《概率论与数理统计》.pdf

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1、概率论与数理统计综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有 10 个球，其中有 3 个红球，2 个黑球，5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。2、的概率密度为(且)，则DX。与相互独立，设随机变量3、已知随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。4、已知随机变量X的分布列为 -1 0 2p则：EX=；=。5、设与独立同分布，且X N(2,22)，则(、有=。，P(ABC)都不发生的概率为。1，12 6、设 对 于 事 件1P(AB)P(BC)P(AC)，则8 7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，

2、结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。8、相互独立，且概率分布分别为f(x)1e(x1)2()；(y)1/2，1 y 30，其它则：E(X Y)=；E(2X 3Y2)=。9、已知工厂生产产品的次品率分别为 2%和 1%，现从由工厂分别占 30%和 70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B工厂的概率为。10、设X、Y的概率分布分别为(x)1/4，1 x 5；0，其它则：E(X 2Y)=；E(X24Y)=。二、选择题1、设X和Y相互独立，且分别服从N(1,22)和N(1,1)，则。PX Y 1 1/2PX Y 01/2PX Y 01/2PX Y 1 1/22、已知P(A)0.4

3、，P(B)0.6，P(B|A)0.5，则P(AB)。A 1BCD3、设某人进行射击，每次击中的概率为 1/3，今独立重复射击 10 次，则恰好击中 3 次的概率为。122313()()7A()3()7BC10333321317()()3D()3CC103334、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为 和，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是。()()5/11 ()()6/11 5、设事件、满足AB C，则下列结论正确的是。()()()()6、设DX 4，DY 1，xy 0.6，则D(3X 2Y)=。(A)40 (B)34 (C)(D)7、设为来自总体X的一个样本，X为样本均值，

4、EX未知，则总体方差DX的无偏估计量为。1n1n2(A)(Xi X)(B)(Xi X)2n 1i1ni11n1n2(C)(Xi EX)(D)(Xi EX)2ni1n 1i1 8、设每次试验成功的概率为 2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为。()(2/3)3 ()1(2/3)3 (C)(1/3)3 (9、设是随机变量，)1(1/3)3常数），对任意常数，则必有。()E(X C)2 E(X)2 ()()三、解答题0，x 01/3，0 x 1的分布函数为F(x)，求：1/2，1 x 21，x 2 ()1、设（1）（2）的概率分布；、。2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2

5、是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有 2%的次品，第三家工厂生产的产品有 4%的次品，现从箱中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3、设随机向量(X,Y)的概率密度为C,0 x 1,0 y 2xf(x,y)0,其他求：（1）常数C；（2）关于X、Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立。4、已知关系数、分别服从正态分布N(0,32)和N(2,42)，且，设，方差；。，求：与的相（1）数学期望（2）与的相关系数5、设X1,X2,Xn为X的一个样本，(1)x,0 x 1X f(x,)其它0,其中 1为未

6、知参数，求的极大似然法估计量。6、已知工厂生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率。7、设X、Y的概率分布为14e4y，y 0,，1 x 5,(x)4(y)0，y 0,0，其它,求：E(X Y)和E(2X 3Y2)。8、一口袋中装有四只球，分别标有数字 1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）关于X和关于Y边缘概率分布。9、设总体的分布列为 1 0为的一

7、个样本，求的极大似然估计。10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以、的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。11、设求：（1）（2）关于 12、设的分布律；和的边缘分布律。为的一个样本，且的概率分布为随机地在 1，2，3 中任取一值，随机地在 1中任取一整数值,aaxa1ex,x 0f(x,)x 00,其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等 1，2，3 路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过 2 分钟的概率。14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字 1，2，

