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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 数列 等差（比）数列的基本运算【例 1】等比数列an中，已知a12，a416。(1）求数列an的通项公式;（2）若a3,a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数学必求其心得，业必贵于专精 -2-列bn的通项公式及前n项和Sn。解(1）设an的公比为q,由已知得 162q3，解得q2，an22n12n.(2)由(1）得a38,a532,则b38，b532。设bn的公差为d，则有错误!解得错误!所以bn1612（n1)12n28.所以数列bn的前n项和 Sn错误!6n222n。在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及
2、五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn,其中a1和d（或q）为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q）,an，Sn,n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比）数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用 学必求其心得，业必贵于专精 -3-1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.（1)若 1，a1,a3成等比数列,求a1；(2）若S5a1a9，求a1的取值范围 解(1）因为数列an的公差d1，且 1，a1，a3成等比数列，所以a错误!1(a12），即a错误!a120，解得a11 或a12。(2）因为数列a
3、n的公差d1，且S5a1a9，所以 5a110a错误!8a1，即a213a1100,解得5a12。求数列的通项公式【例 2】（1）已知数列an的前n项和Sn32n，求an；(2)数列an的前n项和为Sn且a11,an1错误!Sn，求an.思路探究：（1)已知Sn求an时，应分n1 与n2 讨论;(2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解 解(1)当n2 时，anSnSn132n(32n1）2n1，当n1 时，a1S15 不适合上式 an错误!（2)Sn3an1，学必求其心得，业必贵于专精 -4-n2 时，Sn13an。得SnSn13an13an，3an14an，错误!错误!
4、，又a2错误!S1错误!a1错误!。n2 时，an错误!错误!错误!,不适合n1.an错误!数列通项公式的求法（1）定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目(2）已知Sn求an。若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式 an错误!求解(3)累加或累乘法 形如anan1f（n）(n2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如错误!f(n）（n2）的递推式，可用累乘法求通项公式 2设数列an是首项为 1 的正项数列，且an1anan1an学必求其心得，业必贵于专精 -5-0(nN)，求an的通项公式 解 an1anan1
5、an0，错误!错误!1。又错误!1，错误!是首项为 1,公差为 1 的等差数列 故错误!n.an错误!。等差(比)数列的判定【例 3】数列 an 的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN）(1）设bnan12an，求证：bn是等比数列；（2)设cn错误!，求证：cn是等差数列 思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明 证明（1)an2Sn2Sn14an124an2 4an14an.错误!错误!错误!错误!2.因为S2a1a24a12，所以a25。所以b1a22a13。所以数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列(2）由(1)知bn32n1an12an，学必求其心得，业必贵于
6、专精 -6-所以错误!错误!3。所以cn1cn3，且c1错误!2，所以数列cn是等差数列，公差为 3，首项为 2。等差数列、等比数列的判断方法（1)定义法：an1and（常数）an是等差数列；错误!q(q为常数，q0)an是等比数列(2）中项公式法:2an1anan2an是等差数列;a错误!anan2(an0)an是等比数列（3)通项公式法:anknb（k，b是常数）an是等差数列；ancqn（c，q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn（A，B为常数,nN*）an是等差数列;SnAqnA(A，q为常数,且A0，q0,q1，nN)an是等比数列 特别提醒：前两种方法是判
7、定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定若要判定一个数列不是等差（比）数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差（比）即可 学必求其心得，业必贵于专精 -7-3数列an的前n项和为Sn，若anSnn，cnan1。求证：数列cn是等比数列 证明 当n1 时，a1S1。由anSnn，得a1S11，即 2a11，解得a1错误!.又an1Sn1n1，得an1an（Sn1Sn)1，即 2an1an1,因为cnan1,所以ancn1，an1cn11，代入式，得 2(cn11)(cn1）1,整理得 2cn1cn，故错误!错误!（常数)所以数列cn 是一个首项c1a11错误!,公比为错
8、误!的等比数列。数列求和 探究问题 1 若数列 cn 是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q(q1)学必求其心得，业必贵于专精 -8-的等比数列，且ancnbn，如何求数列an的前n项和？提示 数列an的前n项和等于数列cn和bn的前n项和的和 2有些数列单独看求和困难,但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和试用此种方法求和:122232429921002。提示 122232429921002（1222)(3242）(9921002）（12）（12)（34)(34)(99100）(99100)（123499100）5 050。3我们知道错误!错误!错误!,试用此公式求和：错误!错误
9、!错误!。提示 由错误!错误!错误!得 错误!错误!错误!1错误!错误!错误!错误!错误!1错误!错误!。【例 4】已知数列an的前n项和Snkcnk(其中c、k为常数），且a24，a68a3.（1)求an；（2)求数列nan的前n项和Tn.学必求其心得，业必贵于专精 -9-思 路 探 究：（1）已 知Sn，据an与Sn的 关 系anS1（n1，SnSn1（n2）)确定an；(2）若an为等比数列，则nan是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列,可用错位相减法求和 解（1)当n2 时,anSnSn1k(cncn1），则a6k(c6c5），a3k(c3c2），错误!错误!c38，c2.a
10、24,即k（c2c1）4，解得k2，an2n.当n1 时，a1S12。综上所述，an2n(nN)(2）nann2n，则Tn2222323n2n，2Tn122223324(n1）2nn2n1，两式作差得Tn222232nn2n1，Tn2（n1)2n1。学必求其心得，业必贵于专精 -10-1（变结论)例题中的条件不变,(2）中“求数列nan的前n项和Tn”变为“求数列nan的前n项和Tn”解 由题知Tn12222323n2n(123n）(2222n)错误!错误!2n12错误!.2（变结论)例题中的条件不变，将（2)中“求数列nan的前n项和Tn”变为“求数列错误!的前n项和Tn”解 由题知Tn错误
11、!错误!错误!错误!,错误!Tn错误!错误!错误!错误!，得：错误!Tn错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!1错误!错误!错误!，Tn2错误!错误!2错误!.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解 学必求其心得，业必贵于专精 -11-一般常见的求和方法有：(1）公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列（3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(5)倒序相加法:例如，等差数列前n项和公式的推导