D xoy坐标面.21、设空间直线的对称式方程为 012xyz则该直线必（A ）.A 过原点且垂直于x轴；B 过原点且垂直于y轴；C 过原点且垂直于z轴；D 过原点且平行于x轴.22、设空间三直线的方程分别为 123321034:;:13;:2025327xtxyzxyzLLytLxyzzt ,则必有（D ）.A 1L2L；B 1L3L；C 32LL；D 21LL.23、直线 34273xyz与平面4223xyz的关系为(A )A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂
6、直相交；D 相交但不垂直 24、已知1,2ab,且(,)4a b,则 ab=(D )A 1；B 12；C 2；D 5.25、下列等式中正确的是(C )A ijk；B i jk；C i ij j；D iii i 26、曲面22xyz在xoz平面上的截线方程为 (D)A 2xz；B 20yzx；C 2200 xyz；D 20 xzy 二、计算题 1已知2,2,21M，0,3,12M，求21MM的模、方向余弦与方向角。解：由题设知 121 2,32,021,1,2,M M 则 21cos，21cos，22cos，于是，32，3，43。2设kjim853，kjin742和kjip45，求向量pnma3
7、4在x轴上的投影及在y轴上的分向量。解：kjikjikjia4574238534kji15713 故a在x轴上的投影为 13，在y轴上的分向量为j7。3在xoz坐标面上求一与已知向量2,3,4a 垂直的向量。解：设所求向量为00,0,bxz，由题意，取10z，得20 x，故2,0,1b 与a垂直。当然任一不为零的数与b的乘积b也垂直a。4求以3,2,1A，5,4,3B，7,2,1C为顶点的三角形的面积S。解：由向量积的定义，可知三角形的面积为ACABS21，因为2,2,2AB，2,4,4AC ，所以 22216,12,4244ijkABAC，于是，.69242162144222221222kj
8、iS 5求与向量2,0,1a，1,1,2b 都垂直的单位向量。解：由向量积的定义可各，若cba，则c同时垂直于a和b，且 kjikjibac23211102，因此，与bac平行的单位向量有两个：kjikjibabaccc2314123123|222和 6求球面9222zyx与平面1 zx的交线在xoy面上的投影的方程。解：由1 zx，得xz1，代入9222zyx，消去z得91222xyx，即82222yxx，这就是通过球面9222zyx与平面1 zx的交线，并且母线平行于z轴的柱面方程，将它与0z联系，得：082222zyxx，即为所求的投影方程。7、求过1,1,1 A，2,2,2 B和2,1
9、,1C三点的平面方程。解一：点法式：3,3,3 AB，3,2,0 AC，取 2,3,13320333jjiACABn，于是所求方程：023zyx。解法二：用一般式，设所求平面方程为 将已知三点的坐标分别代入方程得 解得 023DACAB，得平面方程：023zyx。8求平面0522zyx与xoy面的夹角余弦。解：2,2,1n 为此平面的法向量，设此平面与xoy的夹角为，则 9分别按下列条件求平面方程 (1)平行于xoz面且经过点3,5,2；(2)通过z轴和点2,1,3；(3)平行于x轴且经过两点2,0,4和7,1,5。解：(1)因为所求平面平行于xoz面，故0,1,0j 为其法向量，由点法式可得
10、：0305120zyx，即所求平面的方程：05 y。(2)因所求平面通过z轴，其方程可设为(*)0 ByAx，已知点2,1,3 在此平面上，因而有03BA，即AB3，代入（*）式得：03 AyAx，即所求平面的方程为：03 yx。(3)从共面式入手，设zyxP,为所求平面上的任一点，点2,0,4和7,1,5分别用A，B表示，则AP，AB，i共面，从而000191124,zyxiABAP，于是可得所求平面方程为：029 zy。10用对称式方程及参数式方程表示直线l：421zyxzyx。解：因为直线l的方向向量可设为121112,1,3211ijksnn，在直线上巧取一点2,0,3A（令0y，解直
11、线l的方程组即可得3x，2z），则直线的对称式方程为32123zyx，参数方程为：tx23，ty，tz32。11求过点4,2,0且与两平面12 zx和23 zy平行的直线方程。解：因为两平面的法向量11,0,2n 与20,1,3n 不平行，所以两平面相交于一直线，此 直 线 的 方 向 向 量121022,3,1013ijksnn，故 所 求 直 线 方 程 为14322zyx。12确定直线 37423zyx和平面3224zyx间的位置关系。解：直线的方向向量2,7,3,s 平面的法向量4,2,2,n 从而ns，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。再将直线上的点)0,4,3(A的坐标代入平面
12、方程左边，得34024234，即A不在平面上，故直线平行于平面。13求过点1,2,1而与直线01012:1zyxzyxl，002:zyxzyxl平行的平面方程。解：因11211,2,3111ijks 为直线1l的方向向量，22110,1,1111ijks 直线2l的方向向量。取 121231,1,1011ijknss，则通过点1,2,1并以n为法向量的平面方程0zyx即为所求的平面方程。14、已知22,5,(,)3aba b,问为何值时,向量17 uab与3vab互相垂直 解 由0u v得(17)(3)0 abab，即 223(51)170aa bb，将22,5,(,)3aba b代入得：21
13、2(51)10cos42503，解得 40 15、求两平行面362140 xyz与36270 xyz之间的距离 解 在平面362140 xyz上取点(0,0,7)M，则点 M 到平面36270 xyz的距离 即为所求：22200277213736(2)d 16、求过点(3,2,5)且与两平面430 xz 和2510 xyz 的交线平行的直线方程 解 设s,m n p为所求直线的一个方向向量，由题意知s与两个平面的法向量11,0,4n和22,1,5n同时垂直，故有120,0,s ns n 即40250mpmnp 解得：4,3mp np，即得 s4,3,1 故所求直线方程为 325431xyz 17、一平面过点(1,0,1)且平行向量2,1,1a和1,1,0b，试求这平面方程 解 (从点法式入手)由条件可取21 11,1,31 10ijknab,于是 1(1)1(0)3(1)0 xyz ，即 043zyx为所求平面方程