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1、 2016 年广东省深圳市中考数学试卷 一、单项选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 1下列四个数中，最小的正数是（）A1B0 C1 D2 2把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字 是（）A祝 B你 C顺 D利 3下列运算正确的是（）A8aa=8 B（a）=a Ca a=a D（ab）=a b 4下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D 5据统计，从 2005 年到 2015 年中国累积节能 1570000000 吨标准煤，1570000000 这个数用科学 记数法表示为（）A0.15710 B1.5710 C1.5710 D15.710 8 6如图
2、，已知 ab，直角三角板的直角顶角在直线 b 上，若1=60，则下列结论错误的是（）A2=60 B3=60 C4=120 D5=40 7数学老师将全班分成 7 个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组 进行展示活动，则第 3 个小组被抽到的概率是（）A B C D 8下列命题正确的是（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B两边及其一角相等的两个三角形全等 C16 的平方根是 4 D一组数据 2，0，1，6，6 的中位数和众数分别是 2 和 6 9施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多 50 米，才能按时完成任务，求原
3、计划每天施工多少米 设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列 方程正确的是（）A =2 B =2 4 4 3 2 6 2 2 2 10 8 9 C =2 D =2 10给出一种运算：对于函数 y=x，规定 y=nx 例如：若函数 y=x，则有 y=4x 已知函数 y=x 3，则方程 y=12 的解是（）Ax1=4，x2=4Bx1=2，x2=2Cx1=x2=0 Dx1=2，x2=2 11如图，在扇形 AOB 中AOB=90，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 2 时，则阴影部分的面积为（）A24B48C28D
4、44 12如图，CB=CA，ACB=90，点 D 在边 BC 上（与 B、C 不重合），四 边形 ADEF 为正方形，过点 F 作 FGCA，交 CA 的延长线于点 G，连接 FB，交 DE 于点 Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S 四边形 CEFG 其中正确的结论的个数是（）=1：2；ABC=ABF；AD=FQAC，A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 13分解因式：a b+2ab+b=14已知一组数据 x 1，x 2，x 3，x 4 的平均数是 5，则数据 x 1+3，x 2+3，x 3+3，x 4+3 的平均数是 15如图，在ABC
5、D 中，AB=3，BC=5，以点 B 的圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BA、BC 于点 P、Q，再分别以 P、Q 为圆心，以大于 PQ 的长为半径作弧，两弧在ABC 内交于点 M，连 接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为 16如图，四边形 ABCO 是平行四边形，OA=2，AB=6，点 C 在 x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到ADEF，AD 经过点 O，点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上，若点 D 在反比例函数 y=（x0）的图象上，则 k 的值为 n n1 4 3 2 2 2 3 三、解答题：本大题共 7 小题，其中 17 题 5 分，18 题 6
6、分，19 题 7 分，20 题 8 分，共 52 分 17计算：|2|2cos60+（）（）18解不等式组：19深圳市政府计划投资 1.4 万亿元实施东进战略为了解深圳市民对东进战略的关 注情况某校 数学兴趣小组随机采访部分深圳市民，对采访情况制作了统计 图表的一部分如下：关注情况 频数 频率 A高度关注 M 0.1 B一般关注 100 0.5 C不关注 30 N D不知道 50 0.25（1）根据上述统计图可得此次采访的人数为 人，m=，n=；（2）根据以上信息补全 条形统计图；（3）根据上述采访结果，请估计在 15000 名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有 人 20某兴趣小组借助
7、无人飞机航拍校园如图，无人飞机从 A 处水平飞行至 B 处需 8 秒，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75，B 处的仰角为 30已知无人飞机的飞行速度为 4 米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结 果保留根号）1 0 21荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后 又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元（每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购 买方案，使所需总费用最低 22如图，
8、已知O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦AB 与 CD 交于点 M，将 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC（1）求 CD 的长；（2）求证：PC 是O 的切线；（3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E交 于点 F（F 与 B、C 不重合）问 GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由 23如图，抛物线 y=ax+2x3与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标；（2）如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x
