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1、 1 高中数学人教 A 版选修 4-5 第三章 柯西不等式与排序不等式章末测试题(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 xy0，则x24y2y21x2的最小值为()A9 B9 C10 D0 2已知实数 a，b，c，d，e 满足 abcde8，a2b2c2d2e216，则 e 的取值范围为()A.0，4 55 B.165，165 C.0，165 D.4 55，4 55 3学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件，现在选择商店中为 5 元、3 元、2 元
2、的奖品，则至少要花()A300 元 B360 元 C320 元 D.340 元 4已知 a，b，c 为非零实数，则(a2b2c2)1a21b21c2的最小值为()A7 B9 C12 D.18 5设 a，b，c 均小于 0，且 a2b2c23，则 abbcca 的最大值为()A0 B1 C3 D.333 6若 x2y4z1，则 x2y2z2的最小值是()A21 B.121 C16 D.116 7函数 f(x)1cos 2xcos x，则 f(x)的最大值是()A.3 B.2 C1 D.2 8已知 a，b，x1，x2为互不相等的正数，若 y1ax1bx2ab，y2bx1ax2ab，则 y1y2与
3、x1x2的关系为()2 Ay1y2x1x2 D.不能确定 9已知半圆的直径 AB2R，P 是弧 AB 上一点，则 2|PA|3|PB|的最大值是()A.6R B.13R C2 13R D.4 13R 10设 a1，a2，an为正实数，Pa1a2ann，Qn1a11a21an，则 P，Q 间的大小关系为()APQ BPQ CP B C D.12设 c1，c2，cn是 a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则a1c1a2c2ancn的最小值是()An B.1n C.n D.2n 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13设 x，y，zR
4、，且满足 x2y2z21，x2y3z 14，则 xyz_.14已知实数 m，n0，则a2mb2n_ab2mn.(填“”“”“”或“”)15函数 y11sin 11cos 02的最小值是_ 16.如图 1 所示，矩形 OPAQ 中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和 图 1 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设 x22y21，求 u(x，y)x2y 的最值 18(本小题满分 12 分)已知正数 x，y，z 满足 xyz1.求证：x2y2zy2z2xz2x2y13.19(本小题
5、满分 12 分)已知 a，b，cR，求证：abca2b22cb2c22ac2a22ba3bcb3cac3ab.20(本小题满分 12 分)已知 a，b，c 大于 0，且 acos2bsin2 c，求证：acos2 bsin20，则x24y2y21x2的最小值为()A9 B9 C10 D0【解析】x22y21x2y2 x1x2yy29.【答案】B 2已知实数 a，b，c，d，e 满足 abcde8，a2b2c2d2e216，则 e 的取值范围为()A.0，4 55 B.165，165 C.0，165 D.4 55，4 55【解析】4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)
6、2，即 4(16e2)(8e)2，644e26416ee2，即 5e216e0，e(5e16)0，故 0e165.【答案】C 3学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件，现在选 6 择商店中为 5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花()A300 元 B360 元 C320 元 D.340 元【解析】由排序原理，反序和最小，最小值为 502403205320(元).【答案】C 4已知 a，b，c 为非零实数，则(a2b2c2)1a21b21c2的最小值为()A7 B9 C12 D.18【解析】由(a2b2c2)1a21b21c2 a1ab1bc1c29，所以所求最小值
7、为 9.【答案】B 5设 a，b，c 均小于 0，且 a2b2c23，则 abbcca 的最大值为()A0 B1 C3 D.333【解析】由排序不等式 a2b2c2abbcac，所以 abbcca3.【答案】C 6若 x2y4z1，则 x2y2z2的最小值是()A21 B.121 C16 D.116【解析】1x2y4z x2y2z21416，x2y2z2121，即 x2y2z2的最小值为121.【答案】B 7函数 f(x)1cos 2xcos x，则 f(x)的最大值是()A.3 B.2 C1 D.2【解析】f(x)2 sin2xcos x.7 又(2sin2xcos x)2(21)(sin2
8、xcos 2x)3，f(x)的最大值为 3.【答案】A 8已知 a，b，x1，x2为互不相等的正数，若 y1ax1bx2ab，y2bx1ax2ab，则 y1y2与 x1x2的关系为()Ay1y2x1x2 D.不能确定【解析】a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1y2ax1bx2abbx1ax2ab ax1bx2ax2bx1ab2 ax12 bx22 ax22 bx12ab2 ax1ax2 bx2bx12ab2 ab2x1x2ab2x1x2.【答案】C 9已知半圆的直径 AB2R，P 是弧 AB 上一点，则 2|PA|3|PB|的最大值是()A.6R B.13R C2 13R D.4 13R【
9、解析】由 2|PA|3|PB|2232|PA|2|PB|2 13|AB|2 132R.【答案】C 10设 a1，a2，an为正实数，Pa1a2ann，Qn1a11a21an，则 P，Q 间的大小关系为()APQ BPQ 8 CP B C0，于是 1a11a21a3，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式得，a1a2a3a3a1a2a2a3a11a2a2a31a3a3a11a1a1a2 a3a1a2，即a1a2a3a2a3a1a3a1a2a1a2a3.【答案】B 12设 c1，c2，cn是 a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则a1c1a2c2ancn的最小值是()An B.
