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1、学而思培优 受益一生的能力 南京一中南京一中 2021-2022 学年第一学期学年第一学期期中考试期中考试试卷试卷 高一高一数学数学 一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，共 40 分分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 全称命题“2,230 xxx +R”的否定是（ ） A. 2,230 xxx +RB. 2,230 xxx +RC. 2,230 xxx +RD. 2,230 xxx +R【答案】D； 【解析】命题“2,230 xxx +R”的否定是2,230 xxx +R，故选 D2.已知幂函数
2、( )yf x=的图象过点()3, 3，则()81f=（） A. 3B. 13C. 9D. 19【答案】C； 【解析】依题意可得( )12f xx=所以()819f=故选 C 3.函数( )31xf xx+=的定义域为（ ） A.|3x x B.|3x x C.|31x xx 且D.|31x xx 且【答案】C； 【解析】依题可得3010 xx+ ，所以定义域为|31x xx 且，故选 C4.下列各组函数不是同一组函数的是（） A.( )( )1,0,1,0 xxf xg xxx=B.( )( )22 ,4f xx g xx=C.( )( )2221,21f xxg tt=+=+D.( )(
3、)33,f xx g xx=【答案】B； 【解析】B 选项两函数对应法则不同，故选 B 学而思培优 受益一生的能力 5. 我国著名的数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的图象来琢磨函数的图象的特征则函数( )21xf xx=的图象大致为（ ） A. xyO B. xyO C. xyO D. xyO 【答案】D； 【解析】依题可得()( )fxf x=，为偶函数，又因为0 x 时( )1f xxx=，函数单调递增，故选 D 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若ab，cd，则acbd
4、B. 若22abcc，则ab C. 若acbc，则ab D. ab，cd，则acbd 【答案】B； 【解析】A 选项没考虑正负情况，C 选项没考虑0c ，D 选项差值大小不确定，故选 B 7. 航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（. .K ETsiolkovsky）于 1903 年给出火箭最大速度的计算公式00ln 1MvVm=+其中，0V是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，0m是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度已知02km / sV =，则当火箭的最大速度v可达到10km / s时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍 A. 5e B
5、. 5e1 C. 6e D. 6e1 【答案】A； 【解析】依题可得50e1Mm=， 所以火箭的总质量（含燃料）是火箭（除去燃料）的质量的50001eMmMmm+= +=倍，故选 A 学而思培优 受益一生的能力 8. 已知函数( )()2,f xxaxb a b=+R的值域为)0,+，若关于x的不等式( )f xc的解集为(),2 3m m+，则实数c的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 12 【答案】A； 【解析】依题可得( )()23f xxm=，所以( )3cf m= 故选 A 二二、多项选择题： （多项选择题： （本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，
6、共 15 分分在在每小题给出的选项中，有每小题给出的选项中，有多项多项符合题目要符合题目要求，全部选对得求，全部选对得 5 分分，选对但不全的得，选对但不全的得 3 分分，有选错的得，有选错的得 0 分）分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若定义在R上的函数( )f x满足( )( )32ff，则函数( )f x是R上的增函数 B. 若定义在R上的函数( )f x满足( )( )32ff，则函数( )f x是R上不是减函数 C. 若定义在R上的函数( )f x在(,0上是增函数，在区间)0,+上也是增函数，则函数( )f x在R上是增函数 D. 若定义在R上的函数( )f x在(,0上是
7、增函数，在区间()0,+上也是增函数，则函数( )f x在R上是增函数 【答案】BC； 【解析】AD 选项，函数不一定单调增，故选 BC 10. 若函数同时满足：对于定义域内的任意x，有( )()0f xfx+=；对于定义域内的任意12,x x，当12xx时，有( )()12120f xf xxx，则称函数( )f x为“理想函数” 给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. ( )2f xx= B. ( )3f xx= C. ( )1f xxx= D. ( )22,0,0 xxf xxx= 【答案】BD； 【解析】依题可得“理想函数”为单调递减的奇函数，A 为偶函数，C 在()0,+上增
8、，故选 BD 11. 下列函数中最小值为 2 的是（ ） A. 1yxx=+ B. 1yxx=+ C. 22133yxx=+ D. ()422yxxx=+ + 学而思培优 受益一生的能力 【答案】BD； 【解析】A 选项，无最小值；C 选项，最小值为4 33，0 x =时取得，故选 BD 12. 已知关于x的不等式20axbxc+的解集为|23xx，则下列说法正确的是（ ） A. 0a B. 0abc+ C. 不等式20cxbxa+的解集为11|23x xx 或 D. 24cab+的最小值为 6 【答案】BCD； 【解析】令( )2f xaxbxc=+ A 选项，开口应向下，错误； B 选项，
9、( )10fabc=+，正确； C 选项，56baca=，所以56baca= =，所以20cxbxa+的解集为11|23x xx 或，正确； D 选项，2243641964caaabaa+= + +，当且仅当13a = 时取等，正确，故选 BCD 三三、填空、填空题题：本大题：本大题共共 5 小题小题，每，每小小题题 5 分分，共共 25 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 已知()2212fxxx+=，则( )9f= 【答案】8； 【解析】令4x =可得( )98f= 14. 若2510ab=，则11ab+= 【答案】1； 【解析】依题可得2