9、 平分APB 时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，已知直线 y=x 分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线 上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE问：以 QD 为腰的等腰QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存 在，请说明理由 2 2016 年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案与试题解 析 一、单项选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 1下列四个数中，最小的正数是（）A1B0 C1 D2【分析】先找到正数，再比较正数的大小即可得出答案 【
10、解答】解：正数有 1，2，12，最小的正数是 1 故选：C【点评】本题实质考查有理数大小的比较，较为简单，学生在 做此题时，应看清题意和选项 2把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（）A祝 B你 C顺 D利【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其 中面“祝”与面“利”相对，面“你”与面“考”相对，面“中”与面“顺”相对 故选 C【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体 的空间图形，从相对面入手，分析及 解答问题 3下列运算正确的是（）A8aa=8 B（a）=a Ca a=a D（ab）=a b【分析】分
11、别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及 完全平方公式、同底数幂的乘法运算 法则分别化简求出答案【解答】解：A、8aa=7a，故此选项错误；B、（a）=a，正确；C、a 3 a=a 5，故此选项错误；D、（ab）=a 2ab+b，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项以及完 全平方公式、同底数幂的乘法运算等 知识，正确掌握相关运算法则是解题关键 4下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D 4 4 3 2 6 2 2 2 4 4 2 2 2 2 【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；
12、C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选 B【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是 寻找对称轴，图形两部分折叠后可重 合 5据统计，从 2005 年到 2015 年中国累积节能 1570000000 吨标准煤，1570000000 这个数用科学 记数法表示为（）A0.15710 B1.5710 C1.5710 D15.710 8【分析】科学记数法的表示形式为 a10 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看 把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数
13、的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：1570000000 这个数用科学记数法表示为 1.5710，故选：C【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表 示形式为 a10 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 6如图，已知 ab，直角三角板的直角顶角在直线 b 上，若1=60，则下列结论错误的是（）A2=60 B3=60 C4=120 D5=40【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，以及 对顶角相等等知识分别求出 2，3，4，5 的度数，然后选出错误的选项 【解答】解：ab，1=60，3=1=60，2=1=60，4=18
14、03=18060=120，三角板为直角三角板，5=903=9060=30 故选 D【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键上掌握平 行线的性质：两直线平行，同位角相 等 7数学老师将全班分成 7 个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组 进行展示活动，则第 3 个小组被抽到的概率是（）A B C D 10 8 9 n 9 n 【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案 【解答】解：第 3 个小组被抽到的概率 是，故选：A【点评】本题考查了概率的知识用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 8下列命题正确的是（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B
15、两边及其一角相等的两个三角形全等 C16 的平方根是 4 D一组数据 2，0，1，6，6 的中位数和众数分别是 2 和 6【分析】根据平行四边形的判定定理、三角形全等的判定定理、平方根的概念、中位数和众数的概 念进行判断即可【解答】解：A一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行 四边形，故错误；B两边及其一角相等的两个三角形不一定全等，故错误；C.16 的平方根是4，故错误，D一组数据 2，0，1，6，6 的中位数和众数分别是 2 和 6，故正确，故选：D【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题 的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 9施工队要
