《2022年高考试题分类汇编：考点23直线平面平行与垂直的判定及其性质 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考试题分类汇编：考点23直线平面平行与垂直的判定及其性质 .pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、【考点 23】直线、平面平行与垂直的判定及其性质1. （2010湖北高考文科4）用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若ay，by，则ab；若ay，by，则ab. 其中真命题的序号是（）A. B. C. D. 【命题立意】本题主要考查立体几何中的线线、线面关系，考查考生的逻辑推理和空间想象能力【思路点拨】空间中线线平行具有传递性，线线垂直不具有传递性，线面平行不具有传递性. 【规范解答】 选 C，由空间直线的平行公理知正确；ab，bc时a与c可以平行、 相交也可以异面，故错；ay，by时，a与b可以平行、相交也可以异面，故错；由直
2、线与平面垂直的性质定理知正确 . 2. （ 2010 江西高考文科）如图，M是正方体1111ABCDA B C D的棱1DD的中点，给出下列命题过M点有且只有一条直线与直线AB，11B C都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，11B C都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，11B C都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，11B C都平行 . 其中真命题是： （）. A B C D【命题立意】本题主要考查空间中线与线的位置关系、线与面的位置关系，考查空间想象力【思路点拨】由线与线、线与面关系定理直接判断. 【规范解答】选C.如图：设,P N分别为1AA，1CC的中点，则平面ABNM
3、I平面11B C MPEF, 这个交线是唯一的，且11,EFBAF EFB CEII. 正确 . 这条唯一成立的直线是1DD, 正确；显然平面11ADC B, 平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页11BDC B等与直线AB，11B C都相交，错误; 这样的唯一平面是过M且与上、下底面都平行的平面，正确 . 故选 C. 3. （ 2010全国高考卷文科6）直三棱柱111ABCA B C中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（） . (A)30o (B) 45o (C) 60o (D)
4、 90o【命题立意】本小题主要考查直三棱柱111ABCA B C的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法 . 【思路点拨】本题源于人教版高二第二册（下B）第 63 页第 4 题，可以采用常规法利用平移找到异面直线1BA与1AC所成的角，也可建立空间直角坐标系求角. 【规范解答】选C. 如图：延长CA到D，使得ADAC，连结1,A D BD,则11ADAC为平行四边形，1DA B就是异面直线1BA与1AC所成的角，又三角形1A DB为等边三角形，160DA Bo. 【方法技巧】求两条异面直线所成的角的方法：（1）两条异面直线所成的角，是借助平面几何中的角的概念予以定义的，是研究空间两条直
5、线的基础. （2） “等角定理”为两条异面直线所成角的定义提供了可能性与唯一性，过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的而与所取点的位置无关. （3）建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式：|,cosbababa4. （2010全国高考卷理科7）正方体ABCD1111A B C D中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（）. (A) 23 (B)33 (C)23 (D)63【命题立意】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，突出考查学生的空间想象能力和运算能力. 【思路点拨】画出正方体图形，利用辅助线并结合正方体的性质，
6、找到线面垂直关系确定B1B与平面AC1D所成角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页【规范解答】选D.设上下底面的中心分别为1,OO；如图：则1OO1BB，1O O与平面1ACD所成角就是1BB与平面AC1D所成角，11116cos332O OOODOD. 【方法技巧】求立体几何中的线面角的方法：（ 1）定义法：先作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影的夹角就是斜线与平面所夹角，然后在直角三角形中，求出这个角的某种函数值，最后求出这个角. （2）公式法：利用公式21coscoscos（3）向量法：|sinABnAB
