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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2 三角形中的几何计算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系(易混点）2 掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题(重点）3 深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的应用（难点)4 了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力.1。通过三角形中的几何计算培养数学运算素养 2通过三角形中的几何计算培养逻辑推理素养.三角形中的几何计算 阅读教材 P54P55“练习”以上部分完成下列问题（1)三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积
2、问题 学必求其心得，业必贵于专精 -2-(2）在ABC中，有以下常用结论：abc,bca，cab；abABsin_Asin_B；ABC，错误!错误!错误!；sin（AB)sin_C,cos(AB）cos_C，sin错误!cos错误!,cosAB2sin错误!。思考：(1）若角A是三角形ABC中最大的角,则角A的范围是什么？提示 错误!A。(2）在ABC中,若A错误!，则角B的取值范围是什么？提示 0B错误!。1 在ABC中,a2，A30，则ABC外接圆的半径为(）A4 B2 C2错误!D错误!B 由正弦定理得 2R错误!错误!4，故R2.2 在ABC中，若a7，b3,c8，则ABC的面积等于（
3、）学必求其心得，业必贵于专精 -3-A12 B错误!C28 D6错误!D 由余弦定理可得cos A错误!，A60,所以SABC错误!bcsin A6错误!。3已知ABC的面积为错误!,且b2，c错误!，则()AA30 BA60 CA30或 150 DA60或 120 D 由SABC错误!bcsin A错误!，得错误!sin A错误!，sin A错误!,由 0A180，知A60或A120.4在ABC中,三边a，b，c与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A为_ 45 因为a2b2c22bccos A，又已知a24Sb2c2，故S错误!bccos A错误!bcsin A，从而 sin Acos
4、A,tan A1,A45。计算线段的长度和角度【例 1】在ABC中，已知B30，D是BC边上的一点，学必求其心得，业必贵于专精 -4-AD10,AC14，DC6.(1)求ADC的大小；（2）求AB的长 解(1)在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得 cosADC错误!错误!错误!，ADC120。（2）由(1）知ADB60,在ABD中，AD10,B30,ADB60，由正弦定理得错误!错误!，AB错误!错误!错误!10错误!.求线段的长度与角度的方法（1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长,解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解;学必求其心得，业必贵于专精 -5
5、-（2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用ABC 求解 1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10,AB14，BDA60，BCD135，求BC的长 解 在ABD中，由余弦定理,得AB2AD2BD22ADBDcosADB,设BDx，则有 142102x2210 xcos 60，x210 x960，x116，x26（舍去)，BD16。在BCD中，由正弦定理知错误!错误!，BC错误!sin 308错误!.三角形中与面积 有关的问题【例 2】ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，学必求其心得，业必贵于专精 -6-已知 sin A错误!cos A0，a
6、2错误!，b2。（1)求c；(2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积 解(1）由已知可得 tan A错误!，所以A错误!.在ABC中，由余弦定理得 284c24ccos23,即c22c240。解得c6(舍去)，c4.（2)由题设可得CAD错误!，所以BADBACCAD错误!。故ABD面积与ACD面积的比值为 错误!1。又ABC的面积为错误!42sinBAC2错误!,所以ABD的面积为错误!.三角形面积公式的应用（1）三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已知或可学必求其心得，业必贵于专精 -7-求，或三角形中哪个角的正弦值可求（2)在解决三角形问题时，面积公式S错误!absin
7、C错误!acsin B错误!bcsin A最常用,因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用 2在ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b,c是三内角对应的三边，已知b2c2a2bc若a13，且ABC的面积为33，求bc的值 解 cos A错误!错误!错误!,又A为三角形内角，所以A错误!。由面积公式得：错误!bcsin错误!3错误!，即bc12。因为a错误!，由余弦定理得:b2c22bccos313，即b2c2bc13，则b2c225，所以(bc）249，故bc7。正、余弦定理与三角恒 学必求其心得，业必贵于专精 -8-等变换的综合应用 探究问题 1在ABC中有哪些常用
