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1、-1-22三角形中的几何计算三角形中的几何计算 课后篇巩固探究巩固探究 1 1.在ABC中,若A=105,B=30,BC=,则角B的平分线的长是()A.B.2 C.1 D.解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在BCD中,BDC=120,BCD=45,BC=,由正弦定理可知BD=1.答案:C 2 2.在ABC中,若AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.B.C.D.解析:如图,在ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 7=AB2+4-22AB.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3 或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=ABsin B=
2、3sin 60=.答案:B 3 3.若ABC的周长等于 20,面积是 10,A=60,则BC边的长是()A.5 B.6 C.7 D.8-2-解析:在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bcsin A,得 10bcsin 60,即bc=40.又周长为 20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bccos 60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C 4 4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A=acos C.当
3、sin A-cos取最大值时,A的大小为()A.B.C.D.解析:由正弦定理得 sin Csin A=sin Acos C.因为 0A0,从而 sin C=cos C.又 cos C0,所以 tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cossin A-cos(-A)=sin A+cos A=2sin.因为 0A,所以A+,所以当A+,即A=时,2sin取最大值 2.答案:A 5 5.导学号 33194042 在ABC中,若C=60,c=2,周长为 2(1+),则A为()-3-A.30 B.45 C.45或 75 D.60 解析:根据正弦定理,得 2R=,所以 sin A+sin B
4、+sin 60=,所以 sin A+sin B=,即 sin A+sin(A+C)=sin(A+60)+sin A=sin(A+30)=sin(A+30)=,所以A+30=75或A+30=105,所以A=45或A=75.答案:C 6 6.已知三角形的一边长为 7,这条边所对的角为 60,另两边之比为 32,则这个三角形的面积是.解析:设另两边分别为 3x,2x,则 cos 60=,解得x=,故两边长为 3和 2,所以S=32sin 60=.答案:7 7.已知在ABC中,AC=2,AB=3,BAC=60,AD是ABC的角平分线,则AD=.解析:如图,SABC=SABD+SACD,所以32sin
5、60=3ADsin 30+2ADsin 30,所以AD=.答案:8 8.在ABC中,若AB=a,AC=b,BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,-4-BAC=.解 析:设 BAC=,则BC2=a2+b2-2abcos.S四边形ABDC=SABC+SBCD=absin+BC2=(a2+b2)+absin(-60),即当BAC=150时,S四边形ABDC取得最大值.答案:150 9 9.已知ABC的一个内角为 120,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则ABC的面积为.解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4 的边所对的角为 120.由余弦定理得(a+4)2=a2
6、+(a-4)2-2a(a-4)cos 120,则a=10,所以三边长为 6,10,14,SABC=610sin 120=15.答案:15 1010.已知ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 2a+3c=0 0,则sin Asin Bsin C=.解析:因为G是ABC的重心,所以=0 0,又 2a+3c=0 0,所以 2a-3c()=0 0,即(2a-3c)+(b-3c)=0 0,则所 以a b c=322,由正弦定理,得 sin Asin Bsin C=322.答案:322 1111.导学号 33194043(2017 全国 2 高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a
7、,b,c.已知 sin(A+C)=8sin2.(1)求 cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为 2,求b.解(1)由题设及A+B+C=,得 sin B=8sin2,故 sin B=4(1-cos B).-5-上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0,解得 cos B=1(舍去),cos B=.(2)由 cos B=得 sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.1212.导学号 33194044(2017 全国 3 高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解(1)由已知可得 tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.