7、n5. （2010全国高考卷文科8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，3SA, 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）. (A)34 (B)54 (C)74 (D)34【命题立意】本题考查线面角的概念及其求法. 【思路点拨】先找到与面SBC垂直的平面，再作出该平面的垂线，找到直线AB在平面SBC上的射影，然后作出所求的线面角求解.【规范解答】选 D，如图：取BC的中点D，连结SD、AD，过A作AESD、连结BE, 则ABE即所求，3SA,2ABBCAC, 所以3,1.5ADAE,3sin4ABE.【方法技巧】 正确作出线面角是解决此类问题的关键
8、, 作线面角的方法是先找到平面的垂线，可以利用面面垂直的性质，过一个平面内一点向另一平面作交线的垂线，这样就找到该斜线在平面内的射影，从而找到线面角. 在求角的函数值时注意计算要准确 . 6. （2010江西高考理科）过正方体1111ABCDA B C D的顶点A作直线l，使l与棱1,AB AD AA所成的角都相等，这样的直线l可以作 ( ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页(A)1 条 (B)2条 (C)3条 (D)4条【命题立意】本题主要考查空间中线面关系，空间角的概念，考查考生的空间想象能力【思路点拨】建
9、立空间想象能力是关键. 【规范解答】选第一类：过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线1AC；第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2 条棱夹角相等，有3 条，合计4 条. 故选 D. 7. （2010重庆高考文科9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（） . A只有 1 个 B恰有 3 个 C恰有 4 个 D有无穷多个【命题立意】本小题考查异面直线、空间距离等基础知识，考查空间想象能力，考查推理论证能力，考查数形结合的思想方法. 【思路点拨】把两条异面直线放在一个几何模型内，寻找符合题意的点. 【规范解答】选D 如图：在正方体1111ABCDA B C D中，直线AB与直线11B C是两条互
10、相垂直的异面直线，则符合题意的点有正方体的中心O，点1A，点C，1BB的中点M等 4 个点；进一步思考，在平面11ABB A中，到点1B的距离就是到直线11B C的距离，所以问题可以转化为在平面11ABB A中， 到定点1B的距离等于到定直线AB的距离的点P的轨迹是抛物线，所以符合题意的点有无数个. 【方法技巧】构造几何模型正方体，可以简捷解答. 8. （ 2010重庆高考理科0）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ). (A) 直线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D)双曲线【命题立意】本小题考查立体几何中的线线、线面的垂直关系，考查空
11、间想象能力，考查圆锥曲线的定义和标准方程，考查转化与化归的思想. 【思路点拨】把空间问题转化到一个平面上，抓住互相垂直的两条异面直线的距离是定值，利用空间几何体模型，建立平面直角坐标系进行推导. 【规范解答】选D 异面直线1l，2l是已知互相垂直的异面直线，以正方体为模型，如图所示，设1l，2l的距离是a，PAPBh，在直角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页坐标系xOy中，设( ,)P x y，那么22,xPA yPBa，所以22yxa，所以222xya，点 P的轨迹为双曲线. 【方法技巧】借助于正方体这个模型是解
12、题的关键，注意到两条异面直线之间的距离为定值，寻找等量关系PAPB和222PBPCBC即可求出轨迹方程. 9. （ 2010全国高考卷理科11）与正方体1111ABCDA B C D的三条棱111ABCCA D、所在直线的距离相等的点( ). （A）有且只有1 个（B）有且只有2 个（C）有且只有3 个（ D ）有无数个【命题立意】本题考查了空间直线、平面间的距离. 【思路点拨】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解. 【规范解答】选 D，设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系， 设点( , , )Mx y z，由点M分别作111,AB CCA D的垂线，垂足分别为123,MMM
13、，则123(1, ,0),(0,1, ),( ,0,1)MyMz Mx，根据两点间距离公式，得方程组222222(1)(1)(1)xzxyyz，显然xyz时这个方程恒成立，即这个方程组有无穷多组解，故这样的点有无穷多个. 【方法技巧】 利用方程思想求解.方程组222222(1)(1)(1)xzxyyz中的每个方程都是双曲抛物面的方程，本题中符合要求的点的集合就是两个双曲抛物面的交线。在一些错误解答中认为其轨迹为柱面或者是平面是本质性的错误. 这个题作为选择题，命题者的目的是考查考生空间想象能力和直觉猜想能力的 . 10. （ 2010全国高考卷理科9）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA，那么
