(完整版)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)[1].pdf

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1、 1 空间向量与立体几何【知识要点】1空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立 空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(abc)a(bc)；分配律：()aaa；(ab)ab(2)空间向量的基本定理：共线(平行)向量定理：对空间两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使得 ab 共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数，使得 cab 空间向量分解定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间

2、任一向量 p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得 p1a2b3c(3)空间向量的数量积运算：空间向量的数量积的定义：ab|a|bcosa，b；空间向量的数量积的性质：ae|acosa，e；abab0；|a|2aa；|ab|a|b 空间向量的数量积的运算律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：(ab)cacbc(4)空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，由空间向量分解定理，对于空间任一向量 a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使

3、 aa1ia2ja3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a 的坐标，即 a(a1，a2，a3)空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3 空间向量平行和垂直的条件：ab(b0)aba1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30 向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则;|,|232221232221bbbaaabbbaaa;|,c

4、os232221232221332211bbbaaababababababa 在空间直角坐标系中，点 A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则 A，B 两点间的距离是 2.)()()(|233222211bababaAB 2空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：如图，l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使得a tOAOP，其中向量 a 叫做直线的方向向量 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定 如果直线 l平面，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫

5、做平面的法向量 由此可知，给定一点 A 及一个向量 a，那么经过点 A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 l，m 的方向向量分别是 a，b，平面，的法向量分别是 u，v，则 lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设a，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线aa，bb，则 a与b所夹的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角 设异面直线 a 与 b 的方向向量分别是 v1，v2，a 与 b 的夹角为，显然

6、,2,0(则|,cos|212121vvvvvv 直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角 设直线 a 的方向向量是 u，平面的法向量是 v，直线 a 与平面的夹角为，显然 2,0，则|,cos|vuvuvu 二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作l在二面角的棱上任取一点 O，在两个半平面内分别作射线 OAl，OBl，则AOB 叫做二面角l的平面角 利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若 AB，CD 分别是二面角l的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角l的大 3 小就是向量CDAB与的夹角的大小 方法二：如图

7、，m1，m2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则m1，m2与该二面角的大小相等或互补 (4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题【复习要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 4理解直线的方向向量与平面的法向量 5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系 6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题【例题分析】例 1 如图，在长方体 OAEBO1A1E1B1中，OA3

8、，OB4，OO12，点 P 在棱 AA1上，且 AP2PA1，点 S 在棱 BB1上，且 B1S2SB，点 Q，R 分别是 O1B1，AE 的中点，求证：PQRS 【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数 k，使得.RSkPQ 解：如图建立空间直角坐标系，则 O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1，),34,0,0()2,0,0(32321AAAP )34,0,3(P 4 同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，)32,4,0(S,)32,2,3(RSPQ RSPQ/，又 RPQ，

9、PQRS【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可 2、本体还可采用综合法证明，连接 PR，QS，证明 PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明 例 2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是棱 A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面 AMN平面 EFBD 【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行 解法一：设正方体的棱长为 4，如图建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，

10、4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)取 MN 的中点 K，EF 的中点 G，BD 的中点 O，则 O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)MN(2，2，0)，EF(2，2，0)，AK(1，1，4)，OG(1，1，4)，MNEF，OGAK，MN/EF，AK/OG，MN平面 EFBD，AK平面 EFBD，平面 AMN平面 EFBD 解法二：设平面 AMN 的法向量是 a(a1，a2，a3)，平面 EFBD 的法向量是 b(b1，b2，b3)由,0,0ANAMaa 得,042,0423231aaaa取 a31，得 a(2，2，1)由,0,0BFDEbb 得,042,0423132

11、bbbb取 b31，得 b(2，2，1)ab，平面 AMN平面 EFBD 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试 5 例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 是棱 A1B1，B1B 的中点，求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值 解法一：设正方体的棱长为 2，如图建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1),1,0,2(),2,1,0(CNAM 设AM和CN所成的角为，则,52|cosCNAMCNAM 异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是52 解法二：取 AB 的中点 P，CC

12、1的中点 Q，连接 B1P，B1Q，PQ，PC 易证明：B1PMA，B1QNC，PB1Q 是异面直线 AM 和 CN 所成的角 设正方体的棱长为 2，易知,6,52211QCPCPQQBPB,522cos11221211QBPBPQQBPBQPB 异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是52 【评述】空间两条直线所成的角是不超过 90的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)例 4 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为a2，求直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的大小 6 【分析】利用

13、正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面 ABB1A1的法向量求解 解 法 一：如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 A(0，0，0)，B(0，a，0)，),2,0,0(1aA)2,2,23(1aaaC取 A1B1的中点 D，则)2,2,0(aaD，连接 AD，C1D 则),2,0,0(),0,0(),0,0,23(1aAAaABaDC,0,0111AADCABDC DC1平面 ABB1A1，C1AD 是直线 AC1与平面 ABB1A1所或的角),2,2,0(),2,2,23(1aaADaaaAC

14、23|cos111ADACADACADC，直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的大小是 30 解法二：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a2)，)2,2,23(1aaaC，从而)2,2,23(),2,0,0(),0,0(11aaaACaAAaAB 设平面 ABB1A1的法向量是 a(p，q，r)，由,0,01AAABaa 得,02,0araq取 p1，得 a(1，0，0)设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为,2,0,7.30,21|,cos|sin111aaaACACAC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面

