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1、精心整理 2019年9 月 第一章随机事件与概率 1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,中的样本点。解：反正正、正反、反正、反 正正、正反A,正正B,正正、正反、反正C 2.设31)(AP，21)(BP，试就以下三种情况分别求)(ABP：（1）AB，（2）BA，（3）81)(ABP 解:（1）5.0)()()()()(BPABPBPABBPABP（2）6/13/15.0)()()()()()(APBPABPBPABBPABP（3）375.0125.05.0)()()()(ABPBPABBPAB
2、P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解:记 H 表拨号不超过三次而能接通。Ai 表第 i 次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H 再发生的概率。4进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：（1）直到第r次才成功；（2）在n次中取得)1(nrr次成功；解:(1)ppPr 1)1(2)rnrrnppCP)1(5.设事件 A，B 的概率都大于零，说明以下四种叙述
3、分别属于那一种：（a）必然对，（b）必然错，（c）可能对也可能错，并说明理由。（1）若 A，B 互不相容，则它们相互独立。（2）若 A 与 B 相互独立，则它们互不相容。（3）()()0.6P AP B，则 A 与 B 互不相容。精心整理 2019年9 月（4）()()0.6P AP B，则 A 与 B 相互独立。解:(1)b,互斥事件,一定不是独立事件 (2)c,独立事件不一定是互斥事件,(3)b,)()()()(ABPBPAPBAP 若A 与 B 互不相容,则0)(ABP,而12.1)()()()(ABPBPAPBAP (4)a,若 A 与 B 相互独立,则)()()(BPAPABP,这时
4、84.036.02.1)()()()(ABPBPAPBAP 6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有 3 个白球，2 个红球；乙盒中放有 4 个白球，4 个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。解:(1)记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=144423214414233=(2)7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间
5、的关系。解:独立事件不是对立事件,也不一定是互斥事件;对立事件是互斥事件,不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件,一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布 1.设 X 的概率分布列为：Xi?0 1 2 3 Pi?0.1 0.1 0.1 0.7 F(x)为其分布的函数，则 F（2）=？解:3.02102)2(XPXPXPXPF 2设随机变量 X 的概率密度为f(x)=,1,0;1,2xxxc则常数 c 等于？解:由于1122cdxxcdxxc,故1c 3.一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1)恰有 2
6、台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？.(4)至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？解:(1)2304.04.06.023225CXP(2)66304.06.04.06.0154135445CXPXPXP(3)233532254154.06.04.06.04.06.03213CCCXPXPXPXP =0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4)98976.04.010115XPXP 4.设随机变量 K 在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程 42x+4Kx+K+2=0 有实根的概率。解:由03216
7、16)2(441622kkkk可得:2,1kk 所以522KP 5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过 10 分钟的概率；（2）10 分钟 到 20 分钟的概率。解:0,2.0)(2.0 xexfXx 6.随机变量 XN(3,4),(1)求 P(2X5),P(-42),P(X3)；（2）确定 c，使得 P(Xc)=P(Xc)。解:)5.0(1)1()5.0()1()232()235(52 XP 6915.018413.0=0.5328=6977.06915.09938.01)5.2(1)5.0(1(1 所以 5.0)
8、23(c 故 3c 7设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为 X 0 1 Y 1 2 P P 试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量Z=XY的分布律.解:X Y 1 2 0 0.1 0.15 1 0.3 0.45 Z 0 1 2 P 0.25 0.3 0.45 8.思考题:举出几个随机变量的例子。精心整理 2019年9 月 第三章 多维随机变量及其概率分布 1.设盒子中有 2 个红球，2 个白球，1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示取到的白球个数，写出 (X,Y)的联合分布律及边缘分布律。解:X Y 0 1 2 0 0 0 0
