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1、1、38,一、多元函数的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,第八节 多元函数的极值,三、有界闭区域上函数的最值,四、小结,2、38,一、多元函数的极值,1.极大值和极小值的定义,一元函数的极值的定义:,是在一点附近,将函数值比大小.,定义,点P0为函数的极大值点.,类似可定义极小值点和极小值.,设在点P0的某个邻域,为极大值.,则称,3、38,函数的极大值与极小值统称为函数的,函数的极大值点与极小值点统称为函数的,多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.,有时,极值.,极值点.,内的值比较.,是与P0的邻域,极小值可能比极大值还大.,注,4、38
2、,函数是否存在极值,在(0,0)点取极小值.,在(0,0)点取极大值.,(也是最大值).,在(0,0)点无极值.,椭圆抛物面,下半个圆锥面,马鞍面,在简单的情形下是,容易判断的.,函数,函数,(也是最小值).,函数,5、38,2.极值存在的必要条件,证.,定理1,(必要条件),则它在该,点的偏导数必然为零:,有极大值,不妨设,都有,说明一元函数,有极大值,必有,类似地可证,6、38,推广,如果三元函数,具有偏导数,则它在,有极值的必要条件,为,均称为函数的,驻点,极值点,仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的,点,驻点.,如何判定一个驻点是否为极值点,如,驻点,但不是极值点.,?,注,7、3
3、8,3.极值存在的充分条件,定理2,(充分条件),的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,有极大值,有极小值;,(2),没有极值;,(3),可能有极值,也可能无极值.,（用定义判定）,8、38,求函数 极值的一般步骤:,第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再判定是否是极值.,具有二阶连续偏导数,9、38,例1.,解.,又,在点(0,0)处,在点(a,a)处,故,故,即,的极值.,在(0,0)无极值;,在(a,a)有极大值,10、38,解.,求由方程,将方程两边分别对x, y求偏导数
4、,由函数取极值的必要条件知,驻点为,将上方程组再分别对x, y求偏导数,例2.,11、38,故,函数在P有极值.,代入原方程,为极小值;,为极大值.,所以,所以,12、38,取得.,然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:,函数,不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.,在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.,由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处,但也可能是极值点.,在点(0,0)处的偏导数,注释,13、38,对自变量有附加条件的极值.,其他条件.,无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外,并无,条件极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,1
5、4、38,解.,例3.,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,设长方体的长、宽、高分别为.,由题意,长方体的体积为,且长方体体积,一定有最大值,体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于V在D内只有一个驻点,15、38,上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值,要受到条件,的限制,这便是一个条件极值,问题.,目标函数,约束条件,有时条件极值,目标函数中化为无条件极值.,可通过将约束条件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决条件极值问题的一般,方法:,下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法,16、38,拉格朗日乘数法:,现要寻求目标函数,
6、在约束条件,下取得,如函数(1)在,由条件,(1),(2),极值的必要条件.,取得所求的极值,那末首先有,(3),确定y是x的隐函数,不必将它真的解出来,则,于是函数(1),即, 在,取得所,取得极值.,求的极值.,17、38,其中,代入(4)得:,由一元可导函数取得极值的必要条件知:,(4),取得极值.,在,(3) ,(5)两式,取得极值的必要条件.,就是函数(1)在条件(2)下的,18、38,设,上述必要条件变为:,(6)中的前两式的左边正是函数:,(6),的两个一阶偏导数在,的值.,函数,称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.,19、38,拉格朗日乘数法:,总结：条件极值的
7、必要条件,在条件,要找函数,下的可能极值点,先构造函数,为某一常数,其中,可由,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,20、38,如何确定所求得的点,实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.,拉格朗日乘数法可推广:,判定.,可根据问题本身的性质来,的情况.,自变量多于两个,是否为极值点,?,21、38,其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数在D内的所有可能的极值点的函数值及,在D的边界上的最大值和最小值相互比较,三、有界闭区域上函数的最值,22、38,解.,(1) 求函数在D内的驻点,由于,所以函
8、数在D内无极值.,(2) 求函数在 D边界上的最值,(现最值只能在边界上),围成的三角形闭域D上的,最大(小)值.,例4.,D,23、38,在边界线,在边界线,由于,最小,由于,又在端点(1,0)处,所以,最大.,有驻点,函数值,有,单调上升.,24、38,在边界线,所以, 最值在端点处.,由于,函数单调下降,(3),比较,25、38,解.,为椭球面上的一点,令,则,的切平面方程为,在第一卦限内作椭球面,的,使切平面与三个坐标面所围成的,例5.,切平面,四面体体积最小,求切点坐标.,26、38,目标函数,该切平面在三个轴上的截距各为,化简为,所求四面体的体积,约束条件,在条件,下求V 的最小值
9、,27、38,令,由,28、38,可得,即,当切点坐标为,四面体的体积最小,29、38,解.,为简化计算,令,是曲面上的点,它与已知点的距离为,问题化为在,下求,的最小值.,目标函数,约束条件,例6.,30、38,设,(1),(2),(3),(4),31、38,由于问题确实存在最小值，,故,得唯一驻点,32、38,解.,为此作拉格朗日乘函数:,上的最大值与最小值.,在圆内的可能的极值点;,在圆上的最大、最小值.,例7.,33、38,最大值为,最小值为,34、38,选择题,已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,则,(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点.,(B)
10、点(0, 0)是f (x, y)的极大值点.,(C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.,(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y)的极值点.,例8.,35、38,多元函数极值的概念,条件极值 拉格朗日乘数法,多元函数取得极值的必要条件、充分条件,多元函数最值的概念,三、小结,(上述问题均可与一元函数类比),36、38,思考题,答,不一定.,二元函数,在点,处有极值,(不妨设为极小值),是指存在,当点,且,沿任何曲线趋向于,一元函数,在点 x0,处取得有极小值,表示动点,且,沿直线,37、38,并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负,方向)趋向于,它们的关系是:,在点,取得极大(小)值,取得极大(小)值.,