《2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质(核心考点讲与练)(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质(核心考点讲与练)(含详解).pdf（57页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质(核心考点讲与练)1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点0,并且和这个平面内过交点(0 的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论2.平面与平面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直/7au a、6 u aJb=7 1 Q推 论 1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.1).a=b_L a推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ba _L a-J-q a/b(1)平
2、面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直A a)T =0工 d tj性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面A一，一 、/ua G B=aILa=7 1 aQ方法技巧1 .证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性（a 6,“J _a n b_L a）；面面平行的性质（a _L a,a A=a _L 4）；面面垂直的性质
3、.2 .利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明3 .证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可Q能力拓展题型一：线面垂直的判定一、填空题1.（2 0 2 1 上海浦东新高二期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.2.（2 0 2 1 上海.高二专题练习）若 E,尸分别为四棱柱A 8
4、8-A S C Q 的棱AB,A D 的中点，则加上条件,就可得结论：平面D41G.（写出你认为正确的一个条件）二、解答题3.（2 0 2 1 上海市甘泉外国语中学高二期中）已知正方体ABC。-A/8/G O/.(1)求证：A4/平面 C/B。；(2)求证：A Dt _L平面 AiD C.4.(2021.上海市七宝中学高二期中)如图，在三棱锥P-A B C 中，”为 AC的中点，P A L P C,ABA.BC,AB=BC,PB=6,A C =2,Z P A C =30 .证明:(2)求三棱锥P-A B C的体积.9/1 _ 平 面%(7；5.(2021上海高二专题练习)如图，在棱长为。的正方
5、体A B C O-A B C 2中，E,F,M 分别是棱A 3、3 c 和。R 所在直线上的动点:(1)求/即 厂 的取值范围：(2)若 N 为 面 内 的 一 点，且NE3N=45。，N F B N =。,求N g&V 的余弦值：(3)若E、尸分别是所在正方形棱的中点，试问在棱。上能否找到一点M,使平面EFA?若能,试确定点M 的位置，若不能，请说明理由.题型二：线面垂直证明线线平行3.（2018上海市宝山中学高二期中）。力,。表示直线，a 表示平面，下列命题正确的是A.若 a/b,a l i a,则力/。B.若a，/?,b L a ,则C.若 a_Lc,b,则 D.若 a_ L a,b L
6、 a ,则 a/。二、填空题4.（2021上海华师大二附中高二开学考试）如图，在正方体A B C 0-A 4 C Q 中，”,分 别 为 8,DtD和 A 8的中点，则下列关系:5M 平面A P G；(3)BM 1 C.P；与N_L平面A P G，正确的编号为.题型三：线面垂直证明线线垂直一、单选题1.（2022上海复旦附中高二期中）如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点4、B,A 8与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线P。与直线AB垂直的次数为（）2.（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）已知