14、当该棱锥的体积最大时，它的高为（）. （A） 1 （B）3（C）2 （D） 3 【命题立意】本题考查了立体几何棱锥的体积计算与导数的运用. 【思路点拨】列出关于棱锥高的函数表达式，利用导数求最大值. 【规范解答】选 C ，如图：设棱锥的高为h, 底面边长为a, 则2222()(23)2ah,222(12)ah，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页212(12)3Vhh，228Vh，令0V，得2h.棱锥的体积最大. 11. （ 2010江西高考理科）如图，在三棱锥OABC中，三条棱,OA OB OC两两垂直，且OAOB
15、OC，分别经过三条棱,OA OB OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为123,S SS，则123,S SS的大小关系为_【命题立意】本题主要考查棱锥的基本知识，考查空间点线面的位置关系，考查面积和体积的问题，考查两数大小的比较，考查空间想象力【思路点拨】先确定截面的位置，如图：,OAOB OAOC, OABOC平面. 即OA为底面BOC的高，则13A OBCBOCVSOA, 过棱OA的截面若要平分三棱锥的体积，只要平分底面即可，故取BC的中点D, 则截面AOD平分三棱锥的体积. 过棱,OB OC的截面同理 . 再确定截面面积，最后比较大小. 【规范解答】依次取ABCABC,的中点FE
16、D,，则截面三角形COFRtBOERtAODRt,所在平面均平分三棱锥的体积，设cOCbOBaOA,，则21SS2212212222cabcba=422222222cbbacaba，又因为OAOBOC，即cba，所以021SS，即21SS. 同理可得32SS. 【答案】321SSS. 【方法技巧】为了便于计算，可取特殊值，如3,2,1OAOBOC. 12. (2010四川高考理科15） 如图，二面角l的大小是60，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30. 则AB与平面所成的角的正弦值是 . 【命题立意】本题考查了空间几何体的二面角，线面角的求法问题. 【思路点拨】 首先作出AB与平面所成的角，
17、 二面角l的平面角， 然后利用具有已知条件的直角三角形求边 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页【规范解答】如图：过A点作AO, 垂足为O，联结AO，则ABO就是AB与平面所成的角 . 再过O作OCl, 垂足为C，联结BC，则ACO就是二面角l的平面角 . 即60ACO，设ABa，在Rt ACB中，30ABC, sin 302aACAB，在Rt AOC，3sin 604AOACa. 在Rt AOB中，3sin4AOBAOAB【答案】34. 【方法技巧】本题主要利用三垂线定理及其逆定理把要求的角作出来再求. 13.
18、 （ 2010全国卷理科19）如图， 四棱锥SA B C中，S DA B C底面，AB/DC，ADDC，1ABAD,2DCSD，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC. （）证明：2SEEB；（）求二面角ADEC的大小 . 【命题立意】 “似曾相识燕归来”.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况，命题人在这里一定会照顾双方的利益. 学生在备考中也应注意这一点，两种方法都应重视，不可偏颇.【思路点拨】本题很常规，给人感觉很熟悉，尤其给
19、出，底面ABCD为直角梯形，SDABCD底面，这就为解答提供很大的方便，大部分考生会考虑到用建立空间直角坐标系，运用向量解答. 再者，此题与2007 年全国高考数学卷第19 题， 2009 全国高考数学卷第18 题年非常类似，给人似曾相识的感觉，如果考前接触过这道试题，解决今年的这道考题不会有太大的困难. 【规范解答】(I) 连结BD, 取DC的中点G, 连结BG, 由此知1DGGCBG, 即DBC为直角三角形, 故BCBD, 又SDABCD平面, 故BCSD, 所以以 , BCBDS平面, BCDE. 作BKEC,K为垂足 , 因平面EDC平面SBC, 故BKEDC平面,BKDE.DE与平面
20、SBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页内的两条相交直线BK、BC都垂直 . DESBC平面,DEEC,DESB,226SBSDDB, 23SD DBDESB, 2263EBDBDE,2 63SESBEB. 所以 , 2SEEB. (II)由225SASDAD,1AB, 2SEEB,ABSA, 知2212()()133AESAAB, 又1AD, 故ADE是等腰三角形 . 取ED中点F, 连结AF, 则AFDE,2263AFADDF. 连结FG, 则FGEC,FGDE. 所以 ,AFG是二面角ADEC的平面角 . 连
21、结AG,2AG,2263FGDGDF, 2221cos22AFFGAGAFGAFFG.所以 , 二面角ADEC的大小为120o. 解法二 : 以D为坐标原点 ,射线DA为x轴的正半轴 , 建立如图所示的直角坐标系Dxyz. 设(1,0,0)A, 则(1,1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,2)S. ( )(0,2, 2)SCuu r,( 1,1,0)BCuuu r. 设平面SBC的法向量为( , , )na b cr, 由,nSB nBCruu r ruuu r, 得0,0n SCn BCr uu rr uuu r,. 故022cb,0ba. 令1a, 则1,1bc，(1,1,1,)nr.
