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1、第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值及其求法及其求法一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数的最大（小）值二、多元函数的最大（小）值三、条件极值三、条件极值有有极大值极大值；一、多元函数极值一、多元函数极值（一元函数极值的推广一元函数极值的推广）有定义，有定义，的某邻域的某邻域则称函数在则称函数在则称函数在则称函数在有微小值有微小值.设函数设函数在点在点1.1.极值的定义极值的定义极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值 .使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极大值点极大值点 .zxyo例例1例例2例例3xyzoxyzo极小值点极小值点2、多元函数取得极值的条件、
2、多元函数取得极值的条件定理定理1（必要条件）（必要条件）在该点的偏导数必定为零：在该点的偏导数必定为零：在点在点具有具有设函数设函数偏导数，且在点偏导数，且在点处有极值，则它处有极值，则它一元可导函数有极值的必要条件：一元可导函数有极值的必要条件：在在 处有极值，则处有极值，则证证必要条件必要条件极大值极大值,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的同时为零的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：问题：留意：留意：例如例如,点点是函数是函数的驻点，的驻点，但不是极值点但不是极值点.如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极
3、值点？定理定理2(充分条件充分条件)设函数设函数 在点在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，处是否取得极值的条件：处是否取得极值的条件：（1）（2）（3）时，可能有极值时，可能有极值,也可能也可能还需另作探讨还需另作探讨没有极值，没有极值，例例4 求函数求函数解解 第一步第一步 求驻点求驻点:得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).其次步其次步 判别判别:解方程组解方程组的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数在点在点(3,0)处处在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.在点在点(1,2)处处在点在点(1,0)处处为微小值为微小
4、值;(1,0)(1,2)(-3,0)(-3,2)第一步第一步其次步其次步 对于每一个驻点对于每一个驻点求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出的符号，的符号，再判定是否是极值再判定是否是极值.求函数求函数极值的一般步骤：极值的一般步骤：解方程组解方程组 求最值的一般方法：求最值的一般方法：将函数在将函数在D内的全部驻点处的函数值及内的全部驻点处的函数值及在在D 的边界上的最大值和最小值相互比较的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值其中最大者即为最大值,最小者即为最小值最小者即为最小值.与一元函数相类似与一元函数
5、相类似,我们可以利用函数的我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.二、多元函数的最大、最小值二、多元函数的最大、最小值解解 如图如图,先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，例例5 求二元函数求二元函数在直线在直线所围成的闭区所围成的闭区域域D上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解方程组解方程组区域区域D内唯一驻点内唯一驻点由由(2)-(1)式式代入代入(2),得得再求再求在在D边界上的最值：边界上的最值：在边界在边界上，上，即即一元函数一元函数 的极值的极值 比较函数值后可知：比较函数值后可知：在边界在边界上，上，可取得最大收益？可取得最大收益？每天的
6、收益为每天的收益为某商店卖两种牌子的果汁某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶本地牌子每瓶进价进价2元元,外地牌子每瓶进价外地牌子每瓶进价3元元,店主估计，店主估计，若本地牌子的每瓶卖若本地牌子的每瓶卖x元元,外地牌子的每瓶卖外地牌子的每瓶卖 y元元,则每天可卖出则每天可卖出瓶本地牌子瓶本地牌子的果汁，的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁解解目标函数目标函数例例6目标函数目标函数求驻点：求驻点：令令解得解得依据题意可知依据题意可知,最大值确定存在最大值确定存在,内取得，内取得，又函数在又函数在D内内只有唯一驻点只有