7、点P 是 A8C所在平面外一点，且尸到AABC三个顶点的距离相等，则 P 点在平面A8C上的射影是（）A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心三、解答题5.（2021上海市市西中学高二期中）如图，已知平行六面体ABC。一A/B/C/S的底面ABCQ是菱形，且/G C B 证 明:C1CJ.BD；CD（2）当 记 的 值为多少时，能使4 C J平面C/8O?请给出证明.题型四：面面垂直的判定一、单选题1.（2021上海复旦附中高二期中）在三棱锥A-8C D 中，若小 ，8C,A D L B D,那么 必 有（）A.平面AOC_L平面BCD B.平面ABC_L平面BCDC.平面A8_L平面ACD.平
8、面ABD_L平面ABC二、填空题2.（2021上海华师大二附中高二阶段练习）如图所示，四棱锥P-A BCD 的底面ABCD是边长为。的正方形，侧棱PA=a,PB=P D =&，则它的5 个面中，互相垂直的面有3.（2021上海市七宝中学高二阶段练习）已知ABC。是边长为。的正方形，点 P 在平面ABC。外，侧棱PA=a,PB=P D =4 1 a,则该几何体P-ABC。的 5 个面中，互相垂直的面有 对三、解答题4.（2022上海市杨浦高级中学高二期末）如图，三棱锥尸-ABC中，尸两两垂直，PA=PB=PC,且 M,N 分别为线段A8,PC的中点.（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线N
9、 K/平面ABC；/A 求证：平面PCM _L平面ABC.5.（2021上海复旦附中高二期中）如图，已知四棱锥P-A BCD 的底面AfiCD是边长为2 的正方形，PDABCD,PD=.求证：面 R 4fi_L iiP4）；（2）求四棱锥P-A3CZ）的侧面积.题型五：面面垂直证线面垂直一、单选题1.（2021上海市南洋模范中学高二期中）已知点尸是正四棱锥V_A BCD的侧棱上异于点丫的一动点，则点P 在面VBC上的射影落在（）A-VBC的外部 B,VBC的内部C.U B C的一边上 D.以上皆有可能2.（2021.上海市延安中学高二期中）如图所示，在斜三棱柱4 8 C-A 8 C 中，A B
10、 A C =90 ,且 BC AC,过G 作G H,平面A B C,垂足为H,则点H 在（）B.直线A8上C.直 线 上 D.AA B C内部3.（2021.上海市复兴高级中学高二期中）已知a,4 是两个不同的平面，直线/u a,则“/，尸”是“a，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题4.（2 0 2 1.上海市松江二中高二期中）如图，在棱长均为2 石的正四面体A 8 C O 中，M 为AC 中点，E为 A8中点，P 是 DM上的动点，。是平面E CD 上的动点，则AP+PQ的 最 小 值 是.5.（2 0 2 卜上海曹杨二中高二阶段
11、练习）如图，在 三 棱 锥 尸 中，平面P A C，平面A BC,Z PA C=B A C=6 0 ,A C =4 ,A B=3,A P=2.求尸8的长;（2）求点C到平面P A B的距离.题型六：空间垂直的转化一、单选题1.（2 0 2 1.上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知机、为异面直线，a _ 1 _ 平面a,_ L 平面夕.平面a与 外 的 直 线/满 足/，则（）A.ali p ,且/aB.a _ L 尸且C.a与尸相交，且交线垂直于/D.a与P相交，且交线平行于/二、填空题2.（2 0 2 1 上海市七宝中学高二阶段练习）已知A,B,C,D,E为空间不共面的五个点，顺次用线段连
12、接这五个点构成空间五边形，则在此五边形中互相垂直的边最多有多少 对Q巩固提升一、单选题1.（2 0 2 1上海复旦附中高二期中）设加、为两条直线，尸为两个平面，则下列命题中假命题是（）A.若机 _ L，mL a ,n 工 /3 ,则 a _ L/?B.若m Hn,mL a ,n l 1/3,则a_LC.若，_L，m l la,/力，则 a 4D.若m Hn,m X-a,”，尸，则。夕2.（2021上海市复兴高级中学高二期中）如图，点 E 为正方形48。边 8 c 上异于点5、C 的动点，将 ABE沿 AE翻折，得到如图所示的四棱锥B-A E C D,且 平 面 平 面 AEC。，点P 为线段8