16、铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多 50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米 设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列 方程正确的是（）A =2 B =2 C =2 D =2 【分析】设原计划每天铺设 x 米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间实 际所用时间=2，列出方程即可【解答】解：设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工（x+50）米，根据题意，可列方程：=2，故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂 题意，找出合适的等量关系，列出方 程 10给出一种运算：对于函数 y=x，规定 y=n
17、x 例如：若函数 y=x，则有 y=4x 已知函数 y=x，则方程 y=12 的解是（）Ax 1=4，x 2=4Bx 1=2，x2=2Cx 1=x 2=0 Dx 1=2，x 2=2【分析】首先根据新定义求出函数 y=x 中的 n，再与方程 y=12 组成方程组得出：3x=12，用直接 开平方法解方程即可【解答】解：由函数 y=x 得 n=3，则 y=3x，3x 2=12，n n1 4 3 3 3 2 3 2 x=4，x=2，x 1=2，x 2=2，故选 B【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时 还以新定义的形式考查了学生的阅读 理解能力；注意：二次项系数要化为 1，根据平方根的
18、意义开平方时，是两个解，且是互为 相反数，不要丢解 11如图，在扇形 AOB 中AOB=90，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 2 时，则阴影部分的面积为（）A24B48C28D44【分析】连结 OC，根据勾股定理可求 OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形 BOC 的面 积三角 形 ODC 的面积，依此列式计算即可求解【解答】解：在扇形 AOB 中AOB=90，正方形 CDEF 的顶点 C 是 COD=45，OC=4，阴影部分的面积=扇形 BOC 的面积三角 形 ODC 的面积 的中点，=4 （
19、2）2 =24 故选：A【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键 是得到扇形半径的长度 12如图，CB=CA，ACB=90，点 D 在边 BC 上（与 B、C 不重合），四 边形 ADEF 为正方形，过点 F 作 FGCA，交 CA 的延长线于点 G，连接 FB，交 DE 于点 Q，给出以下结论：AC=FG；S FAB：S 四边形 CEFG=1：2；ABC=ABF；AD=FQAC，其中正确的结论的个数是（）A1 B2 C3 D4 2 2 2 【分析】由正方形的性质得出FAD=90，AD=AF=EF，证出CAD=AFG，由 AAS 证明 FGAACD，得出 AC=FG，正确；证明四
20、边形 CBFG 是矩形，得出 S FAB=FBFG=S 四边形 CEFG，正确；由等腰直角三角形的 性质和矩形的性质得出ABC=ABF=45，正确；证出ACD FEQ，得出对应边成比例，得出 DFE=AD=FQAC，正确【解答】解：四边形 ADEF 为正方形，FAD=90，AD=AF=EF，CAD+FAG=90，FGCA，C=90=ACB，CAD=AFG，在FGA 和ACD 中，FGAACD（AAS），AC=FG，正确；BC=AC，FG=BC，ACB=90，FGCA，FGBC，四边形 CBFG 是矩形，CBF=90，S FAB=FBFG=S 四边形 CEFG，正确；CA=CB，C=CBF=90
21、，ABC=ABF=45，正确；FQE=DQB=ADC，E=C=90，ACD FEQ，AC：AD=FE：FQ，ADFE=AD=FQAC，正确；故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质、正方形的性质、矩形的 判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解 决问题的关键 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 13分解因式：a b+2ab+b=b（a+b）【分析】先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即 可【解答】解：原式=b（a+b）故答案为：b（a+b）【点评】本题考查的是提公因式法与公式法的综
22、合运用，熟记 完全平方公式是解答此题的关键 14已知一组数据 x 1，x 2，x 3，x 4 的平均数是 5，则数据 x 1+3，x 2+3，x 3+3，x 4+3 的平均数是 8 2 2 2 2 3 2 2 2 【分析】根据平均数的性质知，要求 x 1+3，x 2+3，x 3+3，x4+3 的平均数，只要把数 x 1，x 2，x 3，x 4 的和表示出即可【解答】解：x 1，x 2，x 3，x 4 的平均数为 5 x1+x2+x3+x4=45=20，x1+3，x2+3，x3+3，x4+3 的平均数为：=（x1+3+x2+3+x3+3+x4+3）4=（20+12）4=8，故答案为：8【点评】本
23、题考查的是算术平均数的求法解决本题的关键是 用一组数据的平均数表示另一组数据 的平均数 15如图，在ABCD 中，AB=3，BC=5，以点 B 的圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BA、BC 于点 P、Q，再分别以 P、Q 为圆心，以大于 PQ 的长为半径作弧，两弧在ABC 内交于点 M，连 接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为 2 【分析】根据作图过程可得得 AE 平分ABC；再根据角平分线的性质和平行四边 形的性质可证明 AEB=CBE，证出 AE=AB=3，即可得出 DE 的长，【解答】解：根据作图的方法得：AE 平分ABC，ABE=CBE 四边形 ABCD 是平行四边形
