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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 解三角形 利用正、余弦定 理解三角形【例 1】在ABC中，A60，c错误!a（1）求 sin C的值;(2）若a7,求ABC的面积 解（1）在ABC中,因为A60，c37a，所以由正弦定理得 sin C错误!错误!错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -2-（2）因为a7，所以c37a错误!73,由余弦定理a2b2c22bccos A得 72b2322b3错误!，解得b8 或b5(舍去），所以ABC的面积S错误!bcsin A错误!83错误!6错误!.解三角形的四种类型 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角（如a,B，C）正弦定理 由ABC
2、180，求角A；由正弦定理求出b与c,在有解时只有一解。两边和夹角（如a，b,C）余弦定理、正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由ABC180求出另一角，在有解时只有一解 学必求其心得，业必贵于专精 -3-三边（a，b，c)余弦定理 由余弦定理求出角A,B；再利用ABC180求出角C，在有解时只有一解 两边和其中一边的对角（如a，b，A)正弦定理、余弦定理 由正弦定理求出角B；由ABC180求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解。1（1）在ABC中,B错误!，BC边上的高等于错误!BC,则 cos A（）A错误!B错误!C错误!D错误!(2)在A
3、BC中，若三边的长为连续整数,且最大角是最小角的二倍，求三边长（1）C 设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c,由题意可得错误!acsin错误!错误!c，则a错误!c 在ABC中，由余弦定理可得 学必求其心得，业必贵于专精 -4-b2a2c2错误!ac错误!c2c23c2错误!c2，则b错误!C 由余弦定理,可得 cos A错误!错误!错误!.（2）解 设最小内角为，三边长为n1，n，n1,由正弦定理，得错误!错误!，所以n1n12cos，所以 cos 错误!。由余弦定理的变形公式,得 cos 错误!,所以错误!错误!,解得n5.所以ABC的三边分别为 4，5,6.判断三角形的形状【例
4、2】在ABC中，若bcos Cccos B错误!，试判断ABC的形状 解 由已知错误!错误!错误!错误!得错误!错误!，以下可有两种解法：法一：(利用正弦定理边化角）由正弦定理得错误!错误!，学必求其心得，业必贵于专精 -5-错误!错误!，即 sin Ccos Csin Bcos B，即 sin 2Csin 2B，B、C均为ABC的内角，2C2B或 2C2B180.BC或BC90,ABC为等腰三角形或直角三角形 法二：（利用余弦定理角化边)由余弦定理得错误!错误!，即a2（b2c2)(b2c2）（b2c2)，解得a2b2c2或b2c2(即bc）,ABC为等腰三角形或直角三角形 1利用正弦定理、
5、余弦定理判断三角形的形状的两种方法 法一:通过边之间的关系判断形状;法二：通过角之间的关系判断形状 利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系 学必求其心得，业必贵于专精 -6-2判断三角形的形状时常用的结论（1)在ABC中，ABabsin Asin B cos Acos B（2)在ABC中，ABC,ABC，则 cos(AB）cos C，sin（AB)sin C（3)在ABC中，a2b2c2错误!C，a2b2c2cos C0C错误!，a2b2c2cos C00C错误!.2若ABC的三个内角满足 sinAsinBsinC51113，则ABC(）A一定是锐角三
6、角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 C 根据正弦定理错误!错误!错误!，又 sin Asin Bsin C51113，abc51113，设a5t,b11t，c13t(t0)，c2a2b22abcos C，cos C错误!错误!错误!0，学必求其心得，业必贵于专精 -7-角C为钝角故选 C 三角形中的几何计算【例 3】在四边形ABCD中，BCa，DC2a，且AABCCADC37410,求AB的长 解 如图所示，连接BD AABCCADC360，A45，ABC105，C60，ADC150，在BCD中，由余弦定理，得 BD2BC2CD22BCCDco
7、s C a24a22a2acos 603a2，BD3A BD2BC2CD2，CBD90，ABD15，BDA120。学必求其心得，业必贵于专精 -8-在ABD中,由ABsinBDA错误!，得AB 错误!错误!错误!A 解决三角形中的几何计算问题要注意把握三点：一是对几何图形中几何性质的挖掘，它往往是解题的切入点；二是根据条件或图形，找出已知、未知及求解中需要的三角形，合理利用正、余弦定理和三角恒等变换公式；三是要有应用方程思想解题的意识,同时还要有引入参数,突出主元,简化问题的解题意识 3如图所示，已知MON60，Q是MON内一点，它到两边的距离分别为 2 和 11，求OQ的长 解 作QAOM于