13、。上异于点昆。的动点，则在四棱锥B-AECD中，下列说法：直线BE与直线C F必不在同一平面上；存在点E使得直线BE工平面。CE；存在点尸使得直线C F与平面84E 平行；存在点E使得直线仍 与直线8 垂直.D.A.B.C.3.（2021上海市金山中学高二期中）若 a,6 是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A.过直线a 有且仅有一个平面a 与直线方平行B.可能存在平面a 与直线小 6 都垂直C.唯一存在一个平面a 与直线a,分 等距D.过直线a 至多可以作一个平面a 与直线人垂直4.（2021上海市宝山中学高二期中）已 知 直 线 和 平 面 M,N,且那 么（）A.b 1 a =b H
14、M B.N I M na H N C.b H M nb l a D.a u N nM UN5.（2021上海市甘泉外国语中学高二期中）在三棱锥尸-A BC中，顶点P 到 AB、AC和 BC的距离都相等,尸在底面的投影为。且在AABC内，则点。是（）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心6.（2021上海高二专题练习）如图，梯形 ABC。中，A D/BC,A D=A B=,A D1 A B,Z B C D=45,将 AB。沿对角线BD折起，设折起后点A 的位置为4,使二面角1 一BC 为直二面角，给出下面四个命题：A D B C；三棱锥4 BCQ的 体 积 为 也：平面4 8。；平面4B C L
15、 平面4 Q C.其中正确命题的个数是（）DA.1B.2C.3D.4H C7.（2021.上海市宝山中学高二阶段练习）如 图1,已知小BC是直角梯形，AB/PC,A B 1 B C,。在线段PC上,A D L P C.将以。沿AD折起，使平面布。_L平面ABC。，连接P8,P C,设P 8的中点为N,如图2.对于图2,下列选项错误的是（）平面 P48_L平面 P8cB.3C_L平面 PDCB A B图2C.P D L A CD.P B=2 A N二、填空题8.（2021 上海市松江二中高二期中）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱 的 条件（填“充分不必要”、”必要不充分”、“充要”、
16、”不充分不必要”）9.（2021上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设/,，,均为直线，其中以”在平面白内，/L a”是且/，”的 条件.10.（2021上海交大附中闵行分校高二阶段练习）已知AH _LR tE F所在的平面，且H EL EF,连接AE,A尸，则图中直角三角形的个数是.11.（2021.上海.华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在长方体ABC。-A耳 。中,4A=cm,AB=2cm,BC=3cm,则 4 c 为12.（2021上海高二专题练习）一条长为。的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45和3（）,由这条线段的两个端点向两个平面的交线引垂线,则 垂
17、足 间 的 距 离 为.1 3.（2 0 2 1上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”，如图在堑堵ABC-ABC中，ACLBC,且M=A8=2.有下列命题:四棱锥8-AACG为“阳马”；四面体AGC8为“鳖席”四 棱 锥AACG体积最大为三4；过A点分别作AELAB于 点E,4/，4。于点尸，则E F L A f.则正确命题是.1 4.（2 0 2 1.上海市洋泾中学高二期中）如图，已知四棱锥P-A B C D,底面A B C D为正方
18、形，附，平面A B C D.给出下列命题：P B Y A C-,平 面B 4 B与平面PCO的交线与A B平行；平 面 尸8。，平 面B I C：APCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是1 5.（2 0 2 1上海市延安中学高二期中）如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，B A/与E O是异面直线；CN与B E平行；CN与8M成6 0。角；。0与BN垂直.请写出所有正确结论的序号1 6.（2 0 2 1上海市松江二中高二期中）在正方体4BC0-ABCA中，A B =6,点 P在平面A8Q内，=3 叵,则点P到BC,距离的最大值为.1 7.(2 0 2 1.上海市松江二中高二期中)如
