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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 1 章 三角函数 任意角的三角函数概念 （1)已知角的终边过点P（4m,3m)(m0)，则 2sin cos 的值是_(2）函数y错误!错误!的定义域是_ 思路点拨：（1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负（2)利用三角函数线求解（1）错误!或错误!（2）错误!（1)r|OP错误!5m.当m0 时，sin 错误!错误!错误!，cos 错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -2-错误!,2sin cos 错误!.当m0 时，sin 错误!错误!错误!,cos 错误!错误!错误!，2sin cos 错误!。故 2sin cos 的值是25或错误!.(2
2、)由错误!得错误!如图,结合三角函数线知：错误!解得 2kx2k错误!(kZ)，函数的定义域为 错误!.三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：1任意角和弧度制。理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.2任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助学必求其心得，业必贵于专精 -3-三角函数线求三角函数的定义域。1(1)已知角的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴若角的终边经过点P(3，y)，且 sin 错误!y（y0)，判断角所在的象限，并求 cos 和 tan 的值;（2）若角的终边在直线y3x上,求 10s
3、in 3cos 的值 解 (1)依题意,点P到原点O的距离为|PO错误!，sin yr错误!错误!y.y0,93y216,y2错误!，y错误!.点P在第二或第三象限 当点P在第二象限时，y错误!，cos 错误!错误!，tan 错误!.当点P在第三象限时，y错误!，cos 错误!错误!，tan 错误!.（2）设角终边上任一点为P（k,3k)（k0）,则r错误!错误!错误!|k.当k0 时，r错误!k。学必求其心得，业必贵于专精 -4-sin 错误!错误!，错误!错误!错误!。10sin 错误!3错误!3错误!0。当k0 时，r10k。sin 错误!错误!，错误!错误!错误!.10sin 错误!3
4、错误!3错误!0。综上,10sin 错误!0.同角三角函数的基本关系与诱导公式 已知关于x的方程 2x2（错误!1）xm0的两根为sin,cos，(0，2）求：(1)错误!错误!;(2）m的值；（3)方程的两根及此时的值 思路点拨：先利用根与系数的关系得到 sin cos 与sin cos，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解 解 由根与系数的关系，得 sin cos 错误!,sin cos 错误!。(1)原式错误!错误!错误!错误!错误!错误!sin cos 错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -5-（2)由 sin cos 错误!，两边平方可得 12sin cos 错误!,12错误!1
5、错误!，m错误!.（3）由m错误!可解方程 2x2（错误!1）x错误!0,得两根12和错误!。错误!或错误!（0,2），错误!或错误!.同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧:1化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形。2化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形。3“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数 1,常数 1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将 1 代换为三角函数式。2已知f()错误!。（1）化简f
6、（)；学必求其心得，业必贵于专精 -6-(2)若f（)错误!，且错误!错误!,求 cos sin 的值;（3）若错误!,求f()的值 解（1)f()sin2cos tan sin tan sin cos.(2)由f（）sin cos 错误!可知，（cos sin）2cos22sin cos sin2 12sin cos 12错误!错误!。又错误!错误!，cos 0，A0，0错误!的周期为，f错误!错误!1,且f（x）的最大值为 3。（1）写出f(x)的表达式；（2）写出函数f(x）的对称中心，对称轴方程及单调区间；学必求其心得，业必贵于专精 -7-(3）求f(x)在区间错误!上的最大值和最小值
7、 思路点拨：(1）由T错误!求，由f(x)的最大值为 3 求A,由f错误!31，求.(2）把x看作一个整体，结合ysin x的单调区间与对称性求解(3）由x错误!求出x的范围,利用单调性求最值 解（1)T，错误!2。f（x)的最大值为 3,A2。f（x)2sin（2x）1.f错误!错误!1，2sin错误!1错误!1，cos 错误!。0错误!，错误!.f(x）2sin错误!1.(2)由f（x）2sin错误!1,令 2x错误!k，得x错误!错误!（kZ)，对称中心为错误!(kZ）学必求其心得，业必贵于专精 -8-由 2x错误!k错误!，得x错误!错误!（kZ）,对称轴方程为x错误!错误!（kZ）由
8、 2k错误!2x错误!2k错误!,得k错误!xk错误!(kZ)，f(x)的单调增区间为错误!(kZ)由 2k错误!2x错误!2k错误!,得k错误!xk错误!（kZ)，f（x）的单调减区间为错误!（kZ）(3)当 0 x错误!时,错误!2x错误!错误!，错误!sin错误!1，f(x）在错误!上的最大值为 3,最小值为 0。三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现。在平时的考查中,主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：1用“五点法”作yAsinx的图象时,确定五个关键点的方法是分别令错误!2对于yAsinx的
9、图象变换,应注意先“平移”后学必求其心得，业必贵于专精 -9-“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别。3已知函数图象求函数yAsinxA0，0的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.3函数f（x）cos（x）0错误!的部分图象如图所示（1）求及图中x0的值;(2）设g（x）f（x)fx错误!，求函数g（x）在区间错误!上的最大值和最小值 解（1)由题图得f（0)错误!,所以 cos 错误!，因为 0错误!，故错误!.由于f(x)的最小正周期等于 2，所以由题图可知 1x02.故错误!x0错误!错误!，由f(x0)错误!得 cos错误!错误!，所以 x0错误!错误!，x0错误!.(2）因为f错误!
10、cos错误!cos错误!sin x,所以g(x）f(x）f错误!cos错误!sin xcos xcos 错误!sin xsin 错误!sin x错误!cos x错误!sin xsin x错误!cos x错误!sin x3sin错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -10-当x错误!时,错误!错误!x错误!。所以错误!sin错误!1，故6x错误!，即x错误!时,g(x）取得最大值错误!；当6x错误!,即x错误!时,g（x)取得最小值错误!.数形结合思想 【例 4】已知函数f(x）Asin(x),xR 其中A0，0,|错误!在一个周期内的简图如图所示,求函数g(x)f(x)lg x零点的个数 思路点
11、拨:错误!错误!错误!错误!解 显然A2.由图象过(0,1）点，则f(0)1,即 sin 错误!，又|错误!，则错误!.又错误!是图象上的点，则f错误!0，即 sin错误!0，由图象可知,错误!是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点 学必求其心得，业必贵于专精 -11-错误!错误!2，2，因此所求函数的解析式为f(x）2sin（2x6.在同一坐标系中作函数y2sin错误!和函数ylg x的示意图如图所示：f（x）的最大值为 2,令 lg x2，得x100，令错误!k100（kZ)，得k30（kZ），而错误!31100，在区间（0,100内有 31 个形如错误!（kZ，0k30）的区间,在每个区
12、间上yf(x)与ylg x的图象都有 2 个交点，故这两个函数图象在错误!上有 23162 个交点，另外在错误!上还有 1 个交点，方程f（x)lg x0 共有实根 63 个，函数g(x)f(x）lg x共有 63 个零点 数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.本章中,常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题,是典型的“以形助数 的方法，而利用三角公式证明三角学必求其心得，业必贵于专精 -12-函数中的几何性质问题,又是典型的“以数助形”的解题策略。4若集合M错误!,N错误!，求MN。解 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y错误!的图象，如图.结合图象得集合M，N分别为:M错误!,N错误!。得MN错误!。