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1、第八章空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量AB的模是（ A ）A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设 a=（1,-1,3 ）, b=（2,-1,2 ） ，求 c=3a-2b 是（ B ）A （-1,1,5 ）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5 ）. D （-1,-1,6）.3. 设 a=（1,-1,3 ）, b=（2, 1,-2） ，求用标准基 i , j , k 表示向量 c=a-b 为（A ）A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D -2i-j+5k4. 求两平面032zyx和052zy
2、x的夹角是（C ）A 2 B 4 C 3 D 5. 已知空间三点 M (1,1,1)、A(2,2,1)和 B（2，1，2） ，求 AMB 是（ C）A 2 B 4 C 3 D 6. 求点)10, 1,2(M到直线 L：12213zyx的距离是：（ A ）A 138 B 118 C 158 D 17. 设,23,aik bijkr rrrrrr求abrr是： （ D ）A -i -2j +5k B - i -j +3k C - i -j +5k D 3i -3 j +3k 8. 设 ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0, 1,3)ABC，求三角形的面积是：（ A ）A 3 62
3、B 364 C 32 D 3 9. 求平行于z轴，且过点)1 ,0, 1(1M和) 1 , 1, 2(2M的平面方程是：（ D）A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01yx10、若非零向量a,b满足关系式 abab ，则必有（ C ） ；A ab = ab ； B ab ； C 0a b =； D ab = 011、设,a b为非零向量，且ab, 则必有（ C ）A abab B ababC abab D abab12、已知2, 1,21, 3,2a =,b =，则Pr jba =（ D ） ；A 53； B 5； C 3； D 51413、直线11z01y11
4、x与平面04zyx2的夹角为（B ）A 6； B 3； C 4； D 214、点(1,1,1)在平面021zyx的投影为（A ）（A）23, 0,21；（B）13,0,22； （C） 1, 1,0 ； （D ）11, 1,2215、向量a与b的数量积a b=（ C ）. A arjba； B arjab； C arjab； D brjab16、非零向量,a b满足0a b，则有（ C ） A ab; B ab(为实数 ) ； C ab； D 0ab17、设a与b为非零向量，则0ab是（A ） A ab的充要条件； B a b的充要条件 ; C ab的充要条件； D ab的必要但不充分的条件18
5、、设234 ,5aijk bijk，则向量2cab在 y 轴上的分向量是（ B） A 7 B 7j C 1； D -9k19、方程组2222491xyzx表示 （ B ）. A 椭球面； B 1x平面上的椭圆； C 椭圆柱面； D 空间曲线在1x平面上的投影 . 20、方程220 xy在空间直角坐标系下表示（C ）. A 坐标原点(0,0,0)； B xoy坐标面的原点)0 ,0(；C z轴； D xoy坐标面 . 21、设空间直线的对称式方程为012xyz则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x轴； B 过原点且垂直于 y 轴；C 过原点且垂直于z轴； D 过原点且平行于x轴. 22、设
6、空间三直线的方程分别为123321034:;:13 ;:2025327xtxyzxyzLLytLxyzzt, 则必有（ D ）. A 1L2L； B 1L3L； C 32LL； D 21LL. 23、直线34273xyz与平面4223xyz的关系为 ( A )A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交； D 相交但不垂直24、已知1,2ab, 且( , )4a b, 则ab= ( D )A 1 ； B 12； C 2； D 5. 25、下列等式中正确的是 ( C )A ijk； B ijk； C i ijj； D iii i26、曲面22xyz在xoz平面上的截线方程为 (D)
7、 A 2xz； B 20yzx； C 2200 xyz； D 20 xzy二、计算题1已知2,2,21M，0 ,3, 12M，求21MM的模、方向余弦与方向角。解：由题设知1212,32,021,1,2 ,M Muu uuuu r则21cos，21cos，22cos，于是，32，3，43。2设kjim853，kjin742和kjip45，求向量pnma34在x轴上的投影及在 y 轴上的分向量。解：kjikjikjia4574238534kji15713故a在x轴上的投影为 13，在 y 轴上的分向量为j7 。3在xoz坐标面上求一与已知向量2,3,4ar垂直的向量。解：设所求向量为00,0,b
