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1、暑期辅导练习 4 函数的单调性和最值 一、选择题 1.已知函数)(xf是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列 na是等差数列，01007a，则)()()()()(20132012321afafafafaf的值(A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为 0 (D)可正可负 2.已知0a，下列函数中，在区间a,0上一定是减函数的是（）A.12)(2axxxf B.baxxf)(C.xaxf)(D.xxfalog)(3.设)(xf是定义在正整数集上的函数，且)(xf满足：“当2()f kk成立时，总可推出(1)f k 2)1(k成立”那么，下列命题总成立的是 （）若1)1(f成立，则100)10(
2、f成立 若4)2(f成立，则(1)1f成立 若(3)9f成立，则当1k时，均有2()f kk成立 若(4)25f成立，则当4k时，均有2()f kk成立 4.已知函数()f t是奇函数且是R上的增函数，若yx,满足不等式22(2)(2)f xxf yy，则22xy 的最大值是（）A3 B2 2 C8 D12 5.定义在R上的函数()yf x是减函数，且函数()yf x的图象关于原点成中心对称，若s，t满足不等式22(2)(2)f ssftt则当14s 时，ts的取值范围是（）A1,14 B1,14 C1,12 D1,12 6.设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数当 x0，
3、且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)7.设函数()yf x在(,)内有定义,对于给定的实数k,定义函数(),()(),()f xf xkg xkf xk，设函数()f x=23xxxe,若对任意的(,)x 恒有()()g xf x,则 A.k的最大值为2 B.k的最小值为2 C.k的最大值为2 D.k的最小值为2 8.已知 f(x)=x1,g(x)=x2+(3m+1)x2m(m+1),满足下面两个条件:对任意实数 x,有 f(x)0 或 g(x)0;存在 x(,2),满足 f(x)g(x)0.
4、则实数 m 的取值范围为 （）A.(,1)B.(1,+)C.(1,1)D.(2,0)9.已 知 函 数 2911232(2)(2)xxa xxfxxa，（0a，且1a），若 数 列 na满 足,naf nnN，且 na是递增数列，则实数a的取值范围是（）A0,1 B8,33 C2,3 D1,3 10.已知函数32()4f xxax 在2x 处取得极值，若,1,1m n,则()()f mfn的最小值是 （）A-13 B.-15 C.10 D.15 二、填空题 11.已知()(2)(3)f xm xm xm,()22xg x，若同时满足条件：对于任意xR，()0f x 或()0g x 成立；存在(
5、,4)x ，使得()()0f xg x成立则m的取值范围是 .12.已知函数1()1f xx的定义域为M，函数()2xg x 的值域为N，则MN 13.设 Sn123n，nN*，则函数 f(n)Sn(n32)Sn1的最大值为_ 14.已知函数 f(x)=21xax在(2,+)内单调递减，则实数 a 的取值范围 15.（理）已知函数 lg10 xxf xabab，且221ab，则不等式 0f x 的解集是 16.【文科】若函数xxf3log1)(，则)8(1f .三、解答题 17.（文）已知二次函数 21f xaxaxa。（1）函数 f x在,1 上单调递增，求实数a的取值范围；（2）关于x的不
6、等式 2f xx在1,2x上恒成立，求实数a的取值范围；（3）函数 211axg xf xx在2,3上是增函数，求实数a的取值范围。18.已知Ra，函数|)(axxxf（1）当2a时，写出函数)(xf的单调递增区间（不必证明）；（2）当2a时，求函数)(xfy 在区间2,1 上的最小值；（3）设0a，函数)(xf在区间),(nm上既有最小值又有最大值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）19.（满分 12 分）利用单调性的定义证明函数12)(xxxf在),1(上是减函数，并求函数)(xf在 1,0上的最大值和最小值 20.已知函数1()log(01)1axf xax.（1）求函数()f x的
7、定义域D，并判断()f x的奇偶性；（2）用定义证明函数()f x在D上是增函数；（3）如果当(,)xt a时，函数()f x的值域是,1，求a与t的值.4 函数的单调性和最值试卷答案 1.A 2.A 3.D 4.C 5.D 易 知 函 数 f x是 奇 函 数，又 函 数()yf x是 在R上 的 减 函 数，所 以222(2)(2)(2)f ssfttftt，所以222-2+,()(2)0sst tts st 即，因为14s，所以221,2-sss 即，所以2-sts，做出不等式所表示的平面区域，如图的阴影部分的ABC，C（4，-2），而ts表示在可行域内任一点与原点（0,0）的连线的斜率
8、，结合图像可知OB 直线的斜率最大，直线 OC 的斜率最小，因为111,-122OBoctkks 故，。6.D 7.A 8.A 9.C 因为 na是递增数列，所以2301,322aaaa 解得2a3，所以实数 a 是取值范围是2,3。10.A 11.(-4,-2)解：由()0g x x1，要使对于任意 xR，()0f x 或()0g x 成立，则 x1 时，)3)(2()(mxmxmxf0 恒成立，故 m0，且两根 2m 与-m-3 均比 1 小，得-4m0，只要-42m 或-4-m-3m1，由、求交，得-4m-2.12.（0,1）13.150 14.12a 15.2xx 16.93 因为3(