8、A，QBON于B，连接AB，则QA2，QB11，且O，A，Q，B都在以OQ为直径的圆上 学必求其心得，业必贵于专精 -9-AOB和AQB为同一弦AB所对的圆周角，且两角互补 AOB60，AQB120。在AQB中，由余弦定理,得AB2AQ2BQ22AQBQcosAQB 221122211cos120147，AB7错误!.连接OQ,在 RtOBQ中，OQOBsinOQB错误!.又在AOB中,错误!错误!，OQ错误!14.解三角形与平面 向量的综合应用【例 4】在ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c，若错误!错误!错误!错误!1.（1）求证:AB；学必求其心得，业必贵于专精 -10-(2）求
9、边长c的值；(3）若|错误!错误!|错误!，求ABC的面积 解（1）证明:错误!错误!错误!错误!，bccos Aaccos B,即bcos Aacos B 由正弦定理，得 sin Bcos Asin Acos B,sin（AB）0.AB,AB0，即AB（2）错误!错误!1,bccos A1.由余弦定理,得bc错误!1，即b2c2a22。由（1）,得ab，c22,c错误!.(3）错误!错误!|错误!，|错误!|2错误!|22错误!错误!6，即c2b226，c2b24，c22，b22，b错误!.ABC为正三角形 SABC错误!错误!错误!sin 60错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -11-在
10、高考中解三角形问题常与平面向量知识(主要是数量积）结合在一起进行考查判断三角形形状或结合正弦定理、余弦定理求值，这也是高考命题的新趋势 4在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b，c，若 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,且错误!错误!4，求ABC的面积S.解 由已知得b2c2a2bc，bcb2c2a22bccos A,cos A错误!，sin A错误!.由错误!错误!4，得bccos A4,bc8。S错误!bcsin A2错误!.与三角形有关的 综合问题 探究问题 1在ABC中，由a2b2c2ab可得到什么？学必求其心得，业必贵于专精 -12-提示 由a2b2c2ab得
11、错误!错误!，即 cos C错误!，故C120.2 在ABC中，若AB错误!，能否求出 sin Asin B的范围？提示 用角B表示角A得B错误!A，则 sin Asin BsinAsin错误!，化为一个角的三角函数可求其范围【例 5】在ABC中，设角A,B，C的对边分别为a,b，c,已知cos2Asin2Bcos2Csin Asin B（1）求角C的大小；(2)若c错误!，求ABC周长的取值范围 思路探究：（1）利用正弦定理把角转化为边，然后利用余弦定理求角C;(2)利用正弦定理得到周长的表达式化为一个角的三角函数求范围 解（1）由题意知 1sin2Asin2B1sin2Csin Asin
12、B,即 sin2Asin2Bsin2Csin Asin B，由正弦定理得a2b2c2ab,由余弦定理得 cos C错误!错误!错误!,又0C,C23。学必求其心得，业必贵于专精 -13-(2）由正弦定理得错误!错误!错误!2，a2sin A，b2sin B,则ABC的周长为Labc2(sin Asin B)错误!2错误!错误!2sin错误!错误!。0A错误!，错误!A错误!错误!，错误!sin错误!1,2错误!2sin错误!错误!2错误!，ABC周长的取值范围是（2错误!，2错误!1(变结论）例 5 的条件不变,若c2，a错误!，求 sin 2B的值 解 由例 5 的解答可知C错误!，由正弦定
13、理 错误!错误!，即 sin A错误!错误!错误!,由于ca，故A是锐角，cos A错误!错误!，所以 sin 2A2sin Acos A错误!，cos 2A2cos2A1错误!，得 sin 2Bsin 2错误!sin错误!错误!cos 2A错误!sin 2A错误!错误!错误!错误!错误!.2(变条件)把例 5 的条件换为“2ccos B2ab,求角C 解 由正弦定理及 2ccos B2ab得 2sin Ccos B2sin Asin B，因为ABC，学必求其心得，业必贵于专精 -14-所以 sin Asin（BC），则 2sin Ccos B2sin（BC）sin B，即 2sin Bcos Csin B0，又 0B,所以 sin B0，则 cos C错误!，又C(0，）,故C错误!。与三角形有关的综合问题的解法 该类问题以三角形为载体,在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等