8、2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）关于X和Y边缘分布；（3）X和Y是否相互独立为什么15、设X1，X2，X3为来自总体X N(,2)的一个样本，且验证统计量（1）、（2）都是的无偏估计，并指出哪一个更好。存在，（1）X1131531X2X3；1021612（2）X1X2X3。16、设随机变量（X，Y）具有概率密度Ce(xy),x 0,y 0f(x,y)，其它0,求（1）常数C；（2）关于X和关于Y的边缘分布密度。17、设X a(X1 2X2)2 b(3X3 4X4)2，其中X1，X2，X3，X

9、4是来自总体N(0，22)的简单随机样本。试问当a、b各为何值时，统计量X服从2分布，并指出其自由度。概率论与数理统计答案概率论与数理统计答案一、填空题1 1/5 17/452 1/23 0 545 526 13/247 1/38 3 -119 7/131039二、选择题 1C2C3B4C5B6C7A8B9A三、解答题12131、设的分布函数为0，x 01/3，0 x 1 PX xF（x）1/2，1 x 2，x 21求：（1）的概率分布；（2）的概率分布列为、；解：（1）0 1 2 1/3 1/6 1/2（2）2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生

10、产 1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有 2%的次品，第三家工厂生产的产品有 4%的次品，现从箱中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件Ai表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。则，且，两两互不相容。（1）由全概率公式得3i1P(A)P(Ai)P(A|Ai)121214 0.025210041004100（2）由贝叶斯公式得12P(A1)P(A|A1)=32100 0.40.025P(Aj)P(A|Aj)j13、设随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)C,0 x 1,0 y 2x0,其他求：

11、（1）常数C；（2）关于X、Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立。解：（1）利用归一性知：f(x,y)dxdy 1 C 1（2）fXxfx,ydy，当0 x 1时，有f2xXxfx,ydy 0dy 2x；其他情况时，fXx 0综合知fXx2x,0 x 10,其他，同理fy1y2,0 y 2Y0,其他由于f(x,y)fXx fYy知X与Y不相互独立。4、已知、分别服从正态分布N(0,32)和N(2,42)，且关系数，设，求：（1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 E(X3Y2)E(XY113)E(2)3022 11132DX 22DY

12、21132XYDXDY1132322242 21312(12)34 1 4 2 3（2）与的相从而有与的相关系数为X的一个样本，5、设(1)x,0 x 1X f(x,)其它0,其中 1为未知参数，求的极大似然法估计量。解：解：设为nn观测值，则构造似然函数L()(1)(xi)i1lnL nln(1)lnxii1n令nd lnLnlnxi 0d1i1 1解的的极大似然估计量为nln Xi1ni6、已知工厂生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率。解：设C表示“取

13、到的产品是次品”；A“取到的产品是工厂的”；“取到的产品是B工厂的”。则（1）取到的产品是次品的概率为P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)6014027100100100100500（2）若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为P(B|C)P(BC)P(B)P(C|B)P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)4024100100775007、设X、Y的概率分布为14e4y，y 0,，1 x 5,(x)4(y)0，y 0,0，其它,求：E(X Y)和E(2X 3Y2)。解：由于X在有限区间1，5上服从均匀分布，所以EX Y服从参数为 4 的指数分布，所以EY=、DY 513

14、；又由于21，16因此由数学期望性质 2、性质 3 及重要公式得E(X Y)EX EY 311344E(2X 3Y2)2E(X)3E(Y2)6 3(DY (EY)2)6 355。88 8、一口袋中装有四只球，分别标有数字 1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）关于X和关于Y边缘概率分布。解：（1）的所有可能取值为(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，（X，Y）3)、(3，1)、(3，2)。由概率乘法公式得121436111，Y 3 p13 PX 14312，Y 2 p1

15、2 PX 1同理得p21 p22 p23 p321/6,p311/12。此外X 1，Y 1，X 3，Y 3，都是不可能事件，所以p11 p33 0,于是（，）的概率分布表为YX 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0（2）X的边缘概率分布为X 1 2 3pi 1/4 1/2 1/4Y的联合概率分布为Y 1 2 39、设总体 1/4 1/2 1/4的分布列为 1 0为解：设的一个样本，求的极大似然估计。为（观测值，）的分布律为于是似然函数L(p)p(x,p)pii1i1nnxi(1 p)1xi令，解得，因此的极大似然估计为10、设一电路由三个相