22、 又设)0(EBSE, 则)12,1,1(E. 2(,)111DEuuu r,)0, 2, 0(DC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页设平面CDE的法向量( , , )mx y zu r, 由,mDE mDCu ruuu r u ruuu r, 得0,0m DEm DCu r uuu ru r uuu r. 故01211zyx,02y. 令2x, 则(2,0,)mu r. 由 平 面ED C平 面SB C，mnu rr,0m nu rr,02,2. 故EBSE2. (II)由(I) 知)32,32,32(E,
23、取DE中点F, 则)31,31,31(F,211(,)333FAuu r, 故0DEFA, 由此得DEFA. 又2 42(,)3 33ECuu u r, 故0DEEC, 由此得DEEC, 向量FA与EC的夹角等于二面角CDEA的平面角 . 于是21|,cosECFAECFAECFA, 所以 , 二面角CDEA的大小为120. 【方法技巧】求二面角的方法求二面角的方法说明定义法在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线， 这两条垂线所成的角即为二面角的平面角垂面法利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面三垂线定理自二面角的一个平面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足）
24、，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角. 14. （2010 湖北高考文科 18） 如图，在四面体ABOC中，,OCOA OCOB，120AOBo，且1OAOBOC. （）设P为AC的中点，Q在AB上且3ABAQ，证明：PQOA；（）求二面角OACB的平面角的余弦值. 【命题立意】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系以及二面角等，同时考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页【思路点拨】 （）由三垂线定理，可先在AB上找一点N，使CNO
25、A, 再证明CN PQ即可。（）可利用三垂线法做出二面角OACB的平面角的平面角，再解直角三角形即可(也可利用空间向量求解 ). 【规范解答】 （）在平面OAB内过O点作ONOA交AB于N, 连接NC。在等腰AOB中，0120AOB,030OABOBA, 在Rt AON中，030OAN,12ONAN, 在ONB中0001209030NOBNBO，12NBONAN。又3ABAQ, Q为AN的中点。在CAN中，,P Q分别为,AC AN的中点，CN PQ。 由O NO A，OCOA知：OAONC平面，又NCONC平面，OANC，由CN PQ知：PQOA. （）连接,PN PO. 由,OCOA OC
26、OB知：OCOAB平面. 又ON平面OAB,OCON.由ONOA知：ONAOC平面.OP是NP在平面AOC内的射影。在等腰直角AOC中，P为AC的中点，ACOP。由三垂线定理知：ACNP。因此OPN为二面角OACB的平面角。在等腰直角AOC中，1OCOA,22OP。在Rt AON中，03tan303ONOA。在Rt PON中，22306PNOPON. 2152cos5306POOPNPN. 解法二 : ( ) 取O为坐标原点，分别以,OA OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）则13(1,0,0),(0,0,1),(,0)22ACB, P为AC的中点，11(,0,)2
27、2P. 33(,0)22AB, 又由已知可得113(,0)326AQAB, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页又OQ13(,0)26OAAQ,31(0,)62PQOQOP, 31(0,) (1,0,0)062PQ OA. 故PQOA. 即PQOA。 ( ) 记 平 面ABC的 法 向 量 为123,)nnnn（， 则 由,nCA nAB且(1 ,0,1)CAuu r, 得1312033022nnnn， 故 可取1 ,3 , 1 )n （，又 平 面O A C的 法 向 量为( 0 , 1 ,e，(1, 3,1)
28、(0,1,0)15cos,55 1n e，二面角OACB的平面角是锐角，记为，则15cos5. 【方法技巧】 1. 空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现，也可由已有的线线垂直，借用线线平行实现新的线线垂直。 2. 求二面角的大小一般有以下五种办法：三垂线法（过其中一个半平面内某点易做出另一个半平面的垂线时最适合用此法）. 垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）. 定义法 . 射影面积法（无棱二面角或容易找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用此法） . 向量法 . 15. （ 2010上海高考理科21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先
