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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 4 章 函数应用 函数的零点及应用【例 1】（1）设函数yx2与y错误!x2的图像的交点为(x0,y0），则x0所在的区间是(）A（0,1）B（1，2）C(2，3）D(3，4)（2)函数f(x)x错误!错误!错误!的零点个数为(）A0 B1 C2 D3 思路探究(1）将其转化为函数的零点所在区间的判断（2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解(1)B（2)B(1）由错误!消去y得x2错误!x2 令f(x)x2错误!错误!,则x0是函数yf(x）的零点 学必求其心得，业必贵于专精 -2-又f（1）10，由零点存在性定理知，x0(1，2)故选 B.（2)因为f
2、（0)10,f(1)错误!0，所以yf(x）至少有一个零点 又因为yf(x）是增函数,所以,yf(x）有唯一零点，故选 B。确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断。1已知函数f（x)错误!若关于x的方程f(x）k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_(0,1）在同一坐标系中作出 f（x）2x，x2，x13，x2 及yk的图像(如下图）学必求其心得，业必贵于专精 -3-可知，当 0k1 时，yk与yf（x)的图像有两个交点，即方程f（x)k有两个不同的实根 二分法的应用【例 2】用二分法求错误!的近似值(精度为 0.1）解 设x错误
3、!，则x25,即x250，令f(x）x25.因为f（2。2)0。160。f(2.4)0.760，所以f(2。2)f（2.4)0，说明这个函数在区间(2。2,2。4）内有零点x0,取区间(2.2,2.4)的中点x12。3，则f（2。3)0。290。因为f（2.2)f（2.3)0，x0（2.2,2。3），再取区间(2。2,2.3）的中点x22.25,f（2。25)0。062 50。因为f（2。2)f(2。25）0，所以x0（2。2,2.25）由于2。学必求其心得，业必贵于专精 -4-252。2|0。050。1，所以错误!的近似值可取为 2.25.1看清题目的精度，它决定着二分的次数 2根据f(a0
4、)f（b0）0 确定初始区间，高次方程要先确定有几个解,再确定初始区间 3初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的,但二分的次数相差较大 4取区间中点c，计算中点函数值f(c），确定新的零点区间，直到所取区间（an，bn）中，an与bn按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解 2已知函数f（x)x21，g（x）kx.若方程f（x）g（x)有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是()A.错误!B错误!C（1,2)D（2，）B 先作出函数f(x)x2|1 的图像，如图所示，当直线g（x）kx与直线AB平行时斜率为 1，当直线g（x）kx过A点时斜率为错误!，故f（x）g
5、（x)有两个不相等的实数解时，k的范围学必求其心得，业必贵于专精 -5-为错误!。实际问题的函数建模 探究问题 1图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境 A:一份 30 分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将 0 时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻);情境 B：一个 1970 年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；情境 C:从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸学必求其心得，业必贵于专精 -6-里水的高度；情境 D：根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润 其中情境 A,B
6、，C，D 分别对应的图像是_(填序号）提示：2环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治,一月时污染度为 60，整治后前四个月的污染度如下表：月数 1 2 3 4 污染度 60 31 13 0 污染度为 0 后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x)20 x4|(x1)，g（x）错误!(x4)2(x1），h(x）30log2x2|(x1），其中x表示月数，f（x),g(x)，h(x）分别表示污染度 问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由 提示:用h(x）模拟比较合理理由:因为f（2）40,g(2）26.7，h
7、(2）30，f（3）20，g(3）6.7,h(3)12.5.由此可得h(x）更接近实际值，所以用h（x）模拟比较合理【例 3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通学必求其心得，业必贵于专精 -7-状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位:千米/小时）是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明:当 20 x200 时,车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数v(x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通
8、过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x）xv（x）可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)思路探究 解(1）由题意知：当 0 x20 时，v(x）60；当 20 x200 时，设v（x)axb，由已知得错误!解得错误!故函数v（x)的表达式为 v（x）错误!学必求其心得，业必贵于专精 -8-(2)依题意并由（1）可得 f（x)错误!当 0 x20 时，f（x)为增函数，故当x20 时，其最大值为 60201 200；当 20 x200 时,f(x)错误!x(200 x）错误!（x100）2错误!.所以，当x100 时，f(x）在区间20,200上取得最大值错误!。又 1 20
9、010 0003,所以当x100 时,f(x)在区间 0,200 上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/小时 1解函数应用题可归纳为四步：（1)读题;（2)建模；（3）求解；（4)还原 其中“建模”是最关键的一步建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型 学必求其心得，业必贵于专精 -9-2函数是重要的数学模型,对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测 3为了估计山上积雪融化后对下游
10、灌溉的影响，在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10 年的实测资料，如下表所示 年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2 1 15.2 28.6 2 10.4 21。1 3 21。2 40.5 4 18。6 36.6 5 26.4 49。8 6 23.4 45。0 7 13.5 29。2 8 16.7 34。1 9 24。0 45。8 学必求其心得，业必贵于专精 -10-10 19。1 36。9（1）描点画出灌溉面积y（hm2）随积雪深度x（cm）变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf（x），并画出图像;（3)根据所建
11、立的函数模型，求最大积雪深度为 25 cm 时，可以灌溉的土地面积 解(1)描点作图如图甲 甲 乙（2）从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近,由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb(a0)取其中的两组数据(10。4，21.1),（24。0,45.8），代入yaxb，得错误!用计算器可算得a1。8，b2。4。这样，我们得到一个函数模型y1。8x2.4。作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟学必求其心得，业必贵于专精 -11-合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3）由y1。8252.4，求得y47。4,即当最大积雪深度为 25 cm 时,可以灌溉土地 47。4 hm2.化归与转化思想的应用 设aR，试讨论关于x的方程 lg(x1）lg(3x）lg（ax)的实根的个数 思路探究 先将对数方程转化为二次方程，再将参数a与未知数x分离，进一步转化为两函数图像交点的个数问题 解 原方程可化为 错误!即错误!画出函数yx25x3，(1x3），的图像,如下：所以，当a2.