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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 概率 条件概率【例 1】在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题 如果不放回地依次抽取 2 道题，求：（1)第 1 次抽到理科题的概率；(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率 解 设“第 1 次抽到理科题”为事件A，“第 2 次抽到理科题”为事件B，则“第 1 次和第 2 次都抽到理科题”为事件AB.(1）从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为 n(）A2，520.根据分步乘法计数原理，n（A)A错误!A错误!12。学必求其心得，业必贵于专精 -2-于是P(
2、A）错误!错误!错误!。（2)因为n(AB)A错误!6，所以P（AB）错误!错误!错误!.(3）法一：由（1)(2)可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2次抽到理科题的概率 P(B|A)错误!错误!错误!。法二：因为n(AB)6，n（A)12，所以P（B|A)nABnA错误!错误!.条件概率的两个求解策略 1定义法：计算PA，PB，PAB，利用PA|B错误!或错误!求解.2缩小样本空间法直接法：利用PBAnABnA求解。其中2常用于古典概型的概率计算问题。11 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3个红球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从
3、2 号箱随机学必求其心得，业必贵于专精 -3-取出一球，则两次都取到红球的概率是（）A错误!B错误!C错误!D错误!C 设从 1 号箱取到红球为事件A，从 2 号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)错误!错误!，P(B|A）错误!错误!，所以P（AB)P（B|A)P（A）错误!错误!错误!,所以两次都取到红球的概率为错误!.2掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出 6 点，问“掷出点数之和大于或等于 10的概率 解 设“掷出的点数之和大于或等于 10”为事件A，“第一颗骰子掷出 6 点”为事件B。法一：P(AB)错误!错误!错误!.法二：“第一颗骰子掷出 6 点的情况有（6，1)，（6,2)，(
4、6，3)，（6,4)，（6,5)，（6，6)，共 6 种，故n（B)6.“掷出的点数之和大于或等于 10”且“第一颗掷出 6 点”的情况有(6,4),（6,5），（6,6)，共 3 种，即n(AB）3.从而P(AB）错误!错误!错误!。超几何分布【例 2】老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格某同学只能背诵其中的 6 篇，试求：学必求其心得，业必贵于专精 -4-(1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2）他能及格的概率 解(1）设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P（Xk）错误!（k0，1,2，3)P(X0）错误!错误!，P（X1）错误!错误!,P
5、（X2）错误!错误!，P(X3）错误!错误!。所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 错误!错误!错误!16（2)他能及格的概率为 P(X2)P（X2)P（X3)错误!错误!错误!.超几何分布的求解步骤 1辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分。具有该特征的概率模型为超几何分布模型。2算概率：可以直接借助公式PXk错误!求解，也可学必求其心得，业必贵于专精 -5-以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义.3列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来。3设
6、10 件产品中，有 3 件次品，7 件正品，现从中抽取 5 件，求抽得次品件数的分布列 解 的可能取值为 0,1，2,3。0 表示取出的 5 件产品全是正品,P（0)错误!错误!错误!;1 表示取出的 5 件产品中有 1 件次品，4 件正品,P(1）错误!105252错误!;2 表示取出的 5 件产品中有 2 件次品,3 件正品，P（2)错误!错误!错误!；3 表示取出的 5 件产品中有 3 件次品,2 件正品，P（3)错误!21252错误!。故的分布列为 0 1 2 3 学必求其心得，业必贵于专精 -6-P 错误!错误!错误!112 独立事件【例 3】设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用
7、某种设备的概率分别为 0.6、0。5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立（1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P（X1）解 记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i0,1,2,B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备(1）DA1BCA2BA2错误!C，P(B）0。6，P(C)0。4，P(Ai）C错误!0.52，i0,1,2，所以P(D）P（A1BCA2BA2BC）P(A1BC）P（A2B)P（A2错误!C）P（A1）P（B)P(C)P（A2)P(B)P(A2)P（
8、错误!）P(C）0.31。(2）X1 表示在同一工作日有一人需使用设备 P（X1）P（BA0错误!错误!A0C错误!A1错误!)学必求其心得，业必贵于专精 -7-P(B)P(A0)P（错误!)P（错误!）P(A0)P（C)P(错误!)P(A1)P(错误!)0.60.52(10.4)(10。6）0.520。4（10。6)20。52（10。4）0.25.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解。4在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为错误!和错误!.