19、图，在三棱锥P-ABC中，能证明A P _ L 8 c 的条件是AP_L依，APVPC-,”_ L 叫 BCA.PB-,平面3 C P，平面P A C,BC1PC；P B=P C,AB=AC.三、解答题1 8.(2 0 2 1 上海复旦附中高二期中)已知四棱柱ABCD-A4GA中，AG c。4=K,ACcOB=尸,(1)判断A4与可尸是否平行？说明理由.(2)若面A A C G l A B C D,面 口。8片，面 A B C。，且面c面 AA C Q =尸耳，判断尸尸与面A 3。是否垂直？说明理由.1 9.(2 0 2 1 上海市金山中学高二期末)圆锥的顶点为P,底面圆心为。，线段A3是圆。
20、的直径，点C是圆。上异于A、B的点，P。垂直于圆。所在的平面，且 0 3 =1,OP=B(1)若。为线段AC中点，求证：A C,平面尸 。；(2)求圆锥的侧面积，并求三棱锥P-A B C 体积的最大值；(3)当三棱锥P-A B C 体积最大时，点C沿圆锥表面运动到母线P B 中点C 1,求该点经过的路线的最小值.2 0.(2 0 2 1上海华东师范大学第三附属中学高二阶段练习)如图1,矩形A B C。，AB=,B C =2,点E为AO的中点，将/MBE沿直线B E 折起至平面P8E J _ 平面8 C D E (如图2),点在线段P O上，PB 平面(1)求证：M P =2 D M ；(2)求
21、证：平面平面PEC；(3)若在棱PB,PE分别取中点尸，G,试判断点与平面CFG的关系，并说明理由.21.(2021上海奉贤区致远高级中学高二期中)如图，在四棱锥P-A 3 c o 中，P A n A B C D,底部ABC。为菱形，E 为 CD的中点.P/i (1 )求证：平面刑C；B(：(II)若/ABC=60。，求证：平 面 以 平 面 以 E；(III)棱 PB上是否存在点F,使得C尸平面以E?说明理由.22.(2022.上海格致中学高二期末)在四面体ABCO中，CB=CD中点，求证：(I)直线E F|面AC。；A D Y B D,且 E,尸分别是AB,8。的23.(2022上海市控江
22、中学高二期末)如图，在四棱锥P-A B CD 中，四边形43CZ)为正方形，己知叨_ 1_平面 A 8 C D,且 P=4),E 为 PC 中点.证明：2 4/平面BDE；(2)证明：平面PCDJ_平面P8C.24.(2021上海市奉贤中学高二阶段练习)已知正方体A 8 C D-4 8 C Q的棱长为。，及厂分别为棱G R、的中点,(1)作出该正方体过点瓦尸且和直线B Q垂直的截面，并证明该截面和直线BD、垂直;(2)求出 EFP绕直线EF旋转而成的几何体体积的最小值;(3)若动点M在直线E尸上运动，动点N在平面BCG耳上运动，求/W +PN的最小值.第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质(
23、核心考点讲与练)Q考点考向1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点。，并 且 和 这 个 平 面 内 过 交 点 的 域 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论2.平面与平面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直/7au a、u aaG b=0 ILa1AJ)=/_L a推 论 1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.ba/b a)=b_L a推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a_L a6J_ 4卜a/
24、6(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂Il.Ahj7 gJ=a L P性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面Aa G B=a1.La,Q方法技巧1 .证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性3 4alalia）；面面平行的性质（a _ L a,a 夕=。_ 1 _ 夕）；面面垂直的性质.2 .利用判定定理证