15、角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换 例 5 如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ACBC，PAAC1，2BC，求二面角 APBC 的平面角的余弦值 解法一：取 PB 的中点 D，连接 CD，作 AEPB 于 E PAAC1，PAAC，PCBC2，CDPB EAPB，向量EA和DC夹角的大小就是二面角 APBC 的大小 如图建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，P(1，0，1)，由 D 是 PB 的中点，得 D)21,22,21(由,3122ABAPEBPE得 E 是 PD 的中点，从而)43,42,4

16、3(E)21,22,21(),43,42,41(DCEA 33|,cosDCEADCEADCEA 即二面角 APBC 的平面角的余弦值是33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，)0,1,2(B，C(0，1，0)，P(0，0，1)，8 ).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(CPCBABAP 设平面 PAB 的法向量是 a(a1，a2，a3)，平面 PBC 的法向量是 b(b1，b2，b3)由,0,0ABAPaa 得,02,0213aaa取 a11，得).0,2,1(a 由0,0CPCBbb得,0,02321bbb取 b31，得 b(0，1，1)33|

17、,cosbababa 二面角 APBC 为锐二面角，二面角 APBC 的平面角的余弦值是33|33|【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上 2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的 例 6 如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D，E分别在棱 PB，PC 上，且 DEBC()求证：BC平面 PAC；()当 D 为 PB 的中点

18、时，求 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值；()试问在棱 PC 上是否存在点 E，使得二面角 ADEP 为直二面角?若存在，求出 PEEC 的值；若不存在，说明理由 9 解：如图建立空间直角坐标系 设 PAa，由已知可得 A(0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(aPaCaaB (),0,0,21(),0,0(aBCaAP,0BCAPBCAP又BCA90，BCAC BC平面 PAC()D 为 PB 的中点，DEBC，E 为 PC 的中点)21,43,0(),21,43,41(aaEaaaD 由()知，BC平面 PAC，DE平面 PAC，DAE 是直线 AD 与平面

19、 PAC 所成的角),21,43,0(),21,43,41(aaAEaaaAD,414|cosAEADAEADDAE 即直线 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值是414()由()知，DE平面 PAC，DEAE，DEPE，AEP 是二面角 ADEP 的平面角 PA底面 ABC，PAAC，PAC90 在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC，这时，AEP90，且3422ACPAECPE 故存在点 E 使得二面角 ADEP 是直二面角，此时 PEEC43 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试 10 练习 一、选择题：1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 BB

20、1的中点，则二面角 EA1D1D 的平面角的正切值是()(A)2(B)2(C)5(D)22 2正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AD1与平面 A1ACC1所成角的大小是()(A)30(B)45(C)60(D)90 3 已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于()(A)31(B)32(C)33(D)32 4如图，l，A，B，A，B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与，所成的角分别是和，AB 在，内的射影分别是 m 和 n，若 ab，则下列结论正确的是()(A)，mn (B)，m

21、n(C)，mn (D)，mn 二、填空题：5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别为 AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线 EF与 GH 所成角的大小是_ 6已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于_ 7如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为_ 8 四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，BAD90，ADBC，BCABAD21，PA底面 ABCD，PD 与底面 ABCD 所成的角是 30设 AE 与 CD 所成的角为，则 cos_ 三、解答题：9如图，

22、正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点 E 在 CC1上，且 C1E3EC 11 ()证明：A1C平面 BED；()求二面角 A1DEB 平面角的余弦值 10如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，4ABC，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点 ()证明：直线 MN平面 OCD；()求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 11如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45，直线 CA 和平面所成的角为 30 ()证明：BCPQ；()求二面角 BACP 平面角的余弦值 12 练习答案 一、选择题：1

23、B 2A 3B 4D 二、填空题：560 62 754 842 三、解答题：9以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4),0,2,2(),1,2,0(DBDE).4,0,2(),4,2,2(11DACA(),0,011DECADBCAA1CBD，A1CDE 又 DBDED，A1C平面 DBE()设向量 n(x，y，z)是平面 DA1E 的法向量，则.,1DADEnn.042,02zxzy令 y1，得 n(4，1，2)4214|),cos(111CACACAnnn二面角 A

24、1DEB 平面角的余弦值为4214 9 题图 10 题图 10作 APCD 于点 P如图，分别以 AB，AP，AO 所在直线为 x，y，z 轴建立坐标系 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(DP，O(0，0，2)，M(0，0，1)，)0,42,421(N()2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(ODOPMN 设平面 OCD 的法向量为 n(x，y，z)，则,0,0ODOPnn 即.022222,0222zyxzy取,2z，得).2,4,0(n 13,0nMNMN平面 OCD()设 AB 与 MD 所成的角为，,3,21|cos),1,2

25、2,22(),0,0,1(MDABMDABMDAB 即直线 AB 与 MD 所成角的大小为3 11()证明：在平面内过点 C 作 COPQ 于点 O，连结 OB，PQ，CO 又CACB，OAOB BAO45，ABO45，AOB90，BOPQ，又 COPQ，PQ平面 OBC，PQBC()由()知，OCOA，OCOB，OAOB，故以 O 为原点，分别以直线 OB，OA，OC 为 x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)CO，CAO 是 CA 和平面所成的角，则CAO30 不妨设 AC2，则3AO，CO1 在 RtOAB 中，ABOBAO45，.3 AOBO).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(CABO).1,3,0(),0,3,3(ACAB 设 n1(x，y，z)是平面 ABC 的一个法向量，由,0,0ACABnn得,03,033zyyx取 x1，得)3,1,1(1n 易知n2(1，0，0)是平面的一个法向量 设二面角 BACP 的平面角为，,55|cos2121nnnn 即二面角 BACP 平面角的余弦值是55