16、互独立且串联的电子元件构成，它们分别以、的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。解：设表示：“第 个电子元件被损坏”（=1，2，3），则有P(A1)0.03；P(A2)0.04；P(A3)0.06。依题意所求概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A3)0.030.040.060.030.040.040.060.030.060.030.040.06 0.124672 11、设求：（1）解：（1）随机地在 1，2，3 中任取一值，随机地在 1的分布律；（2）关于的概率分布表为和的边缘分布律。中任取一整数值,1 2 3（2）

17、关于的边缘分布律为 1 2 3关于的边缘分布律为 1 2 3，Xn为X的一个样本，且X的概率分布为 12、设X1，X2，axa1ex,x 0,f(x,)x 0,0,a其中为未知参数，a 0为常数，求的极大似然估计。，xn为X1，X2，Xn观测值，构造似然函数解：设x1，x2，f(xi,)axiL（）i1i1nnna1xiae(a)enxiai1xia1i1nln L nln(a)xi1nai lnxia1i1n令d ln L 0d解得nxia 0，因此的极大似然估计为i1nnXi1n。ai13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等 1，2，3 路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从0

18、，5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过 2 分钟的概率。解：设X表示每个人等车时间，且X服从0，5上的均匀分布，其概率分布为f(x)PX22 1/5,0 x 5其它其它 0,2f(x)dx 01/5dx 0.4又设Y表示等车时间不超 2 分钟的人数，则Y B(3,0.4)，所求概率为P Y 2 1 P Y 1 01 1 C3 0.63 C3 0.4 0.62 0.35214、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字 1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）关于X和Y边缘分布；（3）

19、X和Y是否相互独立为什么解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。（X，Y）p11 PX 1，Y 1，p12 PX 1，Y 2p21 PX 2，Y 1，p22 PX 2，Y 2213329223311331912332949于是（，）的概率分布表为 1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9（2）关于X和Y的边缘概率分布分别为X 1 2 1 2pi 1/3 2/3 1/3 2/3（3）X和Y相互独立。因为i,j有pi pj pij15、设X1，X2，X3为来自总体X N(,2)的一个样本，且验证统计量(1)、(2)都是的无偏估计，并指出哪一个较好。（1）13

20、1X110X122X3；（2）13X 16X152122X3。解：（1）由于E131 E(5X110X122X3)所以131X110X1522X3是的无偏估计；（2）E1112 E(3X16X22X3)所以11123X16X22X3是的无偏估计。而D131 D(X1X1X192510223)50D112 D(3X16X1722X3)182显然192725018，故13115X110X22X3较好。16、设随机变量（X，Y）具有概率密度f(x,y)Ce(xy),x 0,y 0,，0其它求（1）常数C；（2）边缘分布密度。解：（1）由于，故存在，1=所以=1，即（2）fX(x)f(x,y)dy0e

21、(x y)dyexx0，即ex,x0fX(x)0，其他fY(y)f(x,y)dx0e(x y)dxeyy0，即ey,y0fY(y)0，其他17、设Xa(X12X2)2b(3X34X4)2，其中X1，X2，X3，X4是来自总体N(0，22)的简单随机样本。试问当a、b各为何值时，统计量X服从2分布，并指出其自由度。解：依题意，要使统计量X服从2分布，则必需使a1/2(X12X2)及b1/2(3X34X4)服从标准正态分布。由相互独立的正态随机变量的性质知a1/2(X12X2)N(0，(4a16a)从而解得a1/20。b1/2(3X34X4)N(0,(36b64b)从而解得b1/100。故a1/20，b1/100 时，统计量X服从2分布。且自由度为 2。