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1、学而思培优 受益一生的能力 金陵中学金陵中学 2021-2022 学年第一学期学年第一学期期中考试期中考试 高一高一数学试卷数学试卷 一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，共 40 分分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合|24xMx=，1,0,1N = ，则MN =（ ） A.(), +B.()0,1C.MD.N【答案】C； 【解析】因为(),2M = ，所以MNM=，故选 C 2.函数( )()0132f xxx=+的定义域是（ ） A.)2,+B.()()2,33,+C.()2,+D.
2、)3,+【答案】B； 【解析】依题意可得定义域为()()2,33,+故选 B 3.设函数( )241,0log,0 xxf xxx=，则( )()1ff等于（） A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A； 【解析】( )()( )100fff=，故选 A4.若正实数, a b满足lglg1ab+=，则25ab+的最小值为（） A.2B.2 2C. 102D. 2【答案】D； 【解析】依题可得10ab = 所以21022abab+=，当且仅当25ab=时即2,5ab=时取等，故选 D学而思培优 受益一生的能力 5. 函数( )221e1exxf xx+=（其中e是自然对数的底数）的大致图象为（
3、 ） A. xyO B. xyO C. xyO D. xyO 【答案】A； 【解析】依题可得()( )fxf x=，为偶函数， 又因为0 x 时，( )0f x ，故选 A 6. 已知函数( )yf x=是定义在R上的偶函数，当0 x 时，( )e2xf xx=+，则()ln2f =（ ） A. 12ln22 B. 12ln22+ C. 22ln2 D. 22ln2+ 【答案】D； 【解析】()()ln2ln222ln2ff=+，故选 D 7. 已知150.3a =，13310b=，153c =，则, ,a b c的大小关系式（ ） A. bac B. acb C. cab D. cba 【答
4、案】C； 【解析】依题可得1c ，10ab， 故选 C 8. 已知函数( )3221xf xx=+，且( )( )20f af b+，则（ ） A. 0ab+ B. 0ab+ C. 10ab+ D. 20ab+ 【答案】A； 【解析】记( )( )312121xxg xf xx=+ =+，()( )gxg x= 所以( )g x为奇函数，所以不等式可化为( )( )0g ag b+ 学而思培优 受益一生的能力 即( )()g agb 又因为( )g x单调递增， 所以不等式可化为ab ，即0ab+ 故选 A 二二、多项选择题： （多项选择题： （本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题 5
5、 分分，共，共 15 分分在在每小题给出的选项中，有每小题给出的选项中，有多项多项符合题目要符合题目要求，全部选对得求，全部选对得 5 分分，选对但不全的得，选对但不全的得 3 分分，有选错的得，有选错的得 0 分）分） 9. 设, ,a b c都是正数，且469abc=（ ） A. 2abbcac+= B. abbcac+= C. 221cab=+ D. 121cba= 【答案】AD； 【解析】记469abck=，469log,log,logak bk ck= 故666694logloglog 4log 92loglogkkbbcakk+=+=+=， 左右两侧乘以ac可得2abbcac+=
6、左右两侧除以b可得，121cba=，故选 AD 10. 下列函数中最大值为 1 的是（ ） A. 2214yxx=+ B. 221,0,1yxxx= C. ()22e,0,e1xxyx=+ D. ()1,33yxxx=+ 【答案】BD； 【解析】A 选项，221214yxx=，所以最大值不为 1， B 选项，()2241yxx=，212x =时有最大值 1， C 选项，211eexxy =+，当且仅当0 x =时取等，故无最大值 D 选项，113333133yxxxx=+= +，当且仅当2x =时取等，故选 BD 学而思培优 受益一生的能力 11. 下列说法正确的是（ ） A. “MN=”是“
7、lnlnMN=”的充要条件 B. 函数1010 xxy=既是奇函数又在定义域内单调递增 C. 若函数( )f xx=，则对于任意的)12,0,x x +有( )()121222f xf xxxf+ D. 若01ab，则abbaa ba b 【答案】BCD； 【解析】A 选项，应为必要不充分条件； B 选项，()( )fxf x= ，且函数单调递增，故 B 正确； C 选项，原不等式可化为121222xxxx+，即112212242xx xxxx+，即12122 x xxx+，故正确； D 选项，原不等式可化为abaabb，因为01ab，所以01ab，所以abaabb，故正确，故选 BCD 12
8、. 已知函数( )1xf xx=+，则（ ） A. ( )yf x=为偶函数 B. ( )f x的值域为()1,1 C. 方程( )20f xx+=只有一个实根 D. 对12,x xR，12xx，有( )()12120f xf xxx 【答案】BD； 【解析】A 选项，()( )fxf x= ，错误； B 选项，0 x 时，( )1111xf xxx=+，值域为(1,0，所以( )f x的值域为()1,1，正确； C 选项，( )211f xxx xx+=+，5115,0,22均为方程的根，错误； D 选项，0 x 时，( )1111xf xxx=+，单调递减，故函数单调递减，正确，故选 BD
9、 三三、填空、填空题题：本大题：本大题共共 5 小题小题，每，每小小题题 5 分分，共共 25 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 命题“2,0 xxx +R”的否定是 学而思培优 受益一生的能力 【答案】2,0 xxx +R； 【解析】命题“2,0 xxx +R”的否定是2,0 xxx +R 14. 已知幂函数( )()21mf xmmx=的图象关于y轴对称，则实数m的值是 【答案】2； 【解析】依题可得211mm =，解得2m =或1m = ，根据函数图象关于y轴对称可得2m = 15. 函数22xya+=（0a 且1a ）的图象恒过定点P
10、，若(),|10,0Px ymxnymn+ =，则12mn+的最小值 【答案】8； 【解析】依题可得()2, 1P ， 因为(),|10,0Px ymxnymn+ = 所以21mn+= 所以()121228mnmnmn+=+，当且仅当2nm=时去等 16. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 2020 年为 3000 万吨，2021 年增长率约为50%有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过 30000 万吨 （参考数据：lg20.3010,lg30.4771） 【答案】2026； 【解析】第n年包装垃圾为3000 1.5n 令3
