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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-章末检测卷 一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以下四组向量中，互相平行的组数为（）a(2,2,1)，b(3，2，2)；a(8，4，6)，b(4，2，3）；a(0，1,1),b（0，3，3);a(3,2，0），b(4,3,3)；A1 B2 C3 D4 解析：中a2b，ab;中a错误!b，ab；而中的向量不平行 答案:B 2设l1的方向向量为a(1，2，2)，l2的方向向量为b（2,3,m)，若l1l2，则m等于（）A1 B2 C。错误!D3 解析：若l1l2，则ab，ab0，学必求
2、其心得，业必贵于专精 -2-1(2)23(2m)0，解得m2。答案：B 3已知向量i，j，k是一组单位正交向量,m8j3k,ni5j4k，则mn()A7 B20 C28 D11 解析：因为m(0，8,3）,n(1,5，4),所以mn0401228.答案:C 4如图,在平行六面体ABCD。A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论:A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；学必求其心得，业必贵于专精 -3-A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为(）A1 B2 C3 D4 解析：错误!错误!错误!错误!错误!错误!，错误
3、!错误!错误!错误!错误!错误!，错误!错误!,从而A1MD1P，可得正确 又B1Q与D1P不平行，故不正确 答案：C 5在空间四边形ABCD中，错误!错误!错误!错误!错误!错误!等于()A1 B0 C1 D不确定 解析：如图，令错误!a，错误!b，错误!c，则错误!错误!错误!错误!错误!错误!a(cb）b(ac）c（ba）学必求其心得，业必贵于专精 -4-acabbabccbca 0。答案：B 6 已知二面角。l。的大小为错误!，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A。错误!B.错误!C。2 D。错误!解析：设m，n的方向向量分别为m，n。由m，n知m,n分别是平面，的法向
4、量 cosm，ncos错误!错误!,m，n错误!或错误!。但由于两异面直线所成的角的范围为错误!,故异面直线m,n所成的角为错误!.答案：B 7巳知空间三点O（0,0,0），A（1，1，0),B(0,1,1）在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为(）A（2,2,0）B(2,1，0）学必求其心得，业必贵于专精 -5-C.错误!D。错误!解析:由错误!（1，1,0),且点H在直线OA上，可设H（，0)，则错误!(,1，1）又BHOA，错误!错误!0,即(，1，1）(1，1,0）0，即10，解得错误!,H错误!。答案:C 8在以下命题中，不正确的个数为（）|a|b|ab是a，b共线的充要条
5、件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若错误!2错误!2错误!错误!，则P，A,B，C四点共面；若a，b,c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3 C4 D5 学必求其心得，业必贵于专精 -6-解析：|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时a|b|ab不一定成立，故不正确；b需为非零向量,故不正确；因为 2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确 答案：C 9已知向量a(1,2，3），b(2，4，6），c错误!,若（ab）c7，则a与c的夹角为()A
6、30 B60 C120。D150 解析：设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3），|ab|错误!，cos错误!错误!，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为 120.答案：C 10三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30 B45 C60 D90 学必求其心得，业必贵于专精 -7-解析：不妨设ABACAA11,以A为原点，AB,AC，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（0,0,0)，B(1，0,0）,A1（0，0,1)，C1（0，1,1），所以错误!（1，0,1）
7、，错误!（0，1，1)，cos错误!错误!.答案：A 12在直角坐标系xOy中，设A(2,2)，B（2，3),沿y轴把坐标平面折成 120的二面角后，AB的长是（)A.错误!B6 C3错误!D.错误!解析：过A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|错误!2，错误!2，错误!|5，错误!，错误!60,所以错误!2（错误!错误!错误!)2 AC2错误!2错误!22错误!错误!2错误!错误!2错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -9-4254222cos600037。错误!错误!。故选 A.答案：A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上)13已知a（
8、3，6，6)，b(1，3,2)为两平行平面的法向量,则_.解析：由题意知ab，错误!错误!错误!，解得2.答案:2 14正方体ABCD.A1B1C1D1的棱长为 1,若动点P在线段BD1上运动，则错误!错误!的取值范围是_ 解析:如图所示，由题意，设错误!错误!，其中0，1，错误!错误!错误!（错误!错误!)错误!（错误!错误!）错误!2错误!错误!1错误!错误!10，1 因此DC错误!的取值范围是0,1 答案：0,1 学必求其心得，业必贵于专精 -10-15 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则线段CE与DF长度和的值等
9、于_ 解析：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx,DFy，则易知E(x，1，1），B1（1,1,0），F（0,0,1y），B(1，1，1)，则错误!（x1，0，1)，错误!(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需B1EFB,即错误!错误!(1,1，y）(x1，0，1）0，得xy1.答案：1 学必求其心得，业必贵于专精 -11-16如图,BCD与MCD都是边长为 2 的正三角形，平面MCD平面BCD,AB平面BCD，AB2错误!。求点A到平面MBC的距离_.解析:取CD的中点O,连接OB，OM,则OBCD，OMCD，又平面M