8、的结论？（三条即可）提示(1)sin（AB)sin C;（2）sin错误!cos错误!；(3)cos(AB)cos C 2在ABC中，如何用 sin A，cos A，sin B，cos B表示 sin C？提示 sin Csin（AB)sin Acos Bcos Asin B【例 3】在ABC中，角A,B，C所对的边分别是a，b，c，且错误!错误!错误!.(1）证明：sin Asin Bsin C；（2)若b2c2a265bc，求 tan B 解(1)证明 根据正弦定理,可设 错误!错误!错误!k（k0），则aksin A，bksin B，cksin C,代入错误!错误!错误!中，有 错误!错
9、误!错误!，变形可得 学必求其心得，业必贵于专精 -9-sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB）在ABC中，由ABC，有 sin(AB)sin（C）sin C所以 sin Asin Bsin C（2)由已知，b2c2a2错误!bc,根据余弦定理，有 cos A错误!错误!。所以 sin A错误!错误!。由（1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B,所以错误!sin B错误!cos B错误!sin B 故 tan B错误!4.1（变结论）在例 3 中,若a2，求ABC的面积 解由例 3(2）解答可知错误!sin B错误!cos B错误
10、!sin B，即 cos B错误!sin B,又 sin2Bcos2B1，解得 sin B错误!，由正弦定理得basin Bsin A错误!,则SABC错误!absin C错误!absin Asin B错误!2错误!错误!错误!错误!.2（变条件)把例 3 的条件变为“cos 2Ccos 2A2sin错误!sin错误!”,学必求其心得，业必贵于专精 -10-(1)求角A的值；（2）若a错误!且ba，求 2bc的取值范围 解（1)由已知得 2sin2A2sin2C 2错误!，化简得 sin A错误!，因为A为ABC的内角，所以 sin A错误!，故A错误!或错误!。（2)因为ba，所以A错误!。
11、由正弦定理得bsin B错误!错误!2，得b2sin B，c2sin C，故 2bc4sin B2sin C 4sin B2sin错误!3sin B错误!cos B2错误!sin错误!.因为ba，所以错误!B错误!，则错误!B错误!错误!，所以 2bc23sin错误!错误!，2错误!)正、余弦定理综合应用技巧(1）理清题目所给条件，利用正、余弦定理沟通三角形中的边与角之间的数量关系；（2）紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变学必求其心得，业必贵于专精 -11-换，将复杂的三角式或代数式转化为简单问题来计算或证明 1正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化
12、变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决解决时抓住两点:合理的运用题目中的三角形资源，尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决 2三角形面积计算的解题思路 对于此类问题，一般要用公式S错误!absin C错误!bcsin A错误!acsin B进行求解，可分为以下两种情况：(1）若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积（2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解 1判断正误(正确的打“”，错误的打“）（1)若ABC的外接圆半径为R，其三边长为a,b，c，则ABC的面积S错误!.
13、（）（2)存在ABC，使 sin Asin Bsin C（）学必求其心得，业必贵于专精 -12-（3）在ABC中，cos C2sin2错误!1.()答案(1)（2)(3）提示（1)，(3)正确，(2）错误因为abc，由正弦定理可得 sin Asin Bsin C 2 在ABC中，周长为 7。5 cm，且 sin Asin Bsin C456，下列结论:abc456；abc2错误!错误!；a2 cm,b2.5 cm，c3 cm；ABC456。其中成立的个数是（)A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 C 由正弦定理知abc456，故对，错,错;结合abc7。5，知a2,b2。5，c3,对，选 C 3ABC的两边长分别为 2，3，其夹角的余弦值为错误!，则其外接圆的半径为（)A错误!B错误!C错误!D9错误!学必求其心得，业必贵于专精 -13-C 设a2,b3，cos C错误!，则c2a2b22abcos C49223139，即c3，又由 cos C错误!得 sin C错误!,则 2R错误!错误!错误!，R错误!。4如图所示，在ABC中，ABAC2,BC2错误!，点D在BC边上，ADC45,求AD的长度 解 在ABC中，由余弦定理，有 cos C错误!错误!错误!，则C30.在ACD中，由正弦定理，有 错误!错误!，AD错误!错误!错误!，即AD的长度等于2。