25、明平面与平面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明3 .证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可Q能力拓展题型一：线面垂直的判定一、填空题1.（2 0 2 1.上海浦东新高二期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.【答案】两条相交【分析】根据直线与平面垂直的判定定理得解；【详解】解：直线与平面垂直的判定定
26、理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.故答案为：两条相交2.（2 0 2 1上海高二专题练习）若 E,尸分别为四棱柱ABCC-ABCQI的棱A 8,AD的中点，则加上条件,就可得结论：E F _ L 平面.（写出你认为正确的一个条件）【答案】底面是菱形且3G，底面【分析】根据题意，先得到一个满足题意的条件，再山线面垂直的判定定理证明即可.【详解】只需加上条件：底面是菱形且。G，底面，证明如下：因为底面是菱形，连接AC,8 0,则 8OJ.AC,在四棱柱中，AG，A C ,则 B O A G，又E，F 分别为棱43,A。的中点，所以E F V B D,所以E尸
27、，A ；因为 G_L底面，所以力G_LEF,因为 o q u 平面 DA,C,AC U 平面 DA,C,DC,n 4G=G,所 以 所 _L平面DAG.故答案为：底面是菱形且OG_L底面.定理即可，属于常考题型.【点睛】本题主要考查补全线面垂直的条件，熟记线面垂宜的判定二、解答题3.(2021.上海市甘泉外国语中学高二期中)已知正方体ABCD-A/B/G。/.A Dt/平面 Ci BD；(2)求证：人。，平面4。仁【分析】(1)推导出四边形G A A 8是平行四边形，从而A Q/G 8,由此能证明A Q/平面G8。；(2)推导出CZ)_L平面A 4Q A，C D 1 A D,由此能证明A。，平
28、面A。.（1）.正方体48C D-A q G A.，G ZV M,4,GR=A 4,又 A8AB1,A B=AlBl,:.C,DJ!A B,CQ=AB,，四边形GQAB是平行四边形，AD./C.B,C 1 8 u 平面 G BD,A D,z 平面 G BD,ADt 平面(2)，.,正方体.:.D LA DX,CD_L平面 AAOR,Q A A u 平面 A ADDCD AD,又AOnCD=D,.4。，平面4。（7.4.(2021上海市七宝中学高二期中)如图，在三棱锥P-ABC中，”为AC的中点，PAL PC,ABA.BC,AB=BC,PB=O,AC=2,ZE4C=30.(1)证明:J_ 平面
29、PAC；(2)求三棱锥P-ABC的体积.【答案】(1)证明见详解(2)巫6【分析】(1)由等腰三角形、直角三角形的性质，根 据 线 面 垂 直 的 判 定 证 明 平 面%C；(2)由于8W L平面P A C,故匕18c 计算即得解(I)证明：ABLBC,AH=BC,AABC为等腰直角三角形，又M为AC的中点，AC=2,：.M B=A C=,且 BM_LAC,又；R4_LPC,NB4C=30,.MP=gAC=l,PC=1,PA=石 综 上有：M B=M P=,又 P B=&,即 知尸+“中二 产,:.MPLMB,X ACHMP=M,AC,MPu 平面 B4C.8加_1_平面 PA C.由(1)
30、8加，平面2 故 AKC=BM S p.r=-B M-P A PC=-xlxlxy/3 =sc 3 3 2 6 6故三棱锥P-A B C的体 积 更65.(2021上海高二专题练习)如图，在棱长为a的正方体A B C Q-A 4 G Q中，E,F,分别是棱A 3、BC和 所 在 直 线 上 的 动 点:(1)求N E B/的取值范围:(2)若N为面E B/内的一点，且N E B N =4 5。,Z F B N =6 0,求NB|BN的余弦值:(3)若E、尸分别是所在正方形棱的中点，试 问 在 棱 上 能 否 找 到 一 点M,使平面EF4?若能,试确定点M的位置，若不能，请说明理由.【答案】(
31、1)(，(2)g；(3)点用为R O的中点，理由见解析【分析】(D设BE=x,BF=y,求出闿匹用尸工尸，利用余弦定理求解cosN E B/,然后求出NEB尸的取值范围.(2)设N在8瓦8尸,8 4，三边上的投影分别是昂 耳，G，转化求出N B/N,即可得到它的余弦值.(3)设E/与8。的交点为G,连接B Q,说明 F J.平面8 8 Q Q,过8作8 K _ L 8 Q/K,延 长 后 交 所在的直线于点M,则平面8出尸.通过AgBG A B O M,求解即可.【详解】解：(1)设BE=x,BF=y,则 BE=yj c+x2,B、F=ya2+y2,EF=yx2+y2,所以 cos Z EBj