9、求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2）至少有一个气象台预报准确的概率 解 记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.显然事件A，B相互独立且P(A)错误!，P(B)错误!.（1）P（AB）P（A)P(B)错误!错误!错误!。（2）至少有一个气象台预报准确的概率为 P1P（错误!错误!）1P(错误!)P（错误!)1错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -8-二项分布问题【例 4】抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次,点P在圆x2y216 内的次数X的分布列 解 由题意可知,点P的
10、坐标共有 6636(种)情况,其中在圆x2y216 内的有点（1，1)，(1，2)，(1，3)，（2,1)，（2，2)，(2,3)，（3,1)，（3,2）共 8 种，则点P在圆x2y216 内的概率为错误!错误!。由题意可知XB错误!，所以P(X0)C错误!错误!错误!错误!错误!错误!，P（X1）C错误!错误!错误!错误!错误!错误!，P(X2)C错误!错误!错误!错误!错误!错误!，P(X3)C错误!错误!错误!错误!错误!错误!，故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 错误!错误!错误!错误!解决二项分布问题的两个关注点 1对于公式PXkC错误!pk1pnkk0，1,2，学必求其心得，业
11、必贵于专精 -9-n必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式。2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.5某人投篮一次投进的概率为23，现在他连续投篮 6 次，且每次投篮相互之间没有影响,那么他投进的次数服从参数为错误!的二项分布,记为B错误!，计算P(2）（)A错误!B错误!C错误!D错误!A 根据二项分布概率的计算公式可得，P（2)C错误!错误!错误!错误!错误!错误!，故选 A。离散型随机变量的均值与方差【例 5】袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10个，
12、记上n号的有n个（n1,2,3，4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号求的分布列、均值和方差 解 由题意得，的所有可能取值为 0，1,2,3，4，学必求其心得，业必贵于专精 -10-P（0)错误!错误!,P（1）错误!,P(2)错误!错误!，P（3)错误!，P（4）错误!错误!.故的分布列为 0 1 2 3 4 P 错误!错误!错误!错误!15 所以E（）0错误!1错误!2错误!3错误!4错误!1.5，D(01。5)2错误!（11.5)2错误!(21。5）2错误!(31.5）2错误!（41.5）2错误!2.75。求离散型随机变量的均值、方差的步骤 1明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果。
13、2求出随机变量取各个值的概率.3列出分布列.4利用公式EXx1p1x2p2xipixnpn求出随机变量的期望EX.5代入公式DXx1EX2p1x2EX2p2xiEX2pixnEX2pn求出方差DX。6代入公式X错误!求出随机变量的标准差.学必求其心得，业必贵于专精 -11-6甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为错误!，错误!.在前 3 次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、均值和方差 解 乙投篮的次数的取值为 0,1，2。P(0）错误!错误!错误!;P(1）错误!错误!错误!错误!错误!.P（2）错误!错误!错
14、误!。故的分布列为 0 1 2 P 错误!错误!错误!E0错误!1错误!2错误!错误!，D错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!。正态分布【例 6】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数少于 900 的概率为P0,求P0的值 学必求其心得，业必贵于专精 -12-参考数据:若XN(，2），则P（X)0。683，P(2X2)0。954,P（3X3）0.997。解 由于随机变量X服从正态分布N（800,502），故有800，50,P（700X900)0.954.由正态分布的对称性,可得P0P（X900）P(X
15、800)P（800X900)错误!错误!P（700X900)0。977.正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向，2,2，3，3这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想 7已知某地农民工年均收入服从正态分布，某密度函数图像如图所示(1）写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；（2)求此地农民工年均收入在 8 0008 500 元之间的人数百分比 学必求其心得，业必贵于专精 -13-解 设农民工年均收入N（，2）,结合图像可知8 000，500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为P（x)错误!e错误!错误!e错误!,x（，）(2）P(7 500 8 500）P(8 000500 8 000500)0.683，P(8 0008 500）错误!P(7 5008 500）0.341 5.此地农民工年均收入在 8 0008 500 元之间的人数百分比为34.15。