《考点1线面垂直的判定与性质.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点1线面垂直的判定与性质.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 考点 1 线面垂直的判定与性质 （2018北京卷（理）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC5，ACAA12.（1）求证：AC平面 BEF；（2）求二面角 BCDC1的余弦值；（3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【解析】（1）证明 在三棱柱 ABCA1B1C1中，因为 CC1平面 ABC，所以四边形 A1ACC1为矩形 又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点，所以 ACEF.又 ABBC，所以 ACBE，又 BE，EF平面 BEF，BEEFE
2、，所以 AC平面 BEF.（2）由（1）知 ACEF，ACBE，EFCC1.又 CC1平面 ABC，所以 EF平面 ABC 因为 BE平面 ABC，所以 EFBE.如图，以 E 为原点，EA 所在直线为 x 轴，EB 所在直线为 y 轴，EF 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得 B（0,2,0），C（1,0,0），D（1,0,1），E（0,0,0），F（0,0,2），G（0,2,1）所以（1，2,0），（1，2,1）设平面 BCD 的法向量为 n（x0，y0，z0），则 =0,=0,即0 20=0,0 20+0=0.令 y01，则 x02，z04.于是 n（2，1，4）又
3、因为平面 CC1D 的法向量为（0,2,0），所以 cosn，|2121.由题意知二面角 BCDC1为钝角，所以其余弦值为2121.（3）证明 由（2）知平面 BCD 的法向量为 n（2，1，4），（0,2，1）因为 n 20（1）2（4）（1）20，所以直线 FG 与平面 BCD 相交【答案】见解析 （2018浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.（1）证明：AB1平面 A1B1C1；（2）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值【解析】方法一（1）证明 由 AB2，AA14，BB
4、12，AA1AB，BB1AB，得 AB1A1B122，所以 A112A12A12，故 AB1A1B1.由 BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，得 B1C15.由 ABBC2，ABC120，得 AC23.由 CC1AC，得 AC113，所以 A12B112A12，故 AB1B1C1.又因为 A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面 A1B1C1，因此 AB1平面 A1B1C1.（2）如图，过点 C1作 C1DA1B1，交直线 A1B1于点 D，连接 AD 由 AB1平面 A1B1C1，得平面 A1B1C1平面 ABB1.由 C1DA1B1，平面 A1B1C1平面 ABB1A1
5、B1，C1D平面 A1B1C1，得 C1D平面 ABB1.所以C1AD 是 AC1与平面 ABB1所成的角 由 B1C15，A1B122，A1C121，得 cosC1A1B1427，sinC1A1B177，所以 C1D3，故 sinC1AD113913.因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是3913.方法二（1）证明 如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意知各点坐标如下：A（0，3，0），B（1,0,0），A1（0，3，4），B1（1,0,2），C1（0，3，1）因此1（1，3，2），11（1，3，2
6、），11（0,2 3，3）由1 11 0，得 AB1A1B1.由1 11 0，得 AB1A1C1.又 A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面 A1B1C1，所以 AB1平面 A1B1C1.（2）设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为.由（1）可知 1（0,23，1），（1，3，0），1（0,0,2）设平面 ABB1的一个法向量为 n（x，y，z）由 =0,1=0,得+3=0,2=0,可取 n（3，1,0）所以 sin|cos1，n|1|1|3913.因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是3913.【答案】见解析 （2018全国卷（理）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2
7、2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值【解析】（1）证明 因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP23.如图，连接 OB 因为 ABBC22AC，所以ABC 为等腰直角三角形，所以 OBAC，OB12AC2.由 OP2OB2PB2知 POOB 因为 OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面 ABC，所以 PO平面 ABC（2）由（1）知 OP，OB，OC 两两垂直，则以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC，OP 所在直线为
8、 x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示 由已知得 O（0,0,0），B（2,0,0），A（0，2,0），C（0,2,0），P（0,0,23），（0,2,23）由（1）知平面 PAC 的一个法向量为（2,0,0）设 M（a,2a,0）（0a2），则（a,4a,0）设平面 PAM 的法向量为 n（x，y，z）由 n0，n0，得 2+23=0,+(4 )=0,可取 y3a，得平面 PAM 的一个法向量为 n（3（a4），3a，a），所以 cos，n23(4)23(4)2+32+2.由已知可得|cos，n|cos 30 32，所以23|4|23(4)2+32+232，解得 a4（舍去）或 a43.所以 n(833,433,43).又（0,2，23），所以 cos，n34.所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为34.【答案】见解析