10、1n C.n D.2n【解析】不妨设 0a1a2an，则1a11a21an，1c1，1c2，1cn是1a1，1a2，1an的一个排列 再利用排序不等式的反序和乱序和求解，所以a1c1a2c2ancna1a1a2a2anann，当且仅当 a1a2an时等号成立故选 A.【答案】A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 9 上)13设 x，y，zR，且满足 x2y2z21，x2y3z 14，则 xyz_.【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此 x2y3z 14.因为 x2y3z 14，所以 x
11、y2z3，解得 x1414，y147，z3 1414，于是 xyz3 147.【答案】3 147 14已知实数 m，n0，则a2mb2n_ab2mn.(填“”“”“”或“”)【解析】因为 m，n0，利用柯西不等式，得(mn)a2mb2n(ab)2，所以a2mb2nab2mn.【答案】15函数 y11sin 11cos 02的最小值是_【解析】由柯西不等式，得 y121sin 2121cos 2 111sin 1cos 2 12sin 22(1 2)232 2.当且仅当1cos 1sin，即 4时等号成立【答案】32 2 16.如图 1 所示，矩形 OPAQ 中，a1a2，b1b2，则阴影部分的
12、矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和 10 图 1【解析】由题图可知，阴影面积a1b1a2b2，而空白面积a1b2a2b1，根据顺序和逆序和可知答案为.【答案】三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设 x22y21，求 u(x，y)x2y 的最值【解】由柯西不等式，有|u(x，y)|1x 22y|12x22y2 3，得 umax 3，umin 3.分别在33，33，33，33时取得最大值和最小值 18(本小题满分 12 分)已知正数 x，y，z 满足 xyz1.求证：x2y2zy2z2xz2x2y13.【证明】因为
13、 x0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z)(z2x)(x2y)x2y2zy2z2xz2x2y(xyz)2，又因为 xyz1，所以x2y2zy2z2xz2z2y xyz2y2zz2xx2y13.19(本小题满分 12 分)已知 a，b，cR，求证：abca2b22cb2c22ac2a22ba3bcb3cac3ab.【证明】不妨设 abc0，则 a2b2c2，1c1b1a.11 由排序不等式，可得 a21cb21ac21ba21ab21bc21c，a21bb21cc21aa21ab21bc21c，由()2，可得 a2b22cb2c22ac2a22babc.又因为 abc0，所以 a3b3c
14、3，1bc1ac1ab.由排序不等式，得 a31bcb31cac31aba31acb31abc31bc，a31bcb31cac31aba31abb31bcc31ca，由()2，可得a3bcb3cac3aba2b22cb2c22ac2a22b.综上可知原式成立 20(本小题满分 12 分)已知 a，b，c 大于 0，且 acos2bsin2 c，求证：acos2 bsin2c14.【证明】由柯西不等式，得(acos2 bsin2)2(acos)2(bsin)2(cos2sin2)acos2bsin2.又 acos2bsin2 c，(acos2 bsin2)2 c.因此，acos2 bsin2c1
15、4.21(本小题满分 12 分)设 a，b，c 为正数，且 abc1，求证：1a1b1c9.【证明】构造两组数 a，b，c；1a，1b，1c.于是由柯西不等式有 12(a)2(b)2(c)2 1a21b21c2 a1a b1b c1c2，即(abc)1a1b1c32.因为 abc1，所以1a1b1c9.22(本小题满分 12 分)设 a，b，cR，利用排序不等式证明：(1)aabbabba(ab)；(2)a2ab2bc2cabcbcacab.【证明】(1)不妨设 ab0，则 lg alg b.从而 alg ablg balg bblg a，lg aalg bblg balg ab，即 lg aabblg baab，故 aabbbaab.(2)不妨设 abc0，则 lg alg blg c，alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，2alg a2blg b2clg c(bc)lg a(ac)lg b(ab)lg c，lg(a2ab2bc2c)lg(abcbaccab)故 a2ab2bc2cabcbcacab.