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1、第二单元教学设计方案 第五学时第六学时（一）学习目标 11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.14.了解平面向量的基本定理及其意义.22.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻研精神.（二）重点难点 1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用 2.难点是平面向量的基本定理及其意义.（三）教学过程 教学内容 师生互动
2、设计意图 复习引入 前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.从而对平面上的任一方向的向量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗?让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法 从一维向二维,从已知到未知，引入新课题 新课探究 借助已经学过的平面直角坐标系.(1)分别确认 x 轴和 y 轴上的单位向量 e1、e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3 分别表示 3 e1、3e2(2)与轴不平行的平面向量,可以分解为
3、两个师生共同探究,对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe1+ye2）(3)取平面上两条互相垂直的单位向量 e1、e2，那么对该平面内的任意向量 a，都存在唯一的一对实数x、y，使 a=xe1+ye2。例如 课本 103 页练习 A 第一题 证明 课本 96 页，97 页(4)这里e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe1+ye2叫做 a 关于基底e1，e2的分解式；（x,y）叫做 a 关于基底e1，e2下的坐
4、标，即 a（x,y）；x(y)是向量 a 在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然 0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1)(5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。(6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积。即：如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么 ab=(x1x2,y1y2),a=(x1,y1)ab 的充要条件是 x1y2=x2y1(需要证明)(7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量 e1、e2，那么平面中
5、所有向量 a 都可以用这两个向量表示。即 a=xe1+ye2.这里 x、y是唯一确定的一对有序实数。e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做 a 关于基底e1，e2的分解式.例如 课本 96 页图 234，证明同(3)。体表示方法 这里给出了课本 97 页的两个概念，学生知道这些名词就可以了 向量的直角坐标表示及其运算性质，学生应该容易接受，甚至给出证明。一些学生可能不理解证明的必要性和合法性（不易深究）。一般学生以了解为主，重在以具体问题为载体，落实基本定理的思想方法（消点法）。数学证明的严谨性和必要性.yx303045深化理解 例 11.课本 100 页例 1。在直角
6、坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向 和长度如图所示。分别求它们的坐标。所有例题，以教师为主导，关注优秀生 是否能 从想得通 到写得通 再到讲得通 适当的给他们机会锻炼展示；关注一般同学 是否能 从想不通 到想得通 再到写得通 给他们充分时间来思考学习 教师协调 全班讨论 复习巩固初中特殊角三角函数，学会用坐标表示向量，为数量积作准备 例 12.课本 102 页例 5，含 101 页例 2、4 已知 ABCD 的三个顶点 A(2,1),B(0,3),C(3,4)，求(1)向量 BA 的坐标、方向和长度；(2)向量 BD 的坐标、顶点 D 的坐标。总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减
7、去向量起点的坐标。即 ABAO+OBOBOA(x1x2,y1y2)可以进行多种解法，以达到复习巩固向量的坐标表示，并用于向量的加减及数乘运算，使学生加深理解 例 13课本 102 页例 6，含 101 页例 3 已知 A(2,1),B(4,4)，求线段 AB 的中点 M和三等分点 P、Q 的坐标。注：OM OA AM OA 0.5AB 0.5(OA+OB)，这里的向量分解变形是重点也是难点。注：例题到此，应进行学生独立练习巩固 这里，初中学生已经接触过中点坐标公式。学生基础好，可以另用向量的方法给出证明 例 21课本 104 页例 1 已知 向量 AB=(2,5),向量 a=(1,y),若 向
8、量 ABa.求 a 的纵坐标 y.例 22 课本 104 页例 2 直角坐标系 xOy 内，已知 A(2,3),B(0,1),C(2,5)。求证 A,B,C 三点共线 例 31课本 97 页例 1 已知 ABCD 的两条对角线相交于点 M，试 用 基 底 AB,AD 表 示 向 量MA,MB,MC,MD.例 32课本 97 页例 2 已知直线 AB 上任意点 P 及直线 AB 外一点O。以OA，OB为基底，写出向量 OP 的分解式 熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势 这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体情况而定 课堂练习 练习 1：课
9、本 103 页练习 A2,4,5;B1,2,3,4 练习 2：课本 105 页练习 A1,2,3；B1,2 练习 3：课本 98 页练习 A1,3,5;B1,3,4 对于部分习题 师生可以在充分独立思考的基础上，进行小组讨论.对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不同的发展 归纳小结 今天学会了：向量的坐标表示 坐标表示的向量的加减及数乘运算 向量平行的坐标条件 平面向量的基本定理 师生共同完成 这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈时间 作业 作业 1：课本 105 页习题 22A2,3,4,5,6.作业 2：课本 106 页习题 22B2,3.127 页 9，11，19 学生自主完成 温习巩固，逐步理解 课后反馈