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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 3 课时 三角形中的几何计算 学 习 目 标 核 心 素 养 1。掌握三角形的面积公式的应用(重点）.2。掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养。2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养。1三角形的面积公式（1)S错误!aha错误!bhb错误!chc(ha，hb，hc分别表示a,b，c边上的高）；（2）S错误!absin C错误!bcsin A错误!casin B；（3）S错误!（abc）r(r为内切圆半径）思考：(1）三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2）已知三角形的
2、两个内角及一边能求三角形的面积吗？提示(1)适用 三角形的面积公式对任意的三角形都成立(2)能利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解 2三角形中常用的结论 学必求其心得，业必贵于专精 -2-(1)ABC，错误!错误!错误!；(2）在三角形中大边对大角，反之亦然;（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边;(4）三角形的诱导公式 sin（AB)sin C,cos(AB)cos C,tan(AB)tan C错误!,sin 错误!cos 错误!，cos 错误!sin 错误!1下列说法中正确的是_(填序号)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r,则三角形的面积S
3、(abc)r；在ABC中，若cb2，SABC3，则A60；在ABC中，若a6,b4，C30,则SABC的面积是 6；在ABC中,若 sin 2Asin 2B，则AB.中三角形的面积S错误!（abc）r。由S错误!bcsin A可得 sin A错误!，A60或 120。在ABC中由 sin 2Asin 2B得AB或AB错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -3-2在ABC中，a6,B30，C120,则ABC的面积为_ 9错误!由题知A1801203030,由错误!错误!知b6，S错误!absin C18错误!9错误!.3在ABC中，ab60，SABC153，ABC的外接圆半径为3，则边c的长为_
4、3 由题知SABC12absin C15错误!得 sin C错误!.又由错误!2R得c2错误!错误!3。三角形面积的计算【例 1】在ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b,c，B3，cos A错误!，b错误!.（1)求 sin C的值；(2）求ABC的面积 解(1)角A,B，C为ABC的内角，且B错误!，cos A错误!,C错误!A，sin A错误!。sin Csin错误!错误!cos A错误!sin A错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -4-（2）由(1)知 sin A35,sin C错误!.又B错误!，b错误!，在ABC中，由正弦定理得a错误!错误!。ABC的面积S错误!absin C
5、错误!错误!错误!错误!错误!.1由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知,常选择已知的那个面积公式 2如果已知两边及其夹角可以直接求面积,否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算 1在锐角ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b，c，若 sin A错误!,a3,SABC2错误!,则b的值为()A6 B3 C2 D2 或 3 D 因为SABC错误!bcsin A2错误!，所以bc6，又因为 sin A错误!，所以 cos A错误!，又a3，由余弦定理得 9b2c22bccos Ab2c24，b2c213,可得学必求其心得，业必贵于专精
6、 -5-b2 或b3.三角恒等式证明问题【例 2】在ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b,c。证明：错误!错误!。思路探究:由左往右证,可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开 证明 法一：（边化角)由余弦定理 a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，整理得:错误!错误!。依正弦定理有错误!错误!，错误!错误!，错误!错误!错误!。法二：（角化边）错误!错误!错误!错误!错误!.1三角恒等式证明的三个基本原则（1)统一边角关系（2）由繁推简（3）目标明确，等价转化 学必求其心得，业必贵于专精 -6-2三角恒等式证明的
7、基本途径(1）把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形（2）把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形 2在ABC中，求证：错误!错误!.证明 由正弦定理得右边 错误!错误!错误!错误!错误!左边 原等式成立.解三角形中的综合问题 探究问题 1。如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，B是哪些三角形的内角？提示 在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段AD是ADC与ABD的公共边，B既是ABC学必求其心得，业必贵于专精 -7-的内角，又是ABD的内角 2在探究 1 中,若 sin Bsin ADB，则
8、ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知ADB，ABm，DCn，如何求出AC？提示 若 sin Bsin ADB，则ABD为等腰三角形，在此条件下，可在ABD中先求出AD,然后利用余弦定理在ADC中求出AC,也可以在ABD中先求出BD,然后在ABC中，利用余弦定理求出AC。【例 3】在ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c，已知A错误!，bsin错误!csin错误!a。(1）求证:BC2;(2)若a错误!，求ABC的面积 思路探究:（1)先由正弦定理化边为角,再化简已知三角形即证(2)结合第（1）问可直接求出B，C，再利用面积公式求值;也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求
9、值，最后用面积公式求解 解(1）证明：由bsin错误!csin错误!a，应用正弦定理，学必求其心得，业必贵于专精 -8-得 sin Bsin错误!sin Csin错误!sin A，所以 sin B错误!sin C(错误!sin B错误!cos B)错误!，整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1,因为 0B错误!，0C错误!,从而BC错误!。(2）因BCA错误!,所以B错误!，C错误!。由a错误!，A错误!得b错误!2sin 错误!,c错误!2sin 错误!，所以ABC的面积S错误!bcsin A错误!sin 错误!sin 错误!错误!cos 错误!sin 错误
10、!错误!。(变条件,变结论)将例题中的条件“A错误!，bsin错误!csin错误!a改为“ABC的面积S错误!(a2b2c2）”求:（1）角C的大小;（2)求 sin Asin B的最大值 解（1）由题意可知12absin C错误!2abcos C。所以 tan C错误!，因为 0C,所以C错误!。(2）由已知 sin Asin Bsin Asin错误!sin Asin错误!sin A错误!cos A错误!sin A 学必求其心得，业必贵于专精 -9-错误!sin错误!错误!错误!，当A错误!，即ABC为等边三角形时取等号 所以 sin Asin B的最大值为错误!.1解三角形综合问题,除灵活
11、运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键 2三角形问题中,涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用 处理三角形问题时常用的公式(1）labc（l为三角形的周长)(2)ABC。(3)三角形内切圆的半径：r错误!。特别地，当ABC为 直角三角形，c为斜边时，r错误!。（4)三角形的面积S错误!，这里p错误!(abc)，这就是著名的海伦一秦九韶公式(5）三角形的面积S错误!2R2sin Asin Bsin C(R为ABC外接学必求其心得，业必贵于专精 -10-圆的半径）1判断正误(1)公式S错
12、误!absin C适合求任意三角形的面积（）(2）三角形中已知三边无法求其面积(）(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积（)答案（1）（2)(3)提示 已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错 2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若 cos C错误!，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为（)A4 B8 C9 D36 C 由余弦定理及题意得bb2c2a22bcaa2c2b22ac2，即错误!2,整理得c2，由 cos C错误!得 sin C错误!,再由正弦定理可得 2R错误!6，所以ABC的外接圆面积为 R29.3在ABC中，已知B错
13、误!，D是BC边上一点，AD10,AC14，DC6，则AB的长为_ 学必求其心得，业必贵于专精 -11-5错误!在ADC中，AD10，AC14，DC6，cosADC错误!错误!错误!.又ADC（0,），ADC错误!，ADB错误!。在ABD中，由正弦定理得错误!错误!，AB错误!错误!5错误!。4已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C。(1)若ab，求 cos B；(2）设B90，且a错误!,求ABC的面积 解(1）由题设及正弦定理可得b22ac。又ab，可得b2c，a2c。由余弦定理可得 cos B错误!错误!.（2)由(1）知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2,故a2c22ac，进而可得ca错误!.所以ABC的面积为错误!错误!错误!1.学必求其心得，业必贵于专精 -12-