24、，ADBC，AD=BC=5，AEB=CBE，ABE=AEB，AE=AB=3，DE=ADAE=53=2；故答案为：2【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定 熟练掌握平行四边形的性质，证出 AE=AB 是解决问题的关键 16如图，四边形 ABCO 是平行四边形，OA=2，AB=6，点 C 在 x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到ADEF，AD 经过点 O，点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上，若点 D 在反比例函数 y=（x0）的图象上，则 k 的值为 4 【分析】根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出 BAO=AOF=AFO=OAF，进而求出 D 点 坐标，进而得出
25、 k 的值【解答】解：如图所示：过点 D 作 DMx 轴于点 M，由题意可得：BAO=OAF，AO=AF，ABOC，则BAO=AOF=AFO=OAF，故AOF=60=DOM，OD=ADOA=AB OA=62=4，MO=2，MD=2，D（2，2），k=2（2）=4 故答案为：4 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图 象上点的坐标特征，正确得出 D 点 坐标是解题关键 三、解答题：本大题共 7 小题，其中 17 题 5 分，18 题 6 分，19 题 7 分，20 题 8 分，共 52 分 17计算：|2|2cos60+（）（）【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和
26、负 整数指数幂的性质、零指数幂的性质 分别化简求出答案【解答】解：|2|2cos60+（）（）0 =22+61=6 1 0 1 【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数 值和负整数指数幂的性质、零指数幂 的性质等知识，正确化简各数是解题关键 18解不等式组：【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就 是不等式组的解集 【解答】解：，解得 x2，解得 x1，则不等式组的解集是1x2【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不 等式组时，一般先求出其中各不等式 的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大 小小找不到 1
27、9深圳市政府计划投资 1.4 万亿元实施东进战略为了解深圳市民对东进战略的 关注情况某校 数学兴趣小组随机采访部分深 圳市民，对采访情况制作了统计图表的一部分如 下：关注情况 频数 频率 A高度关注 M 0.1 B一般关注 100 0.5 C不关注 30 N D不知道 50 0.25（1）根据上述统计图可得此次采访的人数为 200 人，m=20，n=0.15；（2）根据以上信息补全条形统计图；（3）根据上述采访结果，请估计在 15000 名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有 1500 人 【分析】（1）根据频数频率，求得采访的人数，根据频率总人数，求得 m 的值，根据 30200，求得
28、 n 的值；（2）根据 m 的值为 20，进行画图；（3）根据 0.115000 进行计算即可【解答】解：（1）此次采访的人数为 100 0.5=200（人），m=0.1200=20，n=30200=0.15；（2）如图所示；（3）高度关注东进战略的深圳市民约有 0.115000=1500（人）【点评】本题主要考查了条形统计图以及频数与频率，解决问 题的关键是掌握：频率是指每个对象 出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即 频率=解题时注意，用样本去估计总体 时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越 精确 20某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从 A 处水平飞行至 B
29、 处需 8 秒，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75，B 处的仰角为 30已知无人飞机的飞行速度为 4 米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结 果保留根号）【分析】如图，作 ADBC，BH水平线，根据题意确定出ABC 与ACB 的度数，利用锐角三角 函数定义求出 AD 与 BD 的长，由 CD+BD 求出 BC 的长，即可求出 BH 的长【解答】解：如图，作 ADBC，BH水平线，由题意得：ACH=75，BCH=30，ABCH，ABC=30，ACB=45，AB=32m，AD=CD=AB sin30=16m，BD=ABcos30=16 m，BC=CD+BD=（16+16）m，则
30、BH=BCsin30=（8+8）m 【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角 俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的 关键 21荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后 又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元（每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购 买方案，使所需总费用最低【分析】（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据单价和费用关系列出 方程组，解方程组即
31、可；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得出 12t2t，得 出 t4，由题意得出 W=5t+240，由一次函数的性质得出 W 随 t 的增大而减小，得出当 t=4 时，W 的最小值=220（元），求 出 124=8 即可【解答】解：（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据题意得：，解得：；答：桂味的售价为每千克 15 元，糯米糍的售价为每千克 20 元；（2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12t）千克，根据题意得：12t2t，t4，W=15t+20（12t）=5t+240，k=5 0，W 随