29、要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面8 等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面） . (1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01 平方米） ; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线13A B与35A B所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值，立体几何中求角等问题【思路点拨】 （1）建立S关于r的函数，根据函数的性质求最值；精选学习资料 - - - - -
30、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页B5A5B6A6B2A2B4A4B8A8B1A1B3A3B7A7（2）按求异面直线所成的角的步骤进行【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为h，则4(42 )9.6rh，所以1 .2hr所以2222(.22 )SSSrrhrrr侧底22.43rr(00.6)r4.0)3(24 .2r所以，当4.0)3(24.2r时 S有最大值最大值为51.1)4.0(34.04.22（平方米）（2）由（ 1）0.3r时，0.6h， 如图，连接135713,A A B BB B，易得135713A AB BB B，且相互平行，所以四
31、边形1357A A B B为平行四边形，所以35A B17A B，且3517A BAB，所以317B A B为异面直线13A B与35A B所成的角，331BAARt中可得23 .031AA，6 .033BA，所以63 .031BA；同理可得63 .071BA；在713BAB中，63.031BA，63.071BA，6.073BB，由余弦定理 , 可得32)63 .0( 26 . 0)63 .0()63. 0(2cos22227131273271231713BABABBBABABAB，所以713BAB32arccos异面直线13A B与35A B所成的角为32arccos【方法技巧】求异面直线所
32、成的角按如下步骤进行: （1）作角：通过作辅助线，作出或找到异面直线所成的角；（2）证明：由异面直线所成的角的定义证明前面所作的角是满足条件的角；（3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（这里仅一句话即可）；（4）求角：在三角形中求出这个角的大小16. （ 2010 湖 北 高 考 理 科 18 ） 如 图 , 在 四 面 体ABOC中 ，OCOA, OCOB,0120AOB，且OAOB1OC. ( ) 设P为AC的中点 . 证明：在AB上存在一点Q, 使PQOA, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页并计算A
33、BAQ的值；( ) 求二面角OACB的平面角的余弦值. 【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的求法等，同时考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力【思路点拨】 ( ) 由OCOAB面, 利用三垂线定理在AB上找一点N， 使C NO A， 过P作PQ NC，交AB上一点即为所求的点Q。在AOB中即可计算ABAQ的值。( ) 由( )利用三垂线法做出二面角OACB的平面角， 再解直角三角形求出二面角OACB的平面角的余弦值。( 也可利用空间向量求解) 【规范解答】方法一:( ) 在平面OAB内过O点作ONOA交AB于N, 连接NC。OCOA,OAONC平面.N
34、CONC平面, OANC. 取Q为AN的中点，则,PQ NCPQOA. 在等腰AOB中，0120AOB,030OABOBA, 在Rt AON中，030OAN,12ONANAQ, 在ONB中，0001209030NOBNBO,NBONAQ3ABAQ. ( ) 连接,PN POP.由,OCOA OCOB知：OCOAB平面. 又ON平面OAB,OCON.由ONOA知：ONAOC平面.OP是NP在平面AOC内的射影。在等腰直角AOC中，P为AC的中点，ACOP。由三垂线定理知：ACNP。因此OPN为二面角OACB的平面角。在等腰直角AOC中，1OCOA,22OP。在Rt AON中，03tan303ON
35、OA。在Rt PON中，22306PNOPON. POCOSOPNPN22306155。,OA OC所在直方法二 : ( ) ( )取O为坐标原点，分别以线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页则13(1,0,0),(0,0,1),(,0)22ACB, P为AC的中点，11(,0,)22P. 设AQAB, 且（0，1） ，33(,0)22AB,OQOAAQ=(1,0,0)+33(,0)22=3(12,3,0)2,PQOQOP1331(,)2222,0PQOAPQ O
