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1、概率论与数理统计期中考试试题概率论与数理统计期中考试试题 1 一选择题（每题 4 分，共 20 分）1.设 , , A B C 为三个随机事务， , , A B C 中至少有一个发生，正确的表示是（ ）A. ABC B. ABCC. A B CD. A B C2.一个袋子中有 5 个红球，3 个白球，2 个黑球，现任取三个球恰为一红，一白，一黑的概率为 ( ) A. 12 B. 14 C. 13D. 15 3.设 , A B 为随机事务， ( ) 0.5, ( ) 0.6, ( | ) 0.8 P A P B P B A = = = ，则 ( ) P A B = （ ）A0.7B. 0.8C.
2、 0.6 D. 0.4 4. 一电话总机每分钟收到呼喊的次数听从参数为 2 的泊松分布，则某一分钟恰有 4 次呼喊的概率为（ ） A. 423e - B. 223e - C. 212e -D. 312e -5.若连续性随机变量2( , ) X N m s ，则XZms-=（ ） A2( , ) Z N m sB. 2(0, ) Z N sC. (0,1) Z ND. (1,0) Z N二. 填空题（每题 4 分，共 20 分）6. 已知1( )2P A = ，且 , A B 互不相容，则 ( ) P AB = 7. 老张今年年初买了一份为期一年的保险，保险公司赔付状况如下：若投保人在投保后一年
3、内因意外死亡，则公司赔付 30 万元；若投保人因其他缘由死亡，则公司赔付 10 万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他缘由死亡的概率为 0.0050，则保险公司赔付金额为 0 元的概率为 8. 设连续性随机变量 X 具有分布函数 0, 1( ) ln ,11,xF x x x ex e = 则概率密度函数 ( ) f x =9. 设连续型随机变量2(3,2 ) X N ，则 2< 5 P X =(注: (1)=0.8413, (0.5)=0.6915 f f )10. 设离散型随机变量 X 的分布律为1 0 1 20.
4、2 0.3 0.1 0.4X- ，则2( 1) Y X = - 的分布律为 三解答题（每题 8 分，共 48 分）11. 将 9 名新生随机地平均安排到两个班级中去，这 9 名新生中有 3 名是优秀生。求（1）每个班级各安排到一名优秀生的概率是多少？（2）3 名优秀生安排在同一个班级的概率是多少？ 12. 甲乙两人独立地射击同一目标，击中目标的概率分别为 0.6，0.7，求下列各事务的概率： （1）两人都击中目标， （2）目标被击中， （3）恰有一人击中。 13. 将一枚硬币连掷三次，随机变量 X 表示三次中正面出现的次数，求 （1）X 的分布律及分布函数 （2） 5.5 , 1 3 P X
5、P X 14. 设连续型随机变量 X 的概率密度为,0 1( ) 2 ,1 20,kx xf x x x = - 其他 （1）求常数 k （2）求分布函数 ( ) F x （3）求32P X 15. 设随机变量 X 在 2,5 上听从匀称分布，现对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。 16. 设二维随机变量 ( ) , X Y 的联合概率密度函数为 ,0( , )0,ye x yf x y- = 其他 （1）分别求 , X Y 的边缘密度函数 ( ), ( )X Yf x f y ； （2）推断 , X Y 是否独立。 四应用题（每题 12 分，共 12 分）17.
6、病树的主子外出，托付邻居浇水，设已知假如不浇水，树死去的概率为 0.8。若浇水则树死去的概率为 0.15。有 0.9 的把握确定邻居会记得浇水。(1)求主子回来树还活着的概率；（2）若主子回来树已死去，求邻居遗忘浇水的概率。 参考答案 1. D 2.B3.A4.B5.C 6. 12 7. 0.9948 8. 1,1( )0,x ef x x = 其他9. 0.532810. 0 1 40.1 0.7 0.2Y 11.解：记 A : 每个班级各安排到一名优秀生B : 2 名优秀生安排在同一个班级因此（1） 2 2 26 4 23 3 39 6 33! 9( )28C C CP AC C C= =
7、 ，.4 分（2） 2 2 26 4 23 3 39 6 33 9( )56C C CP BC C C= = .8 分 12. 解：记 A ：甲击中， B ：乙击中。（1）( ) ( ) ( ) 0.6 0.7 0.42 P AB P A P B = = = .2 分（2）( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.7 0.42 0.88 P A B P A P B P AB = + - = + - = .5 分（3）( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.3 0.4 0.7 0 0.46 P AB AB P AB P AB P AABB = + - = + - = 8 分 13. 解：
8、, , , , , , , S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT =因此 X 的分布律为 0 1 2 31 3 3 18 8 8 8X 。2 分 当 0 x 时， ( ) 0 F x P X x = =当 0 1 x 时 1( ) 08F x P X x P X = = = = 3 分 当 1 2 x 时 1( ) 0 12F x P X x P X P X = = = + = = 4 分 当 2 3 x 时 7( ) 0 1 28F x P X x P X P X P X = = = + = + = =.5 分. 当 3 x 时 ( ) 0 1 2 3 1 F
9、x P X x P X P X P X P X = = = + = + = + = =.6 分 即0, 01,0 181( ) ,1 227,2 381, 3xxF x xxx = （2） 5.5 1 5.5 1 5.5 5.5 1 (5.5) 5.5 0 P X P X P X P X F P X = - = - + = = - + = = . 7 分 11 3 (3) (1)2P X F F = - = 8 分 14. 解：（1）因为 ( )1 20 11 1( ) 2 12 2f x dx kxdx x dx k+-= + - = + = ，2 分故1 k = 3 分 （2）当 0 x
10、时( ) ( ) 0xF x f t dt-= =. 4 分当 0 1 x 时 020 01( ) ( ) ( ) ( )2x x xF x f t dt f t dt f t dt tdt x- -= = + = = .5分 当 1 2 x 时 ( )0 1 120 1 0 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 12x x xF x f t dt f t dt f t dt f t dt tdt t dt x x- -= = + + = + - = - - 6 分当 2 x 时0 1 20 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x xF x f t dt f
11、t dt f t dt f t dt f t dt- -= = + + + = 7 分 即220, 01,0 12( )12 1,1 221, 2xx xF xx x xx = - - ，故 531 2( ) 33 3P A P X dx = = =.4 分 记 B ：3 次独立观测中观测值大于 3 的次数，则2(3, )3B b ， .5 分 故 2 32 33 32 1 2 20( 2) 2 =33 3 3 27P B P B P B C C = = + = + = 8 分 16. 解：（1）当 0 x 时( ) ( , )y xXxf x f x y dy e dy e+ +- -= =
12、 = ， 2 分 即 , 0( )0, 0xXe xf xx- = 3 分 同理, 0( )0, 0yYye yf yy- = .6 分 （2）因为 ( )( ) ( ) ( , )x y yX Yf x f y ye e f x y- + -= = 8 分 故 X 与 Y 不独立。17.解：记 A ：树还活着； B ：邻居记得给树浇水。.1 分 则由题意可得 ( ) 0.9, ( ) 0.1, ( | ) 0.15, ( | ) 0.8 P B P B P A B P A B = = = =.3 分 （1）( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0.785 P A P A B P B P A B P B = + = 7 分(2) ( ) ( | ) ( )( | ) 0.3721 ( ) ( )P AB P A B P BP B AP A P A= =- 12 分