10、CD平面BCD，所以MO平面BCD。以O为坐标原点，直线OC，BO,OM分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图 因为BCD与MCD都是边长为 2 的正三角形，所以OBOM错误!，则O(0,0，0),C（1,0，0)，M(0,0，错误!）,B(0，错误!，0），A（0,错误!，2错误!），所以错误!(1,错误!,0），错误!（0，错误!，错误!）,错误!（0，0，2错误!)设平面MBC的法向量为n(x，y，z），由错误!得错误!即错误!取x错误!，可得平面MBC的一个法向量为n（3，1,1)学必求其心得，业必贵于专精 -12-又错误!（0,0,2错误!），所以所求距离d错误!错误
11、!。答案：错误!三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17(10 分)已知a（x，4,1），b（2，y,1）,c（3,2，z）ab，bc，求：(1)a，b，c；（2)ac与bc夹角的余弦值 解析：(1）因为ab,所以错误!错误!错误!，解得x2，y4，则a(2，4,1）,b（2，4，1）又bc,所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3,2,2）（2)由(1)得ac(5,2，3），bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此 cos错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -13-18（12 分)在空间四边形ABCD中,G为BCD的重心,
12、E，F分别为边CD和AD的中点,试化简错误!错误!错误!错误!错误!，并在图中标出化简结果的向量 解析：G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，错误!错误!错误!.又12错误!错误!(错误!错误!)12错误!错误!错误!错误!错误!错误!,AG，错误!错误!错误!错误!AG错误!错误!错误!（如图所示)学必求其心得，业必贵于专精 -14-19（12 分)已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABDC，DAB90。，PD底面ABCD，且PDDACD2AB2，M点为PC的中点（1）求证：BM平面PAD；(2）在平面PAD内找一点N,使MN平面PBD。解析：(1）证明：PD底面ABCD，CDAB，C
13、DAD.以D为原点，DA,DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz（如图所示)由于PDCDDA2AB2。所以D(0，0,0），A(2,0,0），B（2,1,0)，C（0,2,0)，P（0，0，2），M（0,1,1），错误!（2,0，1),错误!（0,2，0)，错误!平面PAD，学必求其心得，业必贵于专精 -15-错误!是平面PAD的法向量，且错误!错误!0.又BM 平面PAD.BM平面PAD.（2）设N(x，0，z)是平面PAD内一点，则错误!(x，1,z1)，错误!(0，0,2),错误!(2，1,0)，若MN平面PBD,则错误!错误!即错误!在平面PAD内存在点N错误!，使
14、MN平面PBD。20(12分)如图所示，在平行六面体ABCD.A1B1C1D1中，面ABCD与面D1C1CD垂直,且D1DC错误!，DCDD12，DA错误!,ADC错误!，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值 解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(错误!,0,0），D1（0,1，错误!)，C(0,2，0)，D(0,0，0)学必求其心得，业必贵于专精 -16-由错误!错误!得A1(错误!，1,错误!）错误!（错误!，1，错误!）错误!（错误!，1,错误!）cos错误!，错误!错误!错误!错误!.异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为17。21（12 分)如图，在四棱锥P。ABCD中
15、，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1）求证：EFCD；（2)求DB与平面DEF所成角的正弦值 解析：（1)证明：以D为坐标原点,DA,DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图Dxyz.设ADa，则D（0,0，0)，A（a，0，0)，B(a，a,0），C(0，a，学必求其心得，业必贵于专精 -17-0)，E错误!,P(0，0，a)，F错误!.错误!错误!错误!（0，a，0）0。错误!错误!，EFCD.（2）设平面DEF的法向量为n（x，y,z),则错误!即错误!即错误!取x1，则y2，z1，n(1，2,1），cos错误!，n错
16、误!错误!错误!.设DB与平面DEF所成角为,则 sin错误!。22(12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图,在阳马P。ABCD中，侧棱PD底面ABCD,且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE,DF，BD，BE.学必求其心得，业必贵于专精 -18-（1）证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）;若不是，说明理由；（2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为错误!，求错误!的值 解析:（1）因为PD底面ABCD,所以PDBC,由底面
17、ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD。而DE 平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC。而PCBCC，所以DE平面PBC。而PB 平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF。由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形，即四面体DBEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB，DEF,EFB，DFB.（2）如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与 平 面ABCD的交线由(1）知，PB平面DEF，所以PBDG。学必求其心得，业必贵于专精 -19-又因为PD底面ABCD，所以PDDG。而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1,BC，有BD错误!，在 RtPDB中，由DFPB,得DPFFDB错误!,则 tan错误!tanDPF错误!错误!错误!，解得错误!。所以DCBC错误!错误!.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为错误!时，错误!错误!.