32、F=B、E?+BF?-EF?2 B、EB F24 F,结合旋转分析可知有两次使得PQAB.故选：A（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）已知点P是AABC所在平面外一点，且P到ABC三个顶点的距离相等，则P点在平面ABC上的射影是 ABC的（）A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心【答案】D【分析】如图P是AABC所在平面外一点，。是P点在平面4上的射影.若P到AABC二个顶点的距离相等,由三角形全等可以得到三线段Q4=OC,则O是A ABC的外心.【详解】解：如图P是AABC所在平面外一点，。是P点在平面。上的射影.若产到AABC三个顶点的距离相等，即 弘=PB=P C,又PO_L
33、平面M C,O4,OB,OCu平面A B C,所以PO1OA,PO1OB、P O V O C,所以 Rt APOC 三 Rf APOB 三 Rt APOA,即。4=O8=O C,由三角形外心的定义知此时点。是A4?C的外心，故选：D；三、解答题5.(2021上海市市西中学高二期中)如图，已知平行六面体ABC。一A/8/GO/的底面A8CZ)是菱形，且NC/C2=Z ClCD=ZBCD=60 B,/N，/证明：C/CL8。C D(2)当黑的值为多少时，能使A C 平 面 C/B。?请给出证明.CD【答案】(1)证明见解析(2)&r=l,证明见解析【分析】(I)连结AC和B D 交于O,根据题意可
34、得C/OA-BD,利用线面垂直的判定定理可得3 0,平面A4/GC,结合线面垂直的性质即可得出结果；CD 当 记 =1 时，能使4C_L平面C/BD 利用线面垂直的判定定理证明即可.(1)连结AC和 8。交于O,.四边形 A8C。是菱形，：.ACHD,BC=CD.又,：/B C C 尸 NDCCi,CIC=CIC,.,.C/BCAGDC,:C B=C Q,：D O=O B,：.CiOBD.又GOnAC=。，G。、A C u 平面AA/C/C,A B D I 平面 AAICiC,C u 平面 AAIC/C,：.CiCLBD.CD(2)当 记 =1 时，能使4 c L 平面C/8D证明：由(1)知
35、，平面A4/C/C,：A/Cu平面 A4/C/C,J.BDLAiC,CD当k=1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可得 8C/_LA/C,又 BZTlBC/=8,平面 CiBD.题型四：面面垂直的判定一、单选题1.（2021上海复旦附中高二期中）在三棱锥A-BCD中，若A D A.B D,那么必有（）A.平面ADC_L平面BCD B.平面ABC_L平面BCC.平面ABD_L平面4DCD.平面A3D_L平面48c【答案】A【解析】由已知条件推导出AD_L平面5 8,结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；利用面面垂直的性质定理可判断BCD选项的正误.【详解】VA D V B C,A D
36、 1 B D，月.3（7门8。=8,;.m _L平面BCD.对于A选项，Q 4）u平面A D C,所以，平面ADCL平面BCO.A选项正确；对 于B选项，若平面A8CJL平面8C。，过点A在平面A8C内作A_LBC,如下图所示：由于平面ABC，平面B C D,平面ABCn平面BC=BC,AE LBC,A Eu平面ABC,平面 BCD,又r4）_L平面8 c O,过点A作平面8 c o的宜线有且只有一条，假设不成立，B选项错误；对于C选项，若平面A8DJL平面AOC,平面A8c平面AOC=仞，A D 1,B D，3=平面4笫，二比）_1平面ADC,.COu平面A O C,则B D L C D,而
37、8）与CO是否垂直未知，C选项错误;对于D选项，过点。在平面ABD内作垂足为点F,若平面A3D_L平面ABC,平面A 8/)c平面A8C=AB,DFA,AB,D F u 平j ABD,所以，。/7_L平面ABC,.8（7-，VB C 1 A D,D F c A D =D,，BCJ-平面ABD,Q8）u平面ABD,.BC_L8O,但BC与3。是否垂直未知，D选项错误.故选：A.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.二、填空题2.（202
