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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 柯西不等式与排序不等式及其应用 自我校对 向量 代数 利用柯西不等式证明简单不等式 柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时,根据题目特征，灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式【例 1】已知a，b,c是实数,且abc1，求证：13a1错误!错误!4错误!.精彩点拨 设m（错误!，错误!，错误!)，n（1,1，1），利用柯西不等式的向量形式证明,或把式子左边补上系数 1，直接利用柯西不等式求解 规范解答 法一：因为a,b，c是实数，且abc1，令m（错误!，错误!，错误!)，n（1，1,1)学必求其心得，业必贵于专精 -2-则|mn2（错误!错
2、误!错误!）2,|m|2n|23(13a1)(13b1）(13c1)313(abc）348.|mn2|m|2n2，(13a1）13b113c1）248,错误!错误!错误!4错误!。法二：由柯西不等式得(13a1错误!错误!）2（121212）（13a1)（13b1）（13c1）313(abc)348，错误!错误!错误!4错误!。1 设正数a，b，c满足abcabc，求证：ab4bc9ac36，并给出等号成立的条件 证明 由abcabc,得1ab错误!错误!1。由柯西不等式，得（ab4bc9ac)错误!（123)2，所以ab4bc9ac36,当且仅当a2，b3，c1 时，等号成立。排序原理在不等
3、式证明中的应用 应用排序不等式的技巧在于构造两个数组,而数组的构造应从学必求其心得，业必贵于专精 -3-需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析,再给出适当的数组【例 2】已知a，b，c为正数，求证：abc错误!错误!错误!.精彩点拨 不妨设abc0，则a2b2c2，1c错误!错误!,根据不等式的特点,利用排序不等式证明 规范解答 由于不等式关于a，b，c对称,可设abc0.于是a2b2c2，错误!错误!错误!.由排序不等式,得反序和乱序和，即 a2错误!b2错误!c2错误!a2错误!b2错误!c2错误!，及a2错误!b2错误!c2错误!a2错误!b2错误!c2错误!.以上两个同向
4、不等式相加再除以2，即得原不等式 2在ABC中，ha，hb，hc为边长a，b，c的高，求证:asin Absin Bcsin Chahbhc。证明 不妨设abc，则对应的角ABC，A，B，C（0，)，sin Asin Bsin C。由排序原理得 学必求其心得，业必贵于专精 -4-asin Absin Bcsin Casin Bbsin Ccsin A.在ABC中，asin Bhc，bsin Cha，csin Ahb，asin Absin Bcsin Chahbhc.利用柯西不等式、排序不等式求最值 有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提
5、供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足【例 3】已知实数x,y，z满足x24y29z2a（a0)，且xyz的最大值是 7，求a的值 精彩点拨 由x24y29z2x2（2y)2（3z）2，xyzx错误!2y错误!3z，联想到柯西不等式求解 规范解答 由柯西不等式：x2(2y)2(3z）2错误!错误!错误!。因为x24y29z2a(a0)，所以错误!a(xyz）2,即错误!xyz错误!。因为xyz的最大值是 7，所以错误!7，得a36。学必求其心得，业必贵于专精 -5-当x错误!，y错误!，z错误!时，xyz取最大值，所以a36.3求实数x,y的值,使得(y1）2（xy3)2（2xy6
6、)2达到最小值 解 由柯西不等式，得(122212)(y1）2(3xy）2（2xy6)2 1（y1)2(3xy)1(2xy6）21，即(y1)2(xy3)2(2xy6）2错误!，当且仅当错误!错误!错误!,即 x错误!，y错误!时,上式取等号 故x错误!，y错误!时，(y1）2(xy3)2(2xy6）2达到最小值【例 4】已知正实数x1，x2，xn满足x1x2xnP，P为定值,求F错误!错误!错误!错误!的最小值 精彩点拨 不妨设 0 x1x2xn，利用排序不等式求解 规范解答 不妨设 0 x1x2xn，则错误!错误!错误!0，且 0 x错误!x错误!x错误!。错误!，错误!，错误!,错误!为
7、序列错误!（i1,2，3，n)的一个学必求其心得，业必贵于专精 -6-排列，根据排序不等式,得F错误!错误!错误!错误!x错误!错误!x错误!错误!x错误!错误!x1x2xnP(定值)，当且仅当x1x2xn时等号成立,F错误!错误!错误!错误!的最小值为P.4设x1，x2,，xn取不同的正整数,则m错误!错误!错误!的最小值是（)A1 B2 C112错误!错误!D1错误!错误!错误!解析 设a1，a2，an是x1,x2，xn的一个排列,且满足a1a2错误!错误!，所以错误!错误!错误!错误!a1错误!错误!错误!112错误!3错误!n错误!1错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -7-错误!