7、唯一驻点因此可断定本地的因此可断定本地的饮料价格约定为饮料价格约定为4.85元元,外地的约为外地的约为4.46元时，元时，收益最大收益最大.并在开区域并在开区域这这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果在条件在条件 下的极值问题下的极值问题实例：小王有实例：小王有200元钱元钱,他确定用来购买两类他确定用来购买两类急需物品：参考书和录音磁带急需物品：参考书和录音磁带,设他购买设他购买x本本书书,y 盒录音磁带达到最佳效果盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为效果函数为设每本书设每本书20元元,每盒磁带每盒磁带10元元,问他如何安排问他如何安排问题：问题：求求三、条件极值及拉格朗日乘数法三、条件极值
8、及拉格朗日乘数法极值：对于变量仅限制了定义域极值：对于变量仅限制了定义域.条件极值：条件极值：除了定义域之外，对函数的自变量除了定义域之外，对函数的自变量还有附加条件的极值问题还有附加条件的极值问题.无条件无条件解决条件极值问题的方法解决条件极值问题的方法-拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法在条件在条件 下的极值问题下的极值问题求函数求函数拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法为某一常数，称为为某一常数，称为拉格朗日乘子拉格朗日乘子，其中其中解出解出其中其中x,y就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.在条件在条件下的可能极值点下的可能极值点.要找函数要找函数先构造函数先构造函数（称（称拉格朗日函数拉格
9、朗日函数）可由可由安排这安排这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果例例7 小王有小王有200元钱，他确定用来购买两类元钱，他确定用来购买两类急需物品急需物品:参考书和录音磁带参考书和录音磁带,设他购买设他购买x本书本书,y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为设每本书设每本书20元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何元，问他如何效果函数效果函数分析分析最大最大.构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数由由(1),(2)得得代入代入(3),得得代入代入(4),得得得到唯一的驻点得到唯一的驻点依据题意，最佳效果是存在的，依据题意，最佳效果是存在的，故买故买5本书、本书、
10、10盒磁带可达到最佳效果盒磁带可达到最佳效果.目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：利用拉格朗日乘数法时，利用拉格朗日乘数法时，区分目标函数和约束条件区分目标函数和约束条件.关键是找到和关键是找到和效果函数效果函数方法方法2将条件将条件代入代入表面积函数表面积函数,则求则求将条件极值转化为无条件极值将条件极值转化为无条件极值的极值问题的极值问题.水箱表面积：水箱表面积：最小最小.自行完成，并比较两种方法自行完成，并比较两种方法其中其中均为常数均为常数,可由偏导数为零及约束可由偏导数为零及约束即得极值点的坐标即得极值点的坐标.先构造函数先构造函数拉格朗日乘数法可推广到拉格朗日乘数法可推广到两个
11、以上约束条件的状况：两个以上约束条件的状况：条件条件解出解出求平面求平面 和柱面和柱面的交线上与的交线上与xoy平面距离最短的点平面距离最短的点.例例设设M(x,y,z)为平面和柱面交线上的一点，为平面和柱面交线上的一点，则则M到到xoy平面距离为平面距离为目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：分析分析拉格朗日函数拉格朗日函数第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组其次步其次步 利用充分条件判别驻点是否为利用充分条件判别驻点是否为如对二元函数如对二元函数一、多元函数的极值一、多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件
12、、充分条件）小小 结结极值点极值点.设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数解方程组解方程组求驻点求驻点.二、拉格朗日乘数法二、拉格朗日乘数法分清目标函数和附加条件，分清目标函数和附加条件，构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数.下的极值下的极值.在条件在条件条件极值的两种求法：条件极值的两种求法：1.1.将条件函数代入目标函数转化为无条件将条件函数代入目标函数转化为无条件2.2.极值；极值；2.利用拉格朗日乘数法利用拉格朗日乘数法三、多元函数的最大值和最小值三、多元函数的最大值和最小值1.有界闭区域上连续函数的最大有界闭区域上连续函数的最大(小小)值值2.最值应用问题最值应用问题.其次步其次步 求出驻点，求出驻点，比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小.依据问题的实际意义依据问题的实际意义第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)确定最大确定最大(小小)值值.思索题思索题答答 不是不是.例如例如 解解则则由题意最大值必存在，由题意最大值必存在，作作解得唯一驻点解得唯一驻点 故最大值为故最大值为代入代入(4),作作 业业p.61 习题习题881;4;7;9;10.解解可得可得即即