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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 1 章 解三角形 利用正、余弦定理解三角形【例 1】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.（1)证明：A2B；(2）若ABC的面积S错误!，求角A的大小 解(1）证明：由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin（AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于学必求其心得，业必贵于专精 -2-是 sin Bsin(AB）又A,B（0，），故 0AB，所以B(AB）或BAB,因此A（舍去)或A2B，所以A2B.（2)由S错误!，得错误!absin C错误
2、!，故有 sin Bsin C错误!sin 2Bsin Bcos B，因为 sin B0，所以 sin Ccos B，又B，C(0，），所以C错误!B.当BC错误!时,A错误!；当CB错误!时，A错误!.综上，A错误!或A错误!。解三角形的一般方法 1已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC 求C,由正弦定理求a，b.2已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角。3已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用学必求其心得，业必贵于专精 -3-正弦定理求B，由ABC 求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可
3、能有多种情况。4已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.1(2019全国卷）ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c.已知asin错误!bsin A.（1)求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围 解(1)由题设及正弦定理得 sin Asin错误!sin Bsin A.因为 sin A0，所以 sin错误!sin B。由ABC180，可得 sin错误!cos错误!,故 cos错误!2sin 错误!cos错误!。因为 cos错误!0，故 sin错误!错误!，因此B60.（2)由题设及（1）知ABC的面积SABC错误!a。由正弦定理得a错误!错误!错误!错误!.
4、由于ABC为锐角三角形,故 0A90,0C90.由（1）知AC120，所以 30C90,故错误!a2,从学必求其心得，业必贵于专精 -4-而错误!SABC错误!。因此,ABC面积的取值范围是错误!。判断三角形的形状【例 2】在ABC中，若B60，2bac,试判断ABC的形状 思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状 解 法一：(正弦定理边化角）由正弦定理，得 2sin Bsin Asin C。B60，AC120.2sin 60sin（120C)sin C.展开整理得错误!sin C错误!cos C1.sin(C30）1.0C
5、120，C3090。C60,则A60.ABC为等边三角形 学必求其心得，业必贵于专精 -5-法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2a2c22accos B.B60，b错误!，错误!2a2c22accos 60,化简得（ac)20。ac。又B60，abc。ABC为等边三角形 根据已知条件通常是含有三角形的边和角的等式或不等式判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系。判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.判断三角形的形状
6、，一般有以下两种途径:将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.学必求其心得，业必贵于专精 -6-2在ABC中，若错误!错误!，试判断ABC的形状 解 由已知错误!错误!错误!错误!,得错误!错误!.可有以下两种解法 法一：(利用正弦定理，将边化角)由正弦定理得错误!错误!，错误!错误!,即 sin Ccos Csin Bcos B，即 sin 2Csin 2B。B，C均为ABC的内角，2C2B或 2C2B180.即BC或BC90。ABC为等腰三角形或直角三角形 法二：(利用余弦定理，将角化边）错误!错误!，由余弦定理得错误!错误!，即(a2b2c
7、2)c2b2(a2c2b2)a2c2c4a2b2b4，即a2b2a2c2c4b40。学必求其心得，业必贵于专精 -7-a2（b2c2)（c2b2)（c2b2)0，即（b2c2）(a2b2c2）0.b2c2或a2b2c20,即bc或a2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形。正、余弦定理的实际应用【例 3】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D。经测量景点D位于景点A的北偏东 30方向上 8 km 处，位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西 75方向上已知AB5 km。（1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑
8、其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C与景点D之间的距离(结果精确到 0。1 km)（参考数据：31。73，sin 750。97，cos 750。26，学必求其心得，业必贵于专精 -8-tan 753。73，sin 530.80，cos 530。60，tan 531。33，sin 380。62，cos 380。79,tan 380。78)思路探究:（1）以BD为边的三角形为ABD和BCD，在ABD中，一角和另外两边易得，所以可在ABD中利用余弦定理求解DB.（2)以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得,而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解 解(1）设BDx km，则在ABD中，由余弦
9、定理得 5282x228xcos 30，即x283x390，解得x4错误!3。因为 4错误!38,应舍去，所以x4错误!33。9，即这条公路的长约为 3。9 km.(2）在ABD中，由正弦定理得ADsinABDABsinADB,所以sinABDsinCBD错误!sinADB错误!0.8，所以 cosCBD0。6。在CBD中,sinDCBsin（CBDBDC）sin(CBD75）0。80。260.60。970。79,由正弦定理得CDsinDBC错误!3。9.故景点C与景点D之间的距离约为 3.9 km.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用。常用学必求其心得，业必贵于专精 -9-的有测
10、量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等。解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.3如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方 20 km和 54 km 处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是 1。5 km/s.(1)设A到P的距离为x km,用x表示B，C到P的距离,并求x的值；(
11、2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到 0.01 km）解（1）由题意得PAPB1.5812（km)，PCPB1。52030(km)PBx12,PC18x.学必求其心得，业必贵于专精 -10-在PAB中,AB20 km，cosPAB错误!错误!错误!。同理 cosPAC错误!.cosPABcosPAC，错误!错误!，解得x错误!。(2）作PDa于D，在 RtPDA中,PDPAcosAPDPAcosPABx错误!错误!17.71(km)所以静止目标P到海防警戒线a的距离为 17.71 km。与三角形有关的综合问题 探究问题 1如图所示，向量错误!与错误!的夹角是B吗？在ABC中，两向量AB
12、，错误!的数量积与余弦定理有怎样的联系？提示 向量错误!与错误!的夹角是B的补角，大小为 180B，学必求其心得，业必贵于专精 -11-由于错误!错误!|错误!错误!cos Abccos A。所以错误!错误!bccos A错误!（b2c2a2),有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题 2在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,两种方法有什么利弊呢？提示 用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角,避免讨论
13、【例 4】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知错误!错误!2，cos B错误!，b3.求：（1）a和c的值；（2)cos(BC)的值 思路探究：（1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解（2）由(1）结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解 解（1）由错误!错误!2 得cacos B2。学必求其心得，业必贵于专精 -12-又 cos B错误!，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B。又b3，所以a2c2926错误!13。解错误!得错误!或错误!因为ac，所以a3，c2。（2)在ABC中，sin B错误!错
14、误!错误!，由正弦定理,得 sin C错误!sin B错误!错误!错误!。因为abc，所以C为锐角，因此 cos C错误!错误!错误!.于是 cos（BC）cos Bcos Csin Bsin C 错误!错误!错误!错误!错误!.1（变条件，变结论)将本例中的条件“ac，错误!错误!2,cos B错误!,b3”变为“已知SABC30 且 cos A错误!”求错误!错误!的值 解 在ABC中，cos A错误!,A为锐角且 sin A错误!，SABC错误!bcsin A错误!bc错误!30。学必求其心得，业必贵于专精 -13-bc156。错误!错误!错误!错误!|cos A bccos A156错
15、误!144.2(变条件，变结论)在“母题探究 1中再加上条件“cb1”能否求a的值？解 由余弦定理得a2b2c22bccos A（bc)22bc（1cos A)12156错误!25，a错误!5。正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.1解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解。2解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解。学必求其心得，业必贵于专精 -14-