8、。答案 C 利用平均值不等式求最值 1.求函数的最值 在利用平均值不等式求函数最值时 一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数（2）“和”或“积”为定值(3）等号一定能取到，这三个条件缺一不可 2解决实际问题 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形对于一些分式结构的函数,当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量（或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解【例 5】某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件（1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000件，要使销售的总收
9、入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量公司决定明年对学必求其心得，业必贵于专精 -8-该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入错误!(x2600)万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入错误!x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价 精彩点拨(1）设每件定价为t元，表示总收入,根据题意列不等式求解(2）利用销售收入原收入总投入,列出不等式,由题意x25，此时不等式求解 规范解答（1)设每件定价为t元,依题
10、意，有错误!t258，整理得t265t1 0000，解得 25t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元（2)依题意，x25 时，不等式ax25850错误!（x2600)错误!x有解，等价于x25 时,a错误!错误!x错误!有解 错误!错误!x2错误!10(当 且 仅 当x 30 时，等 号 成立),a10.2.学必求其心得，业必贵于专精 -9-当该商品明年的销售量a至少达到 10。2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元 5若ab0，则a2错误!的最小值为()A2 B3 C4 D5 解析 依题意得ab0,所以a2错误!a
11、2错误!a2错误!2错误!4，当且仅当错误!即a错误!，b错误!时取等号,因此a2错误!的最小值是 4，选 C.答案 C 思想方法 解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题 本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用,把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决【例 6】已知a,b，c为正数，求证：abc错误!错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -10-精彩点拨 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明 规范解答 左端变形错误!1错误!1错误!1（abc)错误!，只需证此式错
12、误!即可 错误!错误!错误!3错误!错误!错误!（abc）错误!错误!（bc）(ca）（ab)错误!错误!(111）2错误!，错误!错误!错误!错误!3错误!.6已知a,b，c为正数，求证：2(a3b3c3）a2(bc)b2(ac)c2(ab）证明 不妨设 0abc，则a2b2c2，由排序不等式,得a2ab2bc2ca2bb2cc2a,a2ab2bc2ca2cb2ac2b.以上两式相加，得 2（a3b3c3)a2(bc)b2(ac）c2（ab）学必求其心得，业必贵于专精 -11-1若a，b是函数f(x)x2pxq(p0,q0）的两个不同的零点，且a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可
13、适当排序后成等比数列,则pq的值等于（）A6 B7 C8 D9 解析 不妨设ab，由题意得错误!a0，b0，则a，2，b成等比数列，a,b，2 成等差数列，错误!错误!p5,q4，pq9.答案 D 2设a，b，m，nR,且a2b25，manb5，则 错误!的最小值为_ 解析 根据柯西不等式(manb）2(a2b2)(m2n2），得255(m2n2)，m2n25，错误!的最小值为错误!.答案 5 3已知x0，y0，证明:(1xy2）(1x2y）9xy.证明 因为x0,y 0,所以 1xy23错误!0,1x2y3错误!0，故(1xy2）(1x2y）3错误!3错误!9xy。学必求其心得，业必贵于专精
14、 -12-4若a0，b0，且错误!错误!错误!.（1）求a3b3的最小值;（2)是否存在a，b,使得 2a3b6？并说明理由 解(1)由ab错误!错误!错误!，得ab2，且当ab错误!时等号成立 故a3b32错误!4错误!，且当ab错误!时等号成立 所以a3b3的最小值为 4错误!.(2)由（1)知,2a3b2错误!错误!4错误!。由于 4错误!6，从而不存在a,b,使得 2a3b6.5已知a0，b0,c0，函数f(x）|xaxb|c的最小值为 4。（1）求abc的值；(2）求错误!a2错误!b2c2的最小值 解(1）因为f（x）xa|xbc|(xa）（xb）|cabc,当且仅当axb时，等号成立 又a0，b0，所以ab|ab，所以f(x）的最小值为abc。学必求其心得，业必贵于专精 -13-又已知f(x）的最小值为 4,所以abc4.（2)由（1）知abc4，由柯西不等式,得 错误!(491)错误!错误!（abc)216，即错误!a2错误!b2c2错误!。当且仅当错误!错误!错误!，即a错误!，b错误!，c错误!时等号成立,故14a2错误!b2c2的最小值是错误!.