9、.1 1 0 0.4 0.2 2 0.1 0.2 0 2.设二维随机变量),(YX的联合分布律为：试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值；(1)6.0)1(XP；(2)5.0)2|1(YXP；(3)设)(xF是Y的分布函数，5.0)5.1(F。解:(1)6.02.01.01bXP,3.0b(2)110XPXP,aXPXP3.04.0110,1.0a 3.)(YX、的联合密度函数为：他其010,10)(),(yxyxkyxf 求（1）常数 k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3)P(X+Y1)；(4)P(X1/2)。解:(1)1)(),(1010 kdxdyyxkdxdyyxf,故1k(2)8
10、1)(21,21210210 dxdyyxYXP(3)31)(11010 xdxdyyxYXP(4)83)(2121010 dxdyyxXp 4)(YX、的联合密度函数为：他其00,10),(xyxkxyyxf 求（1）常数 k；（2）P(X+Y1)；(3)P(X1/2)。解:(1)1),(2100 kxkxydxdydxdyyxf,故2k(2)241212101 yyxydxdyYXP Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2.(3)6412212100 xxydxdyXp 5.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。解:)1(1)1)(1(1)
11、,()(2222xdyyxdyyxfxfX 6.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。解:xxxXxedyedyyxfxf0),()(,)0(x yyxXedxedxyxfxf),()(,)0(y 7.(X,Y)的联合分布律如下，试根椐下列条件分别求a 和 b 的值；(1)3/1)1(YP；(2)5.0)2|1(YXP；（3）已知X与Y相互独立。解:(1)31611aYP,61a(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18 8.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c，并讨论X与Y是否相互独立？解:16),(10102 cdxdycxydxdyyxf
12、,c=6 xdyxydyyxfxfX26),()(102,210236),()(ydxxydyyxfyfY),()()(yxfyfxfYX,故X与Y相互独立.9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？解:联合分布可以得到边缘分布,反之不真.第四章 随机变量的数字特征 1盒中有 5 个球，其中 2 个红球，随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球的个数，则 EX 是：B （A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.2.设X有密度函数：083)(2xxf他其42 x,求)1(),12(),(2XEXEXE,并求X大于数学期望)(XE的概率。(该题数有错)解:2152432383)(4422
13、xdxxxXE 3.设二维随机变量),(YX的联合分布律为 Y X 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 a b 1/9 精心整理 2019年9 月 Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 已知65.0)(XYE，则 a 和 b 的值是：D （A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。4设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求)1(,XYEEYEX。解：32)(201021020 ydydxxxydxdyxXE 5设 X 有分布律：则)32(2XXE是：D（A）1；（B）2；（
14、C）3；（D）4.6.丢一颗均匀的骰子，用 X 表示点数，求DXEX,.解：X 的分布为 6,5,4,3,2,1,61)(kkXP 7.X有密度函数：04/)1()(xxf他其20 x，求 D(X).解：6741)(20dxxxXE，3541)(2022dxxxXE 8.设(2)XP,)6.0,3(BY,相互独立，则)2(),2(YXDYXE的值分别是：（A）-1.6 和 4.88；（B）-1 和 4；（C）1.6 和 4.88；（D）1.6 和-4.88.解:A 9.设)3,4(),(NYbaUX，X与Y有相同的期望和方差，求ba,的值。（A）0 和 8；（B）1 和 7；（C）2 和 6；
15、（D）3 和 5.解:B 10下列结论不正确的是（）（A）X与Y相互独立，则X与Y不相关；（B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；（C）)()()(YEXEXYE，则X与Y相互独立；（D）)()(),(yfxfyxfYX，则X与Y不相关；解:B 11若 0),(YXCOV，则不正确的是（）（A）)()()(YEXEXYE；（B）)()()(YEXEYXE；X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4.（C）)()()(YDXDXYD；（D）)()()(YDXDYXD；解:D 12（YX,）有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。Y X-1 0 1-1 1/8 1/8 1/8 0