11、000 1.530000n，解得1.511log105.68lg3lg20.1761n = 所以从 2026 年开始 三、解答三、解答题题：本大题：本大题共共 6 小题小题，共，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分） 计算：2552lg4lglog 5 log 48+； ()()04130.753370.0642168 + 【答案】 3； 2716； 学而思培优 受益一生的能力 【解析】 原式5lg16lg238=+=； 原式511271216816= += 18. （本小题满分 12 分） 已知函数( )331f xx
12、x=： 判断函数( )f x奇偶性并证明； 写出函数( )f x的单调区间； 利用函数( )f x的单调性求不等式()10fx的解集 【答案】 奇函数； 单调递增区间为(),0和()0,+，无单调递减区间； ()(),01,2 【解析】 函数定义域为()(),00,+，关于 0 对称 ()( )331fxxf xx= += ，为奇函数； 单调递增区间为(),0和()0,+，无单调递减区间； 令( )0f x =，解得1x = 又因为函数在(),0和()0,+上单调递增， 所以()10fx可化为110 x 或11x 所以解集为()(),01,2 19. （本小题满分 12 分） 已知非空集合()
13、()2|0Axxaxa=，集合2|11xBxx= 当实数a为何值时， “xA”是“xB”的充要条件； 若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围 【答案】 1a = ； 11a 【解析】 由题意可得()1,1B = ，AB=； 所以211aa= 解得1a = ； 学而思培优 受益一生的能力 依题意可得()1,1A A = 2aa=，解得0a =或1a =； A ，即0a 且1a 21,1a a ，解得11a 且0a 综上11a 20. （本小题满分 12 分） 2021 年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、 “拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得
14、到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松在日常防护中，医用防护用品必不可少，某厂家生产的医用防护用品需从甲地运送到相距 500km以外的疫情区乙地，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不得超过100km/h一直货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/hv的平方成正比，比例系数为 0.01；固定部分为a元（0a ） 把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶 【答案】 ()25005000.015a
15、yvavvv=+=+，定义域为(0,100；0100a时，速度为10va=时最小；100a 时，速度为100km/h时最小 【解析】 依题可得()25005000.015ayvavvv=+=+（0100v） ； 5002 5100ayvav= 当且仅当10va=时去等 所以10100a 即0100a时 速度为10va=时最小； 10100a 即100a 时 速度为100km/h时最小 21. （本小题满分 12 分） 学而思培优 受益一生的能力 设函数( )()21xxatf xa=（0a 且1a ）是定义域为R的奇函数. 求t的值； 若1a ，判断函数( )f x的单调性并用函数单调性的定义
16、证明； 若函数( )f x的图像过点31,2，求函数( )( )22xxg xaamf x=+（其中mR）在21,log 3上的最大值( )h m 【答案】 2t =； 单调增； ( )82825,93617325,426mmh mmm=； 【解析】 由( )()00100atfa=，解得2t =， 此时( )21xxaf xa=，()( )2211xxxxaafxf xaa= ，故函数为奇函数； 由题意可知，( )1xxf xaa=，设12xx， 则有()( )()()211221211221111xxxxxxxxxxaaa af xf xaaaaa a+=， 故( )f x为R上增函数；
17、代入31,2，解得2a =，( )()222222xxxxg xm=+，21,log 3x， 令3 822,2 3xxn=，则有( )( )22g xp nnmn=+， 对称轴02mn =，区间中点12512n =，则有： 当256m 时，01nn，( )8828393mh mp=， 当256m 时，01nn，( )3173242mh mp=， 故( )82825,93617325,426mmh mmm= 22. （本小题满分 12 分） 学而思培优 受益一生的能力 若函数( )yf x=的自变量的取值区间为, a b时，函数值的取值区间恰为2 2,b a，就称区间, a b为( )yf x=
18、的一个“和谐区间” ，已知函数( )g x是定义在R上的奇函数，当()0,x+时，( )3g xx= +. 求( )g x的解析式； 求函数( )g x在()0,+内的“和谐区间” ； 若以函数( )g x在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数( )yh x=的图像，是否存在实数m，使集合()( )()2,x y yh xx y yxm=+恰含有 2 个元素，若存在，求出实数m的取值集合，若不存在，请说明理由 【答案】 ( )3,00,03,0 xxg xxxx = +； 1,2； 3； 【解析】 由题意可知，0 x =时( )0g x =，0 x 时( )()()33g xgxxx= =
19、 += ， 故( )3,00,03,0 xxg xxxx = +； 由题意可知，( )g x在()0,+单调递减， 若有和谐区间，则有( )( )2323g aaag bbb= += +=， 解方程23xx=，解得1x =或2x =，即有和谐区间1,2，区间值域刚好为1,2； 同理，可知还有一个和谐区间2, 1，则有( )3, 213,12xxh xxx = +， 令( )2p xxm=+，可知若( )p x与( )h x恰有两个交点，则必在2, 1内有交点， 即23xmx+= 在2, 1内有解，解得5, 3m ，且只有一解， 则另一交点必在1,2内，即23xmx+= +在1,2内有解，解得3,1m ， 故存在3m = ，使题设条件成立