38、1上海华师大二附中高二阶段练习）如图所示，四棱锥P-ABCO的底面A3CD是边长为 的正方形，侧棱PA=a,PB=PD =41a，则它的5个面中，互相垂直的面有 对.【详解】由勾股定理逆定理得以，4），B4L48,.出，面ABCQ,P A L C D,抄1 J_C8由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论.平 面 以 平 面%Q,平面依BJL平面48C D,平面%8_L平面P B C,平 面 小)1.平面A B C D,平面/次。J_平面PCD.答案：5.3.(2021上海市七宝中学高二阶段练 习)已 知ABCD是边长为。的正方形，点P在平面ABC。外，侧棱PA=a,PB=
39、P D =2a,则该几何体P-ABC。的5个面中，互相垂直的面有 对【答案】5【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列出互相垂直的平面即可【详解】因为A8CD是边长为。的正方形，PA=a,PB=PD =-Jia)所以 PA2+A D2=P D2,PA2+AB2=PB2,所以 NP4Q=NR43=90。，所以 PA JL A,PA _L AB.因为A B c 4)=A,所以2 4,平面4 3 a),因为P A u平面平面尸AZ ，所以平面尸AB 平面 C O,平面PAD_L平面ABC。，因为 ABI 平面 A B C),平面PA)n平面 A3CZ)=AO,所以A5_L平面PAD，因 为 平 面B
40、 4 B,所以平面平面尸4),同理可得BC_L平面E 1 8,则平面R4B_L平面PBC,平面尸A ),则平面R4 _L平面PCO,所以互相垂直的面有5对，故答案为：54.(2022上海市杨浦高级中学高二期末)如图，三棱锥P-A 8 C中，P4,P3,PC两两垂直，PA=PB=PC,且M，N分别为线段AB,PC的中点.(1)若点K 是线段PM 的中点，求证：直线N K/平面ABC；A 求证：平面PCM _L平面ABC.【分析】(1)由题意可得N K C M,从而可证.由题意可得尸CJL平面R4S,从而可得PCJ_ A 8,由根据条件可得4?_LPM,从而可得AB JL平面PCM,从而可得证.(
41、I)由M，N 分别为线段4氏PC的中点.由中位线定理知NK/CM,又C M u 平面ABC,旦N K2 平面A B C,所以直线N K/平面45c(2)PAP8,PC两两垂直，即尸0 1 只 尸 3尸,且成门”=产所以。，平面幺3,又4 5 i 平面上43，所以PCJ_4?由R4=P 8,且分别为线段A 8的中点，所以/W_LPM，加 ,再 由 叨 _L平面ABCD,得到AB_LPD,证得ABJ_平面P A D,进而证得平面PABJL平面PAO.(2)由 P)J_ 面 A8C,得到 P _LAZ),POJ_QC,求得=S=1，再由 Afi J平面 PAD 和 8 c L 平面P C D,求得5
42、/沙=5/8c=6,进而求得四棱锥尸-4 3 8 的侧面积.(1)证明：由四棱锥P-AfiC 的底面48C。为正方形，所以4 3 L 4),又由P _L平面A B C D,且 A B i平面A B C D,所以钻 _ 1_7),因为ADI PD=)且 AZ XPOu平面小 ),所以A S,平面PAO,又因为A3 i 平 面 所 以 平 面 P4B_L平面P4O.(2)由四棱锥P-M C D 的 底 面 是 功 长 为 2 的正方形，且 PE =1,因为面ABC。，可得所以 S.PAD=S,p0c=x2xl=l,又由ABJ_平面PA D,可得43_LR1,且 引=而 百 而、石，同理可得：BCJ
43、平面PC,可得BC_LPC,且 PC=J o c/p?=石，所以 SPAB=S P B C=-x2x-/5=A/5,所以四棱锥PABCD的侧面积为5=S.9 +S弁1 K+SAPAB+Sj pc=2+2百.题型五：面面垂直证线面垂直一、单选题1.(2021上海市南洋模范中学高二期中)已知点尸是正四棱锥的侧棱0 1上异于点V 的一动点，则点尸在面VBC上的射影落在()A.VBC的外部 B.VBC的内部C.KBC的一边上 D.以上皆有可能【答案】A【分析】把正四棱锥放在正四棱柱中，通过作出垂线，找出射影，即可判断选项.【详解】解：把正四棱锥放在正四楂柱中，V 是上底面的中心，如图，连接4再 H G