8、xzr，由题意，取10z，得20 x， 故2,0,1br与a垂直。当然任一不为零的数与b的乘积b也垂直a。4求以3 ,2, 1A，5 ,4,3B，7 ,2, 1C为顶点的三角形的面积S。解 ：由 向量 积的 定义 ，可 知三 角形 的 面 积 为ACABS21， 因 为2,2,2ABuu u r，2, 4,4ACuu u r，所以22216, 12,4244ijkABACrrruu u ruuu r，于是，.69242162144222221222kjiS5求与向量2,0,1ar，1, 1,2br都垂直的单位向量。解：由向量积的定义可各，若cba，则c同时垂直于a和b，且kjikjibac23
9、211102，因此，与bac平行的单位向量有两个：kjikjibabaccc2314123123|222和6求球面9222zyx与平面1zx的交线在 xoy面上的投影的方程。解：由1zx，得xz1，代入9222zyx，消去z得91222xyx，即82222yxx，这就是通过球面9222zyx与平面1zx的交线，并且母线平行于z轴的柱面方程，将它与0z联系，得：082222zyxx，即为所求的投影方程。7、求过1, 1 , 1A，2, ,2,2B和2, 1, 1C三点的平面方程。解一：点法式：3, 3, 3AB，3, 2, 0AC，取2,3, 13320333jjiACABn，于是所求方程：02
10、3zyx。解法二：用一般式，设所求平面方程为将已知三点的坐标分别代入方程得解得023DACAB，得平面方程：023zyx。8求平面0522zyx与 xoy面的夹角余弦。解：2, 2,1nr为此平面的法向量，设此平面与xoy的夹角为，则9分别按下列条件求平面方程(1) 平行于xoz面且经过点3,5,2；(2) 通过z轴和点2, 1 ,3；(3) 平行于x轴且经过两点2,0 ,4和7, 1 ,5。解：(1) 因为所求平面平行于xoz面，故0,1,0jr为其法向量，由点法式可得：0305120zyx，即所求平面的方程：05y。(2) 因所求平面通过z轴，其方程可设为(*)0ByAx，已知点2, 1
11、,3在此平面上，因而有03BA，即AB3，代入（ *）式得：03AyAx，即所求平面的方程为：03yx。(3) 从共面式入手，设zyxP,为所求平面上的任一点，点2,0, 4和7, 1 , 5分别用 A，B表示，则AP，AB， i 共面，从而000191124,zyxiABAP，于是可得所求平面方程为：029zy。10用对称式方程及参数式方程表示直线l ：421zyxzyx。解：因为直线 l 的方向向量可设为121112,1,3211ijksnnrrrruruu r，在直线上巧取一点2,0,3A（令0y，解直线 l 的方程组即可得3x，2z） ，则直线的对称式方程为32123zyx，参数方程为
12、：tx23，ty，tz32。11求过点4,2,0且与两平面12zx和23zy平行的直线方程。解：因为两平面的法向量11,0,2nu r与20,1 , 3nu u r不平行，所以两平面相交于一直线，此 直 线 的 方 向 向 量121022,3,1013ijksnnrrrru ru u r， 故 所 求 直 线 方 程 为14322zyx。12确定直线37423zyx和平面3224zyx间的位置关系。解：直线的方向向量2, 7,3 ,sr平面的法向量4, 2, 2 ,nr从而ns，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。再将直线上的点)0,4,3(A的坐标代入平面方程左边，得34024234，即
13、A不在平面上，故直线平行于平面。13求过点1 ,2, 1而与直线01012:1zyxzyxl，002:zyxzyxl平行的平面方程。解：因11211, 2, 3111ijksrrru r为直线1l的方向向量，22110,1, 1111ijksrrru u r直线2l的方向向量。取121231,1, 1011ijknssrrrru ru u r， 则通过点1 ,2, 1并以n为法向量的平面方程0zyx即为所求的平面方程。14、已知22,5,( , )3aba b, 问为何值时 , 向量17uab与3vab互相垂直解由0u v得(17 ) (3)0abab，即223(51)170aa bb，将22
14、,5,( , )3aba b代入得：212(51) 10cos42503，解得4015、求两平行面362140 xyz与36270 xyz之间的距离解在平面362140 xyz上取点(0,0,7)M，则点 M到平面36270 xyz的距离即为所求：22200277213736( 2)d16、求过点( 3,2,5)且与两平面430 xz和2510 xyz的交线平行的直线方程解设s, ,m n p为所求直线的一个方向向量，由题意知s与两个平面的法向量11,0, 4n和22,1, 5n同时垂直，故有120,0,s ns n即40250mpmnp解得：4 ,3mp np，即得s4,3,1故所求直线方程为325431xyz17、一平面过点(1,0, 1)且平行向量2,1,1a和1, 1,0b，试求这平面方程解 (从点法式入手 ) 由条件可取21 11,1, 3110ijknab, 于是1 (1)1 (0)3 (1)0 xyz，即043zyx为所求平面方程