9、)1 logf xx，由3()1log8f xx 得，3log9x，即93x，所以19(8)3f。17.（文）解：（1）当0a时，xxf)(，不合题意；1 分 当0a时，f x在,1 上不可能单调递增；2 分 当0a时，图像对称轴为aax21，由条件得121aa，得.1a 4 分（2）设1)1()()(axxaxxfxh，5 分 当2,1 x时，25,21xx，7 分 因为不等式 2f xx在1,2x上恒成立，所以)(xh在2,1 x时的最小值大于或等于 2，所以，21250a2120aaaaa或 ，9 分 解得1a。10 分（3）axaxxg1)(2在2,3上是增函数，设3221xx，则)(
10、)(21xgxg，axaxaxax22212111，21212121)(xxxxxxxxa，12 分 因为3221xx，所以)(12121xxxxa，14 分 1 而)161,541()(12121 xxxx，16 分 所以.161a 18 分略 18.（1）当2a时，2,1)1(2,1)1(|2|)(22xxxxxxxf，（2 分）所以，函数)(xf的单调递增区间是 1,(和),2（4 分）（2）因为2a，2,1 x时，42)()(222aaxaxxxaxxf（1 分）当2321a，即32 a时，42)2()(minafxf（3 分）当232a，即3a时，1)1()(minafxf（5 分）
11、所以，3,132,42)(minaaaaxf（6 分）（3）axxaxaxaxxxf,)(,)()(（1 分）当0a时，函数的图像如图所示，由)(42axxyay解得ax221，（1 分）19.证明：任取),1(,21xx，且21xx，则 1 分 1212)()(221121xxxxxfxf)1)(1(2112xxxx 4 分 因为211xx，所以012 xx，011x，012x 所以0)()(21xfxf，即)()(21xfxf 7 分 所以函数)(xf在),1(上是减函数。8 分 解：因为函数)(xf在),1(上是减函数，所以函数)(xf在 1,0上是减函数。O x 24a y 2a a
12、所以当0 x时，函数)(xf在 1,0上的最大值是 2，所以当1x时，函数)(xf在 1,0上的最小值是23。12 分 20.（理）（1）令101xx，解得11x,1,1D 2 分 对任意,xD1111()logloglog()111aaaxxxfxf xxxx 所以函数()f x是奇函数.2 分 另证：对任意,xD11()()logloglog 1011aaaxxfxf xxx 所以函数()f x是奇函数.2 分（2）由12111xxx 知，函数1()1xg xx在1,1上单调递减，因为01a，所以()f x在1,1上是增函数 2 分 又因为(,)xt a时，()f x的值域是,1，所以(,
13、)(1,1)t a 且1()1xg xx在(,)t a的值域是(,)a，故1()1ag aaa且1t（结合()g x图像易得1t）2 分 21aaa 解得21a（21舍去）所以21a，1t 2 分（3）假设存在3(1,1)x 使得123()()()f xf xf x 即312123111logloglog111aaaxxxxxx 312123111log()log111aaxxxxxx312123111111xxxxxx，解得123121xxxx x，3 分 下证：2121231212(1,1),111xxxxxx xx x 即证：证明：2222222221212121212122221212
14、1212()(1)1(1)(1)11(1)(1)(1)xxxxx xxxx xxxx xx xx xx x 12(1 1)xx ，221210 10 xx，212(1)0 x x 2212212(1)(1)0(1)xxx x，即21212101xxx x，2121211xxx x 所以存在12312(1,1)1xxxx x，使得123()()()f xf xf x 3 分 另证：要证明2121211xxx x，即证221212()(1)xxx x，也即2212(1)(1)0 xx 12,(1,1)x x ，221210,10,xx2212(1)(1)0 xx，2121211xxx x 所以存在
15、12312(1,1)1xxxx x，使得123()()()f xf xf x 3 分（文）（1）令101xx，解得11x,1,1D 2 分 对任意,xD1111()logloglog()111aaaxxxfxf xxxx 所以函数()f x是奇函数.2 分 另证：对任意,xD11()()logloglog 1011aaaxxfxf xxx 所以函数()f x是奇函数.2 分（2）设1212,(1,1),x xxx 且，12121221121212122111111()()()logloglog()log11111()aaaaxxxxx xxxf xf xxxxxx xxx 2 分 122112
16、21211()1()2()0 x xxxx xxxxx 122112211()1()0 x xxxx xxx 122112211()11()x xxxx xxx 01a 122112211()log01()ax xxxx xxx2 分 12()()0f xf x，12()()f xf x 所以函数()f x在D上是增函数.2 分（3）由（2）知，函数()f x在1,1上是增函数，又因为(,)xt a时，()f x的值域是,1，所以(,)(1,1)t a 且1()1xg xx在(,)t a的值域是(,)a，2 分 故1()1ag aaa且1t（结合()g x图像易得1t）2 分 21aaa 解得21a（21舍去）所以21a，1t 2 分 略