44、 A 的中点 所,由图可知，过A 作 A4，_L E B,连接A V,因为平面E FCB _ 1 _ 平面 A ABB,所以A 4 L 平面瓦C 8,因为A 4 u 平面必M,所以平面VAA 平面EFCB所以点尸在面VBC上的射影落在A V 上，即在VBC外部，故选：A.2.（2021上海市延安中学高二期中）如图所示，在斜三棱柱A8C-AB。中，Z B A C =90,且BCA C,过 G 作 G“，平面ABC，垂足为“，则点，在（)【答案】B直线4 c 上 B.直线AB上C.直线5 c 上 D.A4 3 C 内部【分析】先通过线线垂宜证明A C,而 A8C一 进而可得面A 8C L面A B
45、C-由面面垂宜的性质定理可得要过G 作G”,平面A B C,只需过G 作G即可，则答案可求.【详解】连接AC-BQ 八 AC,B A L A C,且 8G l BA=B,.AC_L 面 A B C-又 ACu 面 ABC，面 A B C _L 面 ABC1,.面 A8Cn 面 ABG=A8,要过G作C#1平面AB C,则 只 需 过 作a”，A8即可,故点H在直线AB上故选：B.3.（2021.上海市复兴高级中学高二期中）已知a,夕是两个不同的平面,直线/u a,则是“C/?”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由面面垂宜的判定
46、定理及面面垂宜的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若/u a,则7,4”则a，#成立，满足充分性；反之，若aL/3 u a,则/与夕的位置关系不确定，即不满足必要性；所以是“a_L尸”的充分不必要条件，故选：A.二、填空题4.（2021上海市松江二中高二期中）如图，在棱长均为2 6的正四面体A8CD中，M为AC中点，E 为A B中点，P是。M上的动点，。是平面E 8上的动点，则AF+P。的 最 小 值 是.【分析】根据面面垂直的判定定理得出平面ABCL平面C D E,过 时 作MG_LCE,再由面面垂直的性质得出MG_L平面C D E,进而找出ZW在平面
47、CDE上的射影，再 把 平 面 展 开，得到平面AD”，从而将AP+PQ的最小值转化为A到。G的距离，进而利用两角和与差的正弦公式和直角三角形的性质，求解三角形的边和角，即可求出A Q,从而求得AP+PQ的最小值.【详解】解：山题可知，棱长均为2 6的正四面体43C 3中，则AABC和 A 3。是边长为26的等边三角形，M 为 AC中点，E 为 A 3 中点，则 CE_LAB,DE_LAB,且 CEn“E=E,CE,DEu平面CDE,故 AB_L平面C D E,而A 8 i平面A B C,故平面ABC_L平面C E,而平面ABCn平面CDE=CE,过 加 作 MG_LCE,则MGJ _平面CO
48、E,连接D G，则D G为D M在平面C D E上的射影，要使AP+PQ最小，则PQLDG,沿 ZW 把平面4 W 展开，得到平面A D W,使得平面A D M 与平面DMG电合，此时A,P,Q三点共线，且 A Q，OG,则 AP+P Q的最小值为N 到D G的距离，即为A Q,由于 MG=；A E =-y-，D M=J(29-(G)=3,BL 国则./A/八 二 M G 2 v 3 ,c o s ZM D G =,si n N M D G =6MD 3 6又因为N W D W=3 0 ,则 si n ZAD G =si n(N M D G+3 0 )./A/f nr,八。,八me.公 八 G
49、 4 ,/3 3 1 3 +/=si n Z.MDG-c o s 3 0 +c o s ZM D G-si n 3 0 =x +-x=-，6 2 6 2 1 2又 A!D=2G，则 在 皿3中，A0=2员厘=守所以A P+P Q的最小值是+而.2故答案为：员 而.【点睛】本题考查空间线段之和的最值，涉及空间中的点、线、面间位置关系和线面、面面垂直的判定和性质，以及空间点到线的距离、直角三角形边角的计算、两角和与差的正弦公式的应用,考查空间推理和计算能力，体现数形结合的思想.三、解答题5.(2 0 2 1上海曹杨二中高二阶段练习)如图，在三棱锥尸-M C 中，平面P A C，平面A BC,Z P
50、A C=Z B A C=6 0 ,A C =4 ,A B=3,A P=2.求 P B 的长;(2)求点C到平面P A B的距离.【答案】(1)加(2)考 5【分析】(1)构造以网为斜边的直角三角形，利用勾股定理计算出尸 氏(2)利用等体积法求得点C到平面 的 的 距离.(1)过 P作 阳 _ L A C,垂足为O,连接BD由于平面尸A C J 平面A8C,且交线为A C,所以P _ L 平面ABC,所以P D J L B D在三角形P 4 C 中，由余弦定理得PC=V 4 +1 6-2X2X4X C O S6 0 =2G,E+PC=AC?,所以三角形P A C 是直角角形.P Z)=P A-s