32、t 的增大而减小，当 t=4 时，W 的最小值=220（元），此 时 124=8；答：购买桂味 4 千克，糯米糍 8 千克时，所需总费用最低【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用；根据题意方程方程组和得出一次函 数解析式是解决问题的关键 22如图，已知O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦AB 与 CD 交于点 M，将 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC（1）求 CD 的长；（2）求证：PC 是O 的切线；（3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E交 于点 F（F 与 B、
33、C 不重合）问 GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由 【分析】（1）连接 OC，根据翻折的性质求出 OM，CDOA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出 PC，然后利用勾股定理逆定理求出PCO=90，再根据 圆的切线的定 义证明即可；（3）连接 GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得BAG=AFG，然后根据两组角对应相 等两三角相似求出AGE 和FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 GEGF=AG，再根据等腰直角三角形的性质求解即可【解答】（1）解：如图，连接 OC，沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，OM=OA=2=1，CD
34、OA，OC=2，；CD=2CM=2 =2=2 （2）证明：PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，CMP=OMC=90，PC=2 OC=2，PO=2+2=4，PC+OC=（2）+2=16=PO，PCO=90，PC 是O 的切线；（3）解：GEGF 是定值，证明如下：如图，连接 GA、AF、GB，点 G 为 的中点，=，BAG=AFG，又AGE=FGA，AGE FGA，=，从而得到 =，GEGF=AG，AB 为直径，AB=4，BAG=ABG=45，AG=2，GEGF=8 2 2 2 2 2 2 2 【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定 理，
35、圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形 23如图，抛物线 y=ax+2x3与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标；（2）如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x 平分APB 时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，已知直线 y=x 分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线 上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE问：以 QD 为腰的等腰QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大
36、值；若不存 在，请说明理由 【分析】（1）把 B 点坐标代入抛物线解析式可求得 a 的值，可求得抛物线解析式，再令 y=0，可解 得相应方程的根，可求得 A 点坐标；（2）当点 P 在 x 轴上方时，连接 AP 交 y 轴于点 B，可证OBPOBP，可求得 B坐标，利用待 定系数法可求得直线 AP 的解析式，联立直线 y=x，可求得 P 点坐标；当点 P 在 x 轴下方时，同理 可求得BPO=BPO，又BPO 在APO 的内部，可知此时没有满足条件的点 P；（3）过 Q 作 QHDE 于点 H，由 直线 CF 的解析式可求得点 C、F 的坐标，结合条件可求得 tanQDH，可分别用 DQ 表示
37、出 QH 和 DH 的长，分 DQ=DE 和 DQ=QE 两种情况，分别用 DQ 的 长表示出QDE 的面积，再设出点 Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得QDE 的面积的最大 值【解答】解：（1）把 B（1，0）代入 y=ax+2x3，可得 a+23=0，解得 a=1，2 2 抛物线解析式为 y=x+2x3，令 y=0，可得 x+2x3=0，解得 x=1 或 x=3，A 点坐标为（3，0）；（2）若 y=x 平分APB，则APO=BPO，如图 1，若 P 点在 x 轴上方，PA 与 y 轴交于点 B，由于点 P 在直线 y=x 上，可知POB=POB=45，在BPO 和 B PO 中 ，BP
38、O B PO（ASA），BO=BO=1，设直线 AP 解析式为 y=kx+b，把 A、B两点坐标代入可得，解得，直线 AP 解析式为 y=x+1，联立，解得，P 点坐标为（，）；若 P 点在 x 轴下方时，同理可得BOP B OP，BPO=BPO，又BPO 在APO 的内部，APOBPO，即此时没有满足条件的 P 点，综上可知 P 点坐标为（，）；（3）如图 2，作 QHCF，交 CF 于点 H，2 2 CF 为 y=x，可求得 C（，0），F（0，），tanOFC=，DQy 轴，QDH=MFD=OFC，tanHDQ=，不妨设 DQ=t，DH=t，HQ=t，QDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形
39、，若 DQ=DE，则 S DEQ=DEHQ=tt=t，若 DQ=QE，则 SDEQ=DEHQ=2DHHQ=t t=t，t t，当 DQ=QE 时DEQ 的面积比 DQ=DE 时大 设 Q 点坐标为（x，x+2x3），则 D（x，Q 点在直线 CF 的下方，x），DQ=t=x（x+2x3）=x x+，当 x=时，tmax =3，（SDEQ）max=t=，即以 QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待 定系数法、角平分线的定义、全等三 角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次 函数的性质及分类讨论等在（2）2 2 2 2 2 2 2 2 中确定出直线 AP 的解析式是解题的关键，在（3）中利用 DQ 表示出QDE 的面积是解题的关 键本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大