36、A, 即13022，13，因此存在点13(,0)26Q, 使得3ABPQOAAQ且. ( ) 记 平 面ABC的 法 向 量 为123,)nnnn（， 则 由,nCA nAB且(1,0,1)CAuu r, 得1312033022nnnn， 故 可取1 ,3 , 1 )n （，又 平 面O A C的 法 向 量为( 0 , 1 ,e，(1, 3,1) (0,1,0)15cos,55 1n e，二面角OACB的平面角是锐角，记为，则 cos=155. 【方法技巧】1. 空间中的两直线异面垂直往往可通过三垂线定理或线面垂直两个途径来实现。 2. 求二面角的大小一般有以下四种办法：三垂线法（过其中一个
37、半平面内某点易做出另一个半平面的垂线时最适合用此法）。垂面法（有一个平面与二面角的棱垂直时适合用此法）。定义法。射影面积法（无棱二面角或容易找出一个半平面内的某个图形在另一个半平面内的射影时适合用次法）17.（2010 全国高考卷理科 19） 如图，直三棱柱111ABCA B C中，ACBC，1AAAB，D为1BB的中点，E为1AB上的一点，13AEEB（）证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；（）设异面直线1AB与CD的夹角为45，求二面角111AACB的大小【命题立意】本题考查了立体几何公垂线概念及二面角概念及其求法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
38、- - - - - -第 14 页，共 26 页【思路点拨】 （1）由公垂线的定义，需证明1,DEAB DECD；（2）利用面面垂直的性质，先作出二面角的平面角，再解直角形. 【规范解答】 （1）如图：连结BA1, 设BA1与1AB的交点为F, 因为BBAA11为正方形，故11ABBA, 且1AFFB, 又13EBAE所以1EBFE又D为1BB的中点，故1,ABDEBFDE 设G为AB的中点，连结CG，由ACBC知CGAB, 又由底面11BBAAABC面， 得BBAACG11面，连结DG，则DG1BB1AB,故DGDE , 由三垂线定理，得CDDE.所以DE为异面直线1AB与CD的公垂线 .
39、（）因为1ABDG ，故CDG为异面直线1AB与CD的夹角，故45CDG. 设2,AB则.3,2,2,221ACCGDGAB作HCAHB,111为垂足，因为底面CCAACBA11111面，故CCAAHB111面.又作1ACHK,K 为垂足，连结KB1，由三垂线定理，得11ACKB因此KHB1为二面角11BACA的平面角。32)21(11211211111CABACABAHB332212111HBCBHC,7332,7)3(2111221ACHCAAHKAC1tan14BHB KHHK,所以二面角111BACA的大小为arctan14. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
40、总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页2009 年考题1. （2009 福建高考）设m ， n是平面内的两条不同直线，1l，2l是平面内的两条相交直线，则/ 的一个充分而不必要条件是（）A.m/且n/ B. m/l1且 n/l2C. m/且 n/ D. m/且 n /l2【解析】选B.若1212/ / ,/ / , ,mlnlmnl l，则可得/. 若/则不一定存在1221/ /,/ /llmlnl使得. 2. （2009 广东高考）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂
41、直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（）A和 B和 C和 D和 【解析】选D.错, 正确 , 错, 正确. 故选 D. 3. （2009 浙江高考）设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A若,l，则l B若/ /,/ /l，则lC若,/ /l，则l D若/ /,l，则l【解析】选C.对于 A、B、D均可能出现/l，而对于C是正确的4. (2009山东高考 ) 已知 ， 表示两个不同的平面，m为平面 内的一条直线，则“”是“m”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条
42、件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面 内的一条直线 ,m, 则, 反过来则不一定 . 所以“”是“m”的必要不充分条件. 5. （2009 四川高考）如图，已知六棱锥ABCDEFP的底面是正六边形，ABPAABCPA2,平面则下列结论正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页 A. ADPB B. PAB平面PBC平面 C. 直线BCPAE平面 D. 直线ABCPD与平面所成的角为45【解析】选D.AD与 PB在平面的射影AB不垂直， A不成立；又平面PAB 平面
43、 PAE ，PAB平面PBC平面也不成立；BC AD平面 PAD, 直线BCPAE平面也不成立。在PADRt中，PA AD 2AB， PDA 45. D正确 . 6. （2009 江苏高考）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）. 【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是 (1)(2) 答案
