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1、一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法二、条件极值、拉格朗日乘数法第八节 多元函数的极值与最值 一、多元函数的极值极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.1二元函数极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；(1(1)(2(2)(3(3)例例1 1 函数函数处有极小值处有极小值在在例例函数函数处有极大值处有极大值在在处有极大值处有极大值在在例例处无极值处无极值在在函数函数2 2多元函数取得极值的条件定理 1 1（必要条
2、件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.证不妨设不妨设在点在点处有极大值处有极大值,则对于则对于的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有,故当故当时，时，有有说明一元函数说明一元函数在在处有极大值，处有极大值，必有必有;类似地可证类似地可证.推广推广 如果三元函数如果三元函数在点在点具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在有极值的必要条有极值的必要条件为件为 ，.;仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点的点，均称为函数的驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？驻点驻点极值
3、点极值点注意：注意：定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数在点在点的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，.例如例如 点点是函数是函数的驻点，的驻点，但不是极值点但不是极值点又又 ，令令，则则在点在点处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）时具有极值，时具有极值，当当时有极大值，时有极大值，当当时有极小值；时有极小值；（3 3）时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论（2 2）时没有极值；时没有极值；求函数求函数),(yxfz=极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方
4、程组解方程组 求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC-的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.例例4 4求函数的极值求函数的极值解解求得驻点求得驻点，在点处在点处所以，在处函数没有极值所以，在处函数没有极值在点处在点处又又所以，在处函数有极大值且所以，在处函数有极大值且求最值的一般方法：1 1）将函数在）将函数在D D内的所有驻点处的函数值内的所有驻点处的函数值 2 2）求）求D D的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值 3 3）相互比较函
5、数值的大小，其中最大者）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 多元函数的最值解解先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，如图如图,例例 5 5 求二元函数求二元函数 在直线在直线，轴和轴和 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解方程组解方程组再求再求在在边界上的最值，边界上的最值，得区域得区域内唯一驻点内唯一驻点,且且 在边界在边界和和上上,在边界在边界上上，即，即于是于是,
6、由由 得得 比较后可知比较后可知为最大值为最大值,为最小值为最小值.解解 由由例例 6 6 求求的最大值和最小值的最大值和最小值.得驻点得驻点和和,即边界上的值为零即边界上的值为零.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.因为因为所以最大值为所以最大值为，最小值为最小值为例例7 某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？使用料最省？此水箱的用料面积此水箱的用料面积解解：设水箱的长为：设水箱的长为x,x,宽为宽为y,y,
7、则其高为则其高为时，时，A A取得最小值，取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域定存在，并在开区域D(x0,y0)D(x0,y0)内取得。又函数内取得。又函数在在D D内只有唯一的驻点，因此可断定当内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为就是说，当水箱的长、宽、高均为时，时，水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。实例：实例：小王有小王有200200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音
8、磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁盘设每张磁盘8 8元，每盒磁带元，每盒磁带1010元，问他如何元，问他如何分配这分配这200200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点二、条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值无条件极值：对自变量除有定义域限制外，对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值无任何其它条件限制的极值要找函数要找函数在条件在条件下的下的可能极值点，可能极值点，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由先构造函数先构造函
9、数解出解出，其中其中就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数在条件在条件 ，下的极值，下的极值，先构造函数先构造函数其中其中均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.例例 8 8 将正数将正数12分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23=为最大为最大.解解解得唯一驻点解得唯一驻点)2,4,6(，则则故最大值为故最大值为解解设设为椭球面上一点为椭球面上一点,例例 9 9 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 的的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标体积最小，求切点坐标.令令,则则，过过的切平面方程为的切平面方程为该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为化简为化简为,所围四面体的体积所围四面体的体积 ,在条件在条件下求下求的最小值的最小值,令令 ,由由可得可得即即当切点坐标为时当切点坐标为时四面体的体积最小四面体的体积最小.