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1、第八节第八节一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、一、多元函数的极值及最大值、最小值多元函数的极值及最大值、最小值 定义定义:若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小有极小值值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;在点在点(0,0)无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.的某
2、邻域内有的某邻域内有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:偏导数都为偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点.例如例如,定理定理1(必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,说明说明:驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点,极值点不一定是驻点极值点不一定是驻点.有驻点有驻点(0,0),但该点不是极值点但该点不是极值点.且在该点取得极值且在该点取得极值,则有则有存在存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时,具有极值具有极值定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶的某邻域内具有一阶和二阶连续连续偏导数偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当时
3、时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解,代入上方程组得代入上方程组得最值问题最值问题函数函数 f 在闭区域上连续在闭区域上连续函数函数 f 在闭区域上可取得最值在闭区域上可取得最值可能取得最值的点可能取得最值的点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别说明特别说明,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,为极小 值为最
4、小 值(大大)(大大)依据依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高则高为为此时水箱所用材料的面积为此时水箱所用材料的面积为令令得唯一驻点得唯一驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时,水箱所用材料最省水箱所用材料最省.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、条件极值二、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:对自变量只有定义域
5、限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定函数可确定函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 则则故故 代入上式有代入上式有记记得得引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)函数函数.利用拉格利用拉格分析可知：分析可知：极值点必满足极值点必满足则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日
6、函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设解方程组解方程组可以得到条件极值的可能点可以得到条件极值的可能点.再如再如,求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则解解:由题意可由题意可知知例例.求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则则它们所对应的三个三角形面积分别为它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数设拉氏函数解方程组解方程组,得得故圆内接正三角形面积最大故圆内接正三角形面积最大,最
7、大面积为最大面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点利用充分条件判别驻点是否为极值点.如对二元函数如对二元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法简单问题用代入法(2)一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点.如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,在条件在条件 练习练习P118 4;6;P129 19第五节 目录 上页 下页 返回 结束