44、 :(1)(2) 7.（ 2009 山东高考） 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD为等腰梯形， AB/CD， AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱AD 、 AA1的中点 . （1）设 F 是棱 AB的中点 , 证明：直线EE1/ 平面 FCC1；（2）证明 : 平面 D1AC 平面 BB1C1C. 【解析】（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取 A1B1的中点 F1，连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4, CD=2, 且 AB/CD，所以 CDA1F1为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为 E、E1分别是棱AD 、AA1的
45、中点，所以EE1/A1D，所以 CF1/EE1，又因为1EE平面 FCC1，1CF平面 FCC1，所以直线EE1/ 平面 FCC1. （2）连接 AC,在直棱柱中， CC1平面 ABCD,AC 平面 ABCD, 所以 CC1AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱 AB的中点 , 所以 CF=CB=BF ，BCF 为正三角形，EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页60BCF, ACF
46、为等腰三角形，且30ACF所以 AC BC, 又因为BC与 CC1都在平面BB1C1C内且交于点C, 所以 AC 平面 BB1C1C, 而AC平面 D1AC, 所以平面D1AC 平面 BB1C1C. 8. （2009 天津高考）如图，在四棱锥ABCDP中，ABCDPD平面，CDAD，且 DB平分ADC，E为 PC的中点，1CDAD,22DB（）证明BDEPA平面/（）证明PBDAC平面（）求直线BC与平面 PBD所成的角的正切值【解析】（）设HBDAC，连结 EH ，在ADC中，因为 AD=CD ，且 DB平分ADC，所以 H为 AC的中点，又由题设，E为 PC的中点，故PAEH /, 又BD
47、EPABDEHE平面平面, 所以BDEPA平面/（）因为ABCDPD平面，ABCDAC平面，所以ACPD由（）知，ACBD,PDBDD故PBDAC平面( ) 由PBDAC平面可知， BH为 BC在平面 PBD内的射影，所以CBH为直线与平面PBD所成的角。由CDAD,223,22,22,1BHCHDHDBCDAD可得在BHCRt中，31tanBHCHCBH, 所以直线BC与平面 PBD所成的角的正切值为31。9. （2009 海南宁夏高考）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍， P为侧棱 SD上的点。（）求证：ACSD；（）若SD平面 PAC，求二面角P-AC
48、-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得 BE 平面 PAC 。若存在，求SE ：EC的值；若不存在，试说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页【解析】方法一： （）连 BD ，设 AC交 BD于 O ，由题意SOAC。在正方形ABCD中，ACBD，所以ACSBD平面, 得ACSD. ( ) 设正方形边长a，则2SDa。又22ODa，所以060SDO, 连OP，由（）知ACSBD平面, 所以ACOP, 且ACOD, 所以POD是二面角PACD的平面角。由SDPAC平面, 知SDOP, 所以
49、030POD, 即二面角PACD的大小为030。（）在棱SC上存在一点E，使/BEPAC平面。由（）可得24PDa，故可在SP上取一点N,使PNPD, 过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连 BN 。在BDN中知/BNPO，又由于/NEPC, 故平面/BENPAC平面，得/BEPAC平面, 由于21SNNP：, 故21SEEC：. 方法二： （）；连BD, 设AC交于BD于O，由题意知SOABCD平面. 以 O为坐标原点，OBOC OS， ，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz如图。设底面边长为a，则高62SOa。于是62(0,0,),(,0,0)22SaDa2(0,0)2Ca2
50、(0,0)2OCa26(,0,)22SDaa0OC SD故OCSD从而ACSD( ) 由题设知，平面PAC的一个法向量26(,0,)22DSaa，平面DAC的一个法向量6(0,0,)2OSa，设所求二面角为，则3cos2OS DSOS DS,所求二面角的大小为030（）在棱SC上存在一点E使/BEPAC平面. 由（）知DS是平面PAC的一个法向量，且2626,0,),(0,)2222DSaaCSaa（设=,CE tCS则226(,(1),)222BEBCCEBCtCSaatatO E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 2