10、5log 10,log 10ab=，所以11lg2lg51ab+=+= 15. 已知关于x的方程230 xkxk+=的两个不相等的实数根都大于 2，则k的取值范围学而思培优 受益一生的能力 是 【答案】67k； 【解析】依题可得0224230kkk +，解得67k 16. 已知( )26,11xaxxf xaxx=是R上的增函数，则a的取值范围是 【答案】722a ； 【解析】依题可得1207aaaa ，解得722a 三、解答三、解答题题：本大题：本大题共共 6 小题小题，共，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分） 求值
11、： 1022531432829+； 3323log 54log 2log 3 log 4+ 【答案】 172； 5； 【解析】 原式31724122=+ +=； 原式32log 27log 4325=+=+= 18. （本小题满分 12 分） 已知集合|26Axx=，|15Bxx=，|1Cx mxm=+，U = R： 求AB，()UAB； 若CB，求m的取值范围 【答案】 |16ABxx=；()()1,2UAB =；14m 【解析】 |16ABxx=， ()(),26,UA = +，()()1,2UAB =； 学而思培优 受益一生的能力 因为C 所以115mm+ ，解得14m 19. （本小题
12、满分 12 分） 已知命题p：实数x满足不等式()()30 xaxa（0a ） ，命题q：实数x满足不等式53x 当1a =时，命题p，q均为真命题，求实数x的取值范围； 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 【答案】 ()2,3x； 823a 【解析】 由题意可得p：()1,3x；q：()2,8x； 所以命题p，q均为真命题可得()2,3x； 依题意可得()()()|302,8xxaxa 因为A ， 所以2,38aa，解得823a 20. （本小题满分 12 分） 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续
13、增长的趋势某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为 300 万元，最大产能为 100 台每生产x台，需另投入成本( )G x万元，且( )2280 ,04036002012100,4080 xxxG xxxx+=+由市场调研知，该产品的售价为 200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完 写出年利润( )W x万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本） ； 当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？ 【答案】 ( )22120300,04036001800,4080 xxxW xxxx+= +；年产量为 60 台时
14、，公司所获利润最大，最大利润为 1680 万元 【解析】 依题可得040 x时，( )( )22003002120300W xxG xxx= + 学而思培优 受益一生的能力 4080 x时，( )( )36002003001800W xxG xxx= + 所以( )22120300,04036001800,4080 xxxW xxxx+= +； 040 x时，30 x =最大，最大值为 1500 4080 x时，( )360036001800180021680W xxxxx= += 当且仅当60 x =时取等 综上，年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大利润为 1680 万元 21. （
15、本小题满分 12 分） 已知函数( )()()21xxaf xx+=为偶函数. 求实数a的值； 判断( )f x的单调性，并证明你的判断； 是否存在实数，使得当( )fx的定义域为1 1,m n（0,0mn）时，函数( )fx的值域恰为2,2mn若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由 【答案】 1； 在()0,+上单调增，(),0上单调减，证明见解析； 存在，2； 【解析】 由()10f =可得( )()2 1101af+=，解得1a = ， 此时( )222111xf xxx= ，()( )fxf x=，故函数为偶函数，1a = ； 由题意可知，( )211f xx= ，任取120 xx，
16、 则有()( )()()21212122221212110 xxxxf xf xxxx x+=， 故( )f x在()0,+上为增函数 任取120 xx 则有()( )()()21212122221212110 xxxxf xf xxxx x+=， 学而思培优 受益一生的能力 故( )f x在(),0上为减函数； 因为函数在()0,+上为增函数，所以在1 1,m n上值域为11,ffmn 所以221212mmnn = 所以,m n为方程210 xx+ =的两不等正根 所以20020010 + ，解得2 22. （本小题满分 12 分） 若函数( )yf x=对定义域内的任意值1x，在其定义域内
17、都存在唯一的2x，使()()121f xf x=成立，则称函数( )yfx=为“依赖函数”. 判断函数1yx=（0 x ） ，( )21g xx=+（xR）是否为“依赖函数” ，并说明理由； 若函数( )21122f xxx=+在定义域,m n（,m n+N，且1m ）上为“依赖函数”求mn+的值； 已知函数( )()2f xxa=， （43a ）在定义域4,43上为“依赖函数” 若存在实数4,43x，使得对任意的1,22t，不等式( )28f xtst +都成立，求实数s的取值范围 【答案】 ( )fx为“依赖函数” ；( )g x不是“依赖函数” ； 5； 2s ； 【解析】 ( )fx：
18、对于任意的1x，211xx=时()()121f xf x=，所以为“依赖函数” ( )g x：11x =时，()212g x=无解，故不是“依赖函数” ； ( )fx在()1,+上单调递增，且( )0fx ，所以在,m n上值域为()( ),f mf n， 当1xm=时，若2xn，可得( )()1f nf m， 则当1xn=时，()( )()21f xf mf n=，故不存在()2f x，与题目矛盾 所以()( )1f mf n=，即() ()2211114mn= 学而思培优 受益一生的能力 即()()112mn= 又因为,m n+N 所以2,3mn=，5mn+=； 因为函数( )fx在定义域上单调递增，且( )0fx 所以由可得()224413aa=，即()4413aa= 解得1a = 又因为存在实数4,43x，使得对任意的1,22t，不等式( )28f xtst +都成立 所以( )2max8f xtst +，即298tst + 即1stt +恒成立 又因为12tt +当且仅当1t =时去等 所以2s