16、 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 解:由于649838311YPXP 而811,1YXP 所以X与Y不独立.由于0)(,0)(,0)(XYEYEXE,所以0,X与Y不相关 13)()()(YEXEXYE是X与Y不相关的（B）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。14.)()()(YEXEXYE是X与Y相互独立的（A）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。15.思考题：（1）设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。解:0421)(11122 xdxdyyxxXE 97421)(1
17、1122 xdxdyyxyYE 11122421)(xdxdyyxxyXYE0,0,不相关 显然:),()()(yxfyfxfYX,所以X与Y不独立.（2）设),(YX有他其0145),(2yxyyxf，试验证)()()(YEXEXYE，但X与Y不相互独立 解:045)(1112 xdxdyyxXE 7545)(1112 xdxdyyyYE 显然:),()()(yxfyfxfYX,所以X与Y不独立.讨论)()()(YEXEXYE与独立性，相关性与独立性之间的关系 解:若 X 与 Y 相互独立,则)()()(YEXEXYE,反之不成立.独立一定不相关,反之不真.第五章大数定律及中心极限定理 精心
18、整理 2019年9 月 1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 0.004 的指数分布，现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年（8760 小时）的近似概率。解:设第i只元件的寿命为iX(30,.2,1i),225iEX,50625iDX,则301iiXY是这 30 只元件寿命的总合,675030*225EY,151875030*50625DY,则所求的概率为:2.某一随机试验，“成功”的概率为 0.04，独立重复 100 次，由中心极限定理求最多“成功”6 次的概率的近似值。解:设成功的次数为X,则
19、)04.0,100(BX,4np,9596.196.0*4npq 第六章样本与统计量 1.有 n=10 的样本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，则样本均值X=1.57 ，样本均方差S 0.2541，样本方差2S0.06456。2设总体方差为2b有样本nXXX,21，样本均值为X，则),(1XXCov nb。3.查有关的附表，下列分位点的值：9.0Z=?，)5(21.0=9.236，)10(9.0t=-1.3722。4设nXXX,21是总体)(2m的样本，求)(),(XDXE。解:nmXDmXE)(,)(5设总体),(2NX，样本nXXX,21，样
20、本均值X，样本方差2S，则/nX)1,0(N，/nSX)1(nT，niiXX122)(1)1(2n，niiX122)(1)(2n 第七章 参数估计 1.设总体X的密度函数为：他其010)(1xxxf，有样本nXXX,21，求未知参数 的矩估计。解:1)(101dxxxXE,故 的矩估计:21xx 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(X，为估计的值，在实地随机地调查了 20 次，每次 1 分钟，结果如下：次数：2 3 4 5 6 .量数：9 5 3 7 4 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。解:2.5x,8.62s,1EX,21DX,所以1923.01x,3835.01s 3.设总体X的密度函数为：他
21、其010)1()(xxxf，有样本nXXX,21，求未知参数 的极大似然估计。解:由题设,似然函数为:)ln()1ln()(ln1niixnL,02ln)1(2)(ln1niixndLd 解得的极大似然估计为21)ln1(niixn 4.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度),(2NX,抽取 9 根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求的置信度为95.0的置信区间，（1）若22048.0,（2）若2未知 解:(1)3967.1x,05.0的置信区间为(2)3967.1x,0049.02s,05.0时,3060.
22、2)8(025.0t 置信区间为:4505.1,3429.1307.03060.23967.1,307.03060.23967.1 5.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查 16 个另件，测量其长度，得075.12x，s=0.0494,设另件长度),(2NX,取置信度为95.0，（1）求2的置信区间，（2）求的置信区间。解:00244036.02s,0366054.0)1(2sn,262.6)15(2975.0,448.27)15(2025.0 所以2置信区间为:0058.0,0013.0262.60366054.0,448.270366054.0.的置信区间为:0.0361,0.0762
23、第八章假设检验 1.某种电子元件的阻值（欧姆）)400,1000(NX,随机抽取 25 个元件，测得平均电阻值992x，试在1.0下检验电阻值的期望是否符合要求？精心整理 2019年9 月 解:检验假设:1000:0H,1000:1H 由已知可得:25/201000992u 查表得:64.105.0u,故拒绝原假设,电阻值的期望不符合要求 2.在上题中若2未知，而25 个元件的均方差25s，则需如何检验，结论是什么？解:由于方差未知,故用 t 检验.检验假设:1000:0H,1000:1H 6.15/251000992t 查表 7109.1)24(05.0t 由于7109.16.1t,故接收原假设,电阻值的期望符合要求,3.成年男子肺活量为3750毫升的正态分布，选取 20 名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为3808x毫升，设方差为22120，试检验肺活量均值的提高是否显着（取02.0）？解:检验假设:3750:0H,3750:1H,1615.220/12037503808u 查表得:33.201